DES PLANS ET DES SURFACES FIXES

CCX. Lorsque tous les points d’un corps peuvent se mouvoir dans telle direction que l’on veut , le corps est entièrement libre ; mais s’il existe dans le corps un seul point qui soit entièrement fixe, et supposant le corps sans élasticité et sans flexibilité, tous les autres points du cdrps pourront se mouvoir; mais chaque point , devant toujours rester à la même distance du point fixe , ^ ne pourra décrire qu’une ligne située sur une surface sphérique. Ainsi , un point éloigné d’un centimètre de dis-tance du point fixe pourra se placer sur tous les points de la sphère qui a le point fixe pour centre et nn'centimètre de rayon, et ainsi des autres points.

CCXI. Lorsque le corps a deux points fixes , il est évident que tous les points du corps qui se trouvent sur la droite- qui joint les deux points sont aussi fixes , et les autres points peuvent décrire des circonférences perpendicu-

DE MÉCANIQUE. l3l

laires à cette droite fixe et ayant leurs centres sur cette droite.

CCXII. Lorsqu’un coqis a trois points fixes non situés sur la même droite, alors le corps est entièrement fixe ; aucun de ses points ne peut prendre de mouvement , et toutes ses faces sont fixes.

CCXIII. Une suif ace est fixe lorsqu’elle est la face d’un corps fixe.

CCXIV. Nous allons examiner quelles sont les conditions d’équilibre d’un corps qui est posé • sur un plan fixe et sollicité par des forces quelconques; le cas le plus simple est celui où un corps touche le plan fixe par un seul point, et où le corps n’est sollicité que par une seule force. Nous faisons pour le moment abstraction de la pesanteur.

CCXV. {Fig’ Soit donc ABCD un plan fixe, MNO un corps terminé en pointe tel qu’une toupie , et touchant le plan par le point O ; soit P une force dont la direction passe par le point O , poussant le point contre le plan et agissant perpendiculairement au plan , le corps restera en équilibre; car menons par le point O dans le plan deux droites quelconques O L , ’O T, elles sont toutes perpendiculaires à la direction ■de la forçe. Si ce point O devait se mouvoir, il n’y aurait^ pas plus de raison pour qu’il aille suivant OÙ que suivant O T : donc il y a ^équilibre.

CCXVI. (/'’i^. 6o. ) Supposons maintenant que la force passant parle point O soit oblique

MANUEt

à l’égard du plan; par le point O j’élève une perpendiculaire au plan ; par cette perpendiculaire et la force je fais passer un plan qui coupera le plan fixe suivant une droite O K : achevant le rectangle O L N I , au lieu de la force P représentée par ON, nous pourrons prendre les deux forces composantes O L et 01; la force O L sera détruite par la résistance du plan : il ne restera donc que la force O I , et le point OL se mouvra suivant la droite OI.

CCXVII. Le plan LOIN est perpendiculaire au plan fixe, et passe par ON, direction de la force»; par conséquent, lorsque la force passe par le point de contact et qu’elle est oblique à l’égard du plan , le point de contact se mouvra suivant la ligne d’intersection du plan fixe avec un plan qui lui est perpendiculaire , et qui passe par la direction de la force ; ou , en d’autres termes , le point se mouvra suivant la projection de la direction de la force sur le plan fixe.

CCXVIII. {Fig, 6i.) Supposons maintenant que la direction de la force P ne passe pas par le point de contact ; au point de contact appliquons deux forces parallèles et égales chacune à P, et directement opposées entre elles, au lieu de la seule force P nous aurons une force appliquée en O et un couple ; la force appliquée en O procurera un mouvement de translation au point O , et le couple produira un mouvement de rotation ; par conséquent le corps eulbutera sur le plan.

Di" ■ -

DE méAnique. i33

CCXIX. Si la force D était toujours perpendiculaire au plan , mais sans passer par le point de contact, le corps s’abattrait et le point O ne prendrait pas ce mouvement de translation.

Soit, par exemple, une sphère placée sur un plan J si on la frappe dans nne direction perpendicûlaire au plan , mais ne passant pas par le point de contact , la sphère prendra un mouvement de rotation , mais n’en prendra pas de translation.

{Fig. 62 .) Ainsi , dans cet exemple, la sphère O tournera dans le sens de N M R.

CCXX. Il suit de tout ce qui précède qu’un corps qui touche un plan fixe ne peut être en équilibre que lorsque , i**. la direction de la force passe par le point de contact; 2 ®. elle est perpendiculaire au plan fixe; 3 °. elle pousse contre le plan. Une seule de ces conditions venant à manquer, il n’y a pas d’équilibre.

CCXXI. Supposons maintenant que le corps ^ toujours sollicité par une seule force, touche le plan fixe par deux points.

{Fig. 63.) Soit DF le plan, fixe AMN B; le corps touchant le plan fixe par ses extrémités A et B , la force P fait naître en A et en B des ' pressions qui doivent être perpendiculaires au plan pour qu’il y ait équilibre ; par conséquent, les pressions ont des directions parallèles , et la résultante de ces pressions doit être égale et directement opposée à la force P. Or, cette résultante est parallèle aux composantes ; elle

l34 MAfuEL

C 3 t donc aussi perpendiculaire au plaif:ÿ et passe par un point O situé entre A et B. Il faut donc que la force, P, i®. soit perpendiculaire au, plan ; passe par un point de la droite AB ;

3®. pousse le corps contre le plan. Lorsqu’une de ces conditions njanque > 1 équilibre n a pns .

lieu. * . • • '

CCXXII. Connaissant la grandeur de la force P, et le point O où sa direction rencontre la ligne A B , il est aisé de trouver les pressions gxgrcées aux points A et B en décomposant ^ cette force.

CCXXIII. Lorsque le corps touche le plan par plusieurs points ^ il est facile de voir, en i répétant le même raisonnement , que pour deux points, pour, qu’il y ait équilibre, il faut trois ' conditions : i^. que la force unique spit per- , pendioulaire au plan; a®, qu’elle passe. dans ^ l’intérieur du polygone , formé par les points de contact ; '3®. qu’elle pousse le corps contre le jrfan. Si une de cés conditions manque , il

n’y a pas équilibre. . . î

CCXXIV. Lorsque le nombre de points dé contact 'devient infini , c’est-a-dire lorsque le corps touche par une base finie , les conditions j d’équilibre sont: i®, que la force soit perpendiculaire au plan fixe; a®, qu’elle passe dans- j l’intérieur de la base dé contact, et 3®. qu elle ' pousse la base contre le plan.

‘ GCXXV. Lorsque le corps est sollicité par tant de forces qu’on, voudra , il faut , pour qu il y ait équilibre, i®. que toutes les forces puissent

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DE. MÉCANIQUE. l35

se réduire à une seule; 2 *. que la direction soit perpendiculaire au plan ; 3°. qu’elle passe par un des points de contact ; 4°- qu’elle pousse le corps contre le plan. Une de ces conditions manquant, l’équilibre est impossible.

CCXXVI. Lors donc qu’il n’y a que deux forces, il suit de la première condition que, dans lé cas de l’équilibre, les forces sont dans un même plan , et de la deuxième , que ce plan est perpendiculaire au plan fixe.

CCXXVII. Problème. Un corps pesant étant posé sur un plan fixe , quelles sont les conditions d’équilibre ?

Solution. Un corps pesant étant un système de points matériels sollicités par des forces parallèles et égales , elles ont toujours une résultante ; par conséquent , la première condition est satisfaite.

La direction de cette résultante étant verticale , la seconde condition exige que le plan lui soit perpendiculaire ; il faut donc que le plan soit horizontal.

La direction de la résultante passe par le centre de gravité ; en vertu de la troisième condition , il faut donc que la verticale qui y passe rencontre un des points de contact, et la pesanteur agissant de haut en bas , il faut donc , en vertu de la quatrième condition, que le corps soit placé sur le plan et non en dessous.

CCXXVIII. Exemple. Pour faire tenir en équilibre, par son sommet , un cône pesant ’ 64), il faut 1 ®. que le plan MN soit hori-

l36 ^ MANUEL.

montai; a».‘ que la verticale, passait par le centre de gravité G, passe par le jpoint I, alors le cône est en équilibre. » • . ,

CCXXIX. Il est évident que le plus léger mouvement fera sortir le point I de la verticale^ et fera cesser la seconde condition ; il y aura donc mouvement de rotation , et le corps tom- * bera sur le plan. On appelle cette sorte d’équilibre un équilibre instable y car le plus petit mouvement le fait cesser.

Si' le cône est placé par sa base sur le plan horizontal , il sera évidemment en équilibre. En Técartant de cette position il ne sera plus en équilibre; mais il reviendra se poser sur sa base AB , et cet équilibre est dit stable y parce que , même après avoir été troublé, il revient à sa première position ; lorsqu’on l’écartera de manière à rendre la ligne A G verticale , alors il y aura équilibre instable: si on l’écarte da.vantage , l’é- ^ quilibre cesse entièrement et lé corps tombe.

. CCXXX. Tous les corps étant pesans, il s’ensuit que Jious les voyons toujours en équilibre et non en repos , et cet équilibre est plus ou ^ moins stable. - .

• 't' ^XXXi. Soient deux parallélipipèdes rectangles.'posés sur un même plan horizontal , et ayant inémes bases et des hautèurs inégales ; soient D le centre de gravité du.petit,et O celui du grand , abaissons 'les perpendiculaires D M , OQ. -

65.) Des points Q et IVI abaissons des perpendiculaires, QR , MN sur les côtés ABv

bÿ tjOOgK

DE MÉCANIQUE. iBy

ab. Menons les lignes OR et P N pe»’oendiculaîres aux arêtes AB, ab^ les côtés AB, ah étant égaux; A R moitié de AB sera égale à aN moitié de ah; gxï transportant le petit parallélipipède sur le grand, il est évident que le point N tombera sur le point R ; le point M sur le point Q et la ligne MD sur QO; mais la ligne DM étant plus petite que QO, le point D se trouvera au-dessous du polht O ; donc l’angle DNM est plus petit que l’angle ORQ; mais DNM mesure l’inclinaison de la droite DN sur la base ; il en est de même pour ORQ; par conséquent l’inclinaison de^DN sur la face ahfe perpendiculaire à la base, sera plus grande que celle de OR sur ABFE; mais en faisant tourner les parallélipipc.des dans le même sens autour des arêtes AB cX. ah jusqu’à ce qu’ils parviennent à l’étal d’équilibre instable; pour qu|ï le grand y arrive il faut que OR devienne vertical , alors il aura donc décrit un angle égal à celui que cette ligne forme avec le plan ABFE. Or, cet angle est plus petit que l’angle analogue du petit parallélipipède ; le parallélipipède le plus élevé arrive donc plutôt à l’état d’équilibre instable; ainsi le grand jiarallélipipède se renversera quand l’autre reviendra encore à la i)rcmière position: donc le grand parallélipipède est moins

stable que le petit. \

CCXXXII. En général, les corps'pesans sont d’autant plus stables sur un plan fixe, qu’ils y reposent par un plus grand nombre de points de contact, et que le centre de gravité est plus bas^

. i38 Manuel

CC^^Xin. PaoBLÉuE. Un corp» pesant étant i placé sur un jplan incliné à l’horizon , trouver les conditions d’équilibre.

Solution. ^Fig. 66.) Soit LMN un corps pesant et G son centre de gravité , il est placé sur un plan HL VU incliné à, l’horizon ; s’il n’y avait pas d’autres forces que la pesanteur^ il ne pourrait pas rester en équilibre (CCXXVIU). Supposons donc qu’il soit maintenu par la, force Pj soit Q le poids du cprps passant par le centre de gravité G, le corps est donc sollicité par deux forces , alors nous rentrons dans le cas d^un problème déjà traité (CCXXVI). Il faut donc 1®, que la direction de la force P Soit dans le même plan que la verticale AT, et en achevant le .parallélogramme AXYZ; il faut que

la résultante A Z des deux forces Pet Q soit perpeudiculqjlre au plan incliné, ou , en d’autres termes , queîeplan des deux forces soit perpendiculaire au plan incliné j' 3 °. que cette résultante passe par un des points de contact -du corps avec ,1e plan; 4®* cet^ résultante pousse contre le plan fixe.

’ CÇXXXIV. {Fig. 67.) Lorsque la force est parallèle au plan incliné , on trouve , dans le cas de l’équilibre, un rapport remarquable entre la force , le poids et la pression ; la direction de la force et la verticale passant par le centre de gravité, devant être dans un même plan , soit AB l’intersectioil^de ce plan avec le plan incliné, et AH son Jii^er section av.ee;; un plan horizontal pas.sant par un point* qudconqàè A ; soit B H

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une perpendiculaire au même plan horizontal abaissé d’un point quelconque B : quelle que soit la position des points A et B, le triangle que l’on obtiendra sera toujours semblable au triangle ABU, et l’angle BAH mesure l’inclinaison du plan incliné sur le plan horizontal. On a donné des noms particuliers aux trois côtés du triangle BAH.

L’hypothénuse A B est la longueur du plan incliné, ^

AH , sa base, >

BH , sa hauteur.

Tant que l’inclinaison du plan ne varie pas, le rapport entre ces trois lignes reste constant y prenons les droites QC, ÔI proportionnelles. au> poids du corps , et à la force P. ■

Si l’on achève le parallélogramme OCDI, la dia^nale OD se^a perpendiculaire au plan, incliné et représentera la pression; mais le triangle OD Ç est semblable au triangle A B H. Comparant les côtés homologues , on a la poro- . portion

od :cd: oc:: AH :BH: AB .

• Par conséquent, lo. le poids est à la force comme la longueur du plan incliné est à la hanienr. . »

a**. Le poids est à la pression comme la hauteur est à la base.

CCXXX'V, Il suit de; là que la force et la’ pression sont toujours plus petites que le poids lorsque l’angle d'inclinaison est dé 45 degrés ,

l4o MANUEL

la base est égale à la hauteur^ et , dans ce cas y la force sera égale à la pression.

Lorsque l’angle est de plus de 4 5 degrés , alors *la force est plus grande que la pression , et lorsque l’angle est plus petit que 45 degrés, la pression est plus grande que la force.

CCXXXVI. Connaissant l’inclinaison . d’un plan , les tables des sinus naturels donnent le rapport entre la base , la hauteur et la longueur.

' CCXXXVIL Le poids Q, qui fait «quilibre au poids R, s’appelle le poids relatif du corps {Jig. 68 ) ; plus l’inclinaison diminue , et plus le poids Q diminue : en sorte que lorsque le plan est ^ entièrement horizontal, le poids est nul. La plus petite force suffit donc pour traîner un poids placé sur un plan horizontal ; les efforts qu’on ëst obligé de faire pour le déplacer ne proviennent pas de son poids, m*is du frottement. ' '

CCXXXVIII.. Les fardeaux que porte un homme sur ses épaules , le dos incliné , se partagent, et entre la pression qui s’exerce sur le dos, et entre le poids relatif qui se fait sentir sur ses épaules ; plus l’homme est incliné,. plus la près- , sion est grande sur le dos; et, pour rendre la station plus stable , il emploie un bâton , ce qui lui fait trois points d’appui.

CCXXXIX. La station d’un homme sur un plan horizontal est la position dans laquelle son centre de gravité tombe dans l’espace renfermé entre ses deux pieds. Dans la marche il souleva

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nn pied, le centre de gravité du corps sé déplace, et, pour se tenir en équilibre, il faut qu’il transporte son centre de gravité sur l’autre pied; avançant le pied qui est en l’air, le centre de graTité se déplace de nouveau, et la verticale du poids ne rencontrant plus un point d’appui , le corps tombe jusqu’à ce que le pied touche la terre ; de sorte que la marche ne consiste que dans une suite de stations et de chutes continuelles.

En général , toutes les positions que prend l’homme dans la course, dans la marche, s’expliquent par la position que prend son centre de gravité et par les points d’appui que présentent les pieds.

CCXL. Lorsque la force P est liorizontale , prenant O C pour représenter le poids du corps, et achevant le rectangle OCDI, 01 et OD représenteront, l’une la force P et l’autre la pression dans le cas de l’équilibre sur le plan üxe ; soit G le poids et R la pression , on aura

P:G:R :: CD:oc;OD:: bh:ah: ab

Donc 1 °, la forcé est au poids comme la hau-. teur du plan incliné est à sa base ; <

2 °. lia force est à la pression sur le plan, comme la hauteur est à la longueur.

. Lorsque l’angle d’inclinaison est de 45 degrés , la force est égale au poids.