AA': AH.:: AI: AP
et PM = PI-~lM = z — IM;
d’où
CCCliX XX VI. Prenant la valeur def=:~*
'dans l’équation (3) , et là sübst^ant dans * * Téquation (4), on obtient
bx , .
' Si l’ort donne à x une valeur à volonté^ on eobnaîtra , à Taide de cette équation , la valeiîr 'correspondante dé jr : on aura donc, • ainsi un nouveau moyen de construire la trajectoire pair points. ,
CCCLXXXVII. Tant que le preîbier’ terme
or"
est plus grand que le second terme
la .valeur de jr est positive , et le mobile est audessus de l’horiaiontale, A R j mais lorsque le second terme est plus gi;and que le premier terme , la valeur de j est’ négative , et le mobile, se trouve au-dessous de l’horizontale; lorsque ces deux' termes' sont égaux; la valeur dey devient nulle et le point se tr.ouve en R , à ^’inUfersectiôn de l’horizontale avec sa trajectoire» On a ' donné à la corde A R le nom ^amplitude horizontale pour la * trouver , if^ Tant poser l’équation ■ - ^
'■d’où
bx
Tg'-. '
)iVTl( j
DE MÉCANIQUE. ai 5
kt ■ * = AR-= — (6).
L’aire du rectangle. A H A' K est exprimée • par ah; ainsi , la grandeur de l’amplitude liorizoutale est proportionnelle, à, cette aire ; et, pour la même aire , on a toujours la m^me ampliûide. 11 existe donc une infinité de vitesses' de projection qui donnent la même portée horizontale; si l’on construit le rectangle AV If^L de ^rte que AV soit égale à AK., et VI à êtH, l’on aura AI,=:= AA'==V : à cette vitesse -de projection -AI correspond la* même portée horizontale qu’à la vitesse AA\ et il est évident que I<Bur8;dvcctioBS'.;form^nt des angles égaux àvec'la’ Ugiie qui divise l’angle droit ep deux parties* égales. Par conséquent, chaque portée horizontale peut êhre. oibtenüe par- la même vitesse de projection mais faisant avec ■ l’horizontale des angles cpmplémens l’un de l’autre ; ainsi , l’angle de projection de 1 5 degrés donne la même amplitude. hori;&optàle que l’anglé^de degrés.'"' • 'V j - *
CCCLXXXVIII, On sait par la géométrie que le carré est^le plus grand rectangle que l’on' puisse inscrire dans la circonférence j par conséquent , conservant la même vitesse V, et fai- ' sant varier les angles, l’aire a b sera la plua. grande possible lorsqu’on aura a -=^b, ou A Y ' =X Y, par conséquent ; avec la même vitesse V, ; on obtient la plus grande pprtée ,. en lançant lii.r projection . sous l’angle ,.dç, 45 ^degrés, et^jÇeUe|
amplitude, la plus grande, est égale à
CCCI.XXXIX. Les pins grandes portées horizontales sont donc proportionnelles aux <iarrés de c’est-à-dire aux carrés des vitesses dans le sens horizontal on vertical; • ; -
ab
'■ CCCXC. Prenôns AZ=:- AR la
gne Z.K, .qui correspond à AZ, est la pins grande valeur que pourra prendre y ou la plus grande hauteur à laquelle .s’élèvera le projectile,’ dnnc l’équation (5) donne, p(mr cette hauteur, b ah h* - b* ' .
Ainsi, cette hauteur dépend uniquement de la vitesse verticale AK, et nullement de la vitesse horizontale AH» ^ r ’
CCCCXI. Dans Ja trajectoire, AK' R ^ p^- . 4uite par ,1a vitesse A I , on a ; •
‘ .■•zV=-^ ; d6ncZK; ZK':: J* ' .
‘ CCCXCII. On a la proportion" ‘ . ,
' ‘O* üab. '
/.; • KZ:Aftr.-^r'^::5;7»û.
Ainsi , la hàiitéür du jeè*:èsît’ à la portée horînontale coimiic la vitesse de projection , esliçiée
t by
verticalement, est à quatre fois celte vitesse, estimée dans le sens horizontal.
CCCXCIII. Lorsque l’angle de projection est de 45 °j l’on a h=:a; donc sous cet angle la hauteur du jet est égale au quart de la portée.
CCCXCIV. Le mobile étant arrivé à un point M quelconque de la trajectoire , est animé de deux vitesses: l’une MF, égale et parallèle à la vitesse initiale V; et l’autre M G , qui est verticale, et égale à gt; la résultante M O de ces deux forces est la vitesse suivant laquelle le mobile tend à se mouvoir tangentiellement à la trajectoire ; à la place de MF on peut prendre les deux vitesses MQ^rr:^ et MT = è; MO sera la résultante des deux vitesses rectangulaires a cl b — gt. Désignant pare cette vitesse tangent ielle, on aura
= — gtYz=a^-\- —ihgt-\-g'^C-^~
V^—:ibgt+g^t^ (7).
Cette équation sert à trouver la vitesse e, qui a lieu à la fin du temps t.
CCCXCV. En combinant l’équation (7) avec l’équation (4), on trouve = — 2gy (8).
On conclut de celle équation, i“. qu’à des valeurs égales de y correspondent des valeurs égales de p; or, à chaque point M de la branche ascendante AK correspond un point M', situé à même hauteur dans la branche descendante ; et à CCS deux points les vitesses sont égales et dirigées en sens opposés; 2°. au point R la vitesse est égale à V, et dirigée de haut en bas; 3 ®. au point K la vitesse est égale à <7, et
r . • • Diflitized by ”
2i8 manuel
dirigée horizontalement j 4®. dans la branche descendante, RS étant négatif, la vitesse croît* indéfiniment.
■ CCCXCVI. Soit A« = P/8==^ la hauteur d’où un corps devrait tomber pour acquérir la vitesse V, on aura donc Y^-T-gh, et i>-^ = igh-^ 2 gy = ig {h — j) ; par conséquent , la vitesse v au point M est celle qu’acquerrait un corps pesant en tombant librement .de la hauteur B M —y; la ligne horizontale a B est la directrice de la parabole.
CCCXCVII. Dans tout ce qui précède nous avons fait abstraction de la résistance de l’air, supposition qui ne s’accorde pas avec l’état réel des choses. Toutefois , lorsque la vitesse initiale est faible , ce qui arrive lorsqu’une petite quantité de mouvement est imprimée à une masse considérable , on peut, sans occasionner de grandes erreurs , regarder la résistance atmosphérique comme à peu près nulle. Aussi , pour mesurer la force de la poudre , on se sert d’un petit mortier, pointé sous l’angle de 45 ® ; on met dans la pièce une faible charge de poudre et un projectile très pesant ; on mesure la portée horizontale. Après l’avoir multipliée par ^> = 9,8088, on extrait la racine carrée du produit ; l’on obtient la vitesse initiale V (CCCLXXXVIII). L’on obtient ainsi une mesure de l’effet de la poudre dans ce mortier; mais on ne peut en conclure la mesure de 1 effet dans d’autres armes d’une capacité différente.
Mouvement varié en général y rectiligne et , curviligne ; forces centrales.
CCCXCVIII. Nous avons vu que la pesanteur imprime à chaque Instant une vitesse infi- i niment petite, qui, en s’accumulant, produit , au bout de l’unité de temps, au bout d’une seconde, une vitesse finie que nous avons représentée par g y et qu’on a trouvée par expérience être égale à 9™, 8088. Cette pesanteur est ' le résultat de l’attraction que la masse de la terre exerce sur les corps ; si cette masse était plus forte qu’elle n’est en effet , on trouverait ' ^ que^ surpasse 9,8088. Si cette masse était moins i considérable, g serait moindre. Par exemple, la masse de la lune est 0,0146 de celle de la '
terre : ainsi, dans ce satellite, on doit avoir j
X OjOi 46 ; c’est-à-dire' que les vitesses infiniment petites qu’occasionne à chaque 1
instant la pesanteur lunaire, produisent au bout j d’une seconde une vitesse de o™,i47.
Autre exemple : La masse de Saturne est 98 ' . 1
fois plus considérable que celle de la terre la I
pesanteur sur cette planète est donc 98 fois j
plus considérable que sur la terre. Dans cha- ' j cune de ces trois planètes , la chute des corps j
est un mouvement uniformément accéléré, dont • 1 les équations sont
I sur la terre.
I sur la luné.
, 220 / MANUEL '
^ ^ îa } Saturne. .'.
Ainsi , sur Saturne la pesanteur engendre à chaque seconde une vitesse qui surpasse la plus grande vitesse que nous donnons aux projectiles de nos' bouches à feu^ et toutefois cette pesanteur n*est pas le tiers de celle qui existe sur Jupiler. Il faut observer que nous ne tenons pas compte ici de la diminution que subit la pesanteur à raison de la force centrifuge, qui est environ dix-huit fois plus grande sur l’équateur de Saturne que sur l’équateur terrestre: c’est ce qui sera expliqué plus loin.
CCCXCIX. Pour d’autres planètes on trouverait d’autres pesanteurs ; et en général quelque valeur qu’on donne à g, on peut toujours concevoir une masse dont l’effet attractif, uniformé- • ment continué, produise, au bout d’une seconde, une vitesse égale à la valeur attribuée à g. Supposons maintenant qu'un point matériel A part de A {Jîg. 117), et soit sollicité à chaque instant par une pesanteur différente , mais toujours dirigée vers le même point O, il est évident que le point se mouvera sur la droite AO ; mais la vitesse en chaque point de cette trajectoire rectiligne , et les rapports entre les espaces décrits et les temps écoulés, dépendront de la manière dont ces différentes pesanteurs croissent ou décroissent. Étant dpnnée la loi de ces pesanteurs, toutes les circonstances doivent être déterminables ; et en effet , à l’aide des calculs différentiel et intégral ’on parvient à les déler-
miner. Si , par exemple , la loi de ces pesanteurs est telle , qu’elles croissent à mesure que le point mobile s’approche davantage du point fixe O, en d’autres termes, que ces pesanteurs croissent en raison inverse d’une fonction quelconque de ces distances, et admettons que ce soit en raison inverse des carrés de ces distances , il existe une certaine distance OB = 6, à laquelle le point mobile est sollicité par une pesanteur égale à g*, à la pesanteur terrestre. Si nous représentons par z la distance quelconque OC, et par cp la pesanteur qui agit sur le point en C , on aura , en vertu de la loi établie , les pesanteurs
d’où ^ = 1^.
■ Lorsque le mobile est en C , l’espace décrit sera AB = AO — OC.
Soient , AB = e
