CXCVIII. 53. ) Problème Soient

le cordon L AM attaché en L et en M , et au point A est un troisième cordon qui porte à son extrémité un poids P, le système étant en équilibre, on veut connaître la tension des cordes LA, M A : je prolonge les lignes LA, M A ; je ^ prends sur AH une longueur AE quelconque pour représenter la force P. On achève le parallélogramme ADEF; on cherche le rapport de la diagonale aux côtés , soit par la trigonométrie , soit par le moyen des échelles. Alors A F représentera la tension du cordon LA, de même AD représentera la tension du cordon MA. . ■

Moins le point P est considérable , plus

1 24 MANUEL

l’angle LAM sera grand; mais quelque petit que soit le poids P, l’angle LAM existera toujours; on peut conclure de là qu’il est impossible de tendre une cordc en ligne droite.

Soit en effet une corde AB tirée par deux forces P et P' égales et directement opposées ; si la corde n’était pas pesante , elle serait en ligne droite ; mais on peut considérer une corde comme une droite sans pesanteur, mais chargée en tous scs points de poids infiniment petits. Ces planteurs produiront à chaque point des angles très obtus; alors la corde prendra une forme curviligne; par conséquent une corde ou une chaîne ne peut être en ligne droite que dans une position verticale. De là il résulte qu’on ne peut se servir d’une corde pour mesurer avec exactitude la largeur d’un fossé un peu considérable. •

CXCIX. Si la force P divise LAM en deux parties égales , alors AE = AF et les tensions des deux cordons seront égales.

Problème II. [Fig. 54* ) Soit LAM un cordon fixe par ses extrémités, LM le poids P attaché à l’aide d’un cordon à l’anneau A R , qui peut glisser librement le long de la corde LAM , on demande dans quel cas le système sera en équilibre , et quelles sont les tensions des deux cordons? Le cordon LAM né peut être en équilibre autour de l’anneau qu’à moins d’être également tendu; sans cela, l’auneauAR irait du côté de la plus faible tension. Les tensions de LA et AM devant être égales, il s’en-

suit que la force P divisera l’angle L A M eu deux parties égales, et l’anneau glissera jusqu’à ce que cette condition soit satisfaite. L’anneau , en glissant , décrit une ellipse ayant pour foyers les points L et M, et pour grand axe la longueur du cordon LAM; la droite qui divise l’angle LAM en deux parties égales est perpendiculaire à cette ellipse , c’est-à-dire perpendiculaire à la tangente à l’ellipse; et comme cette droite AE est verticale, la tangente à l’ellipse sera horizontale. Donc , pour trouver le point où l’anneau s’arrêtera , il faut décrire la demiellipse inférieure; mener une tangente horizontale , et l’anneau s’arrêtera au point de contact.

Lorsque les points L et M sont sur la même ligne horizontale , il est clair que que la verticale qui passera par ce point divisera là ligne en deux parties égales ; ce cas est celui d’équilibre des réverbérés qui éclairent les rues.

{l'ig. 55. ) Soit ACDEFB une corde fixée aux points AB, aux points CD EF sont suspendus des poids P, P', P", P'”, la corde se pliera en polygone jusqu’à ce que tout soit en équilibre ; tous les côtés de ce polygone seront dans un même plan. En effet, soit t,t\ t\ t"\ les tensions des cordons AC, CD, DE, EF,»FB, le système entier ne pourra point être en équilibre , à ipoins que les trois cordons réunis en C ne soient en équilibre. Il faut donc que ces trois cordons soient dans un même plan ; il en est de même des trois cordons C D, DE, DP; mais les deux cordons P et P', étant

J ' Manuel •

parallèles , sont dans un même plan : donc teS trois plans ne font qu’un seul et même plan. On démontrera de la même manière que les deux autres cordons se trouvent encore dans un même planj donc tout le système sfera dans un

même plan. . j * r*

# ce. Dans l’équilibre des trois cordons AC,

CD, CP, la tension t agit de A vers C , et la tension t' de C vers D; dans l’équilib^ autour du point D,la même tension t ' est censée agir de D vers C , et la tension de D vers E ; et dans l’équilibre autour du point; E , cette même tension agit versD. En continuant ainsi, on verra qu’il y a douze forces qui se font équilibre ,

savoir : * .

les tensions — ï*, t“ — et •

et les forces P, P*, P“» P*'* >

or les forces détruisent.

Il faut donc qu’il y ait équilibre entre les deux cordons et les quatre forces P, P% P**, P”* î il fant donc aussi que la résultante des deux forces extrêmes soit égale et directement opposée à la résultante des quatre forces P, P‘^

pii^pui^

Ori' cette résultante est égale à la somme de& forces, et verticale ; par conséquent , si nous> ' prolongeons les- deux cordons extrêmes, et si nous menons par le point de rencontre une verticale, cette verticale renfermera la résultante desforces, et par conséquent leur centre de gravité. ' CCI. Jusqu’ici noUs n’avons pas eu égard à

t)E MÉCANIQUE. 127

la pesanteur de la corde ; mais ce que nous avons dit s’applique également à une corde pesante; car on peut la considérer comme composée d’une suite de cercles perpendiculaires à son axe, et à chaqùe cercle on peut suLstituer un poids appliqué à son centre ; de sorte qu’une corde pesante peut être regardée comme une droite dont tous les points seraient chargés de poids infiniment petits ; par conséquent , cette corde prendra la forme d’un polygone d’une infinité de cotés , ou d’une courbe plane. Si au lieu d’une corde on prend une chaîne composée de chaînons égaux , cette chaîne affectera encore la même forme : aussi a-t-on donné à cette courbe le nom de chaînette.

CCII. {Fig- 56.) Soit la chaînette AB; si par les extrémités A, B on mène des tangentes à la courbe, elles peuvent être regardées comme le prolongement des côtés extrêmes; si par le point de rencontre on mène une verticale, elle passera par le centre de gravité de la chaînette, et si l’on prend sur la ligne AH une ligne OR pour représenter le poids de la corde , et qu’on achève le parallélogramme, OM représentera l’effort supporté par le point B, ON l’effort supporté par le point-A. .

CCIII. Si l’on fixe un point K quelconque de la chaîne, il est évident qu’en supprimantda portion BK , AK restera toujours en équilibre , et si par le point K on mène une tangente , et qu’à partir du point O' d’intersection , on

laS ' MANUEL ,

prenne sur la verticale O' H'' une ligne O' R' qui représente le poids de la chaînette Al K, O' M' représentera la tension du point K , O' N' la tension du point A.

CCIV. Au pohit le plus bas de la corde, la tangente est horizontale, et si les points A et B sont sur la même ligne horizontale, ce point sera au milieu de la corde , et la verticale qui passe par ce point divisera la corde en deux parties égales.

CCV. Supposons un collier formé par une suite de petites sphères de masses égales ce collier prendra la forme d’une chaînette , et toutes les sphères animées de forces égales se tiennent en équilibre.

CCVI. {Fig. 67.) Soit le collier AB O ; si on le fait tourner autour de AB de manière à conserver toujours la forme de la chaînette AOB , elle sera encore en équilibre, même en* retirant le lil qui joignait les sphères ; car, dans le premier sens , les forces allaient de la convexité vers le centre de la terre ; dans le second,

. elles s’y dirigent en partant de la concavité. Les forces n’ont donc fait que changer de direction ; or, dans le premier cas , elles étaient maintenues en équilibre à l’aide d’un ül ; dans le second cas , elles y sont maintenues par l’impénétrabilité des sphères.

.CCVII. Il est très facile de décrire la chaînette ; il suffit de fixer un fil par ses extrémités, et de tracer ensuite la courbe le long du fil.