AO
onauraz = <2 — e,etd> = - r- C*)* • '
Soient encore t le temps écoulé depuis le •• départ , et p la vitesse qui a lieü en B ; désignons par <p' , Z y V , e', t* les quantités analogues qui existent lorsque le mobile est en C, on aura
Si le mouvement, à pplir.de B,' devenait uni-
forme, on aurait ùz=z'vz=z
(2). Ccltc;
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222 MANUEL • - '
équation s’éloignera d’autant moins de la vérité, que la 'différence entre i et t sera moindre. De même, si à partir de B le mouvement eût été uniformément accéléré , on aurait eu
(; crl,^
équation qui s’approche d’autant plus de la vérité, que l’intervalle entre /'et / est moindre. Le calcul intégral, apprend à traiter cette sorte d’équation approximative, que l'on peut rendre de plus- en plus exacte; et, dans le cas actuel, ce calcul tire de l’équation ( 2 ) celte autre.
a \a — ej
Ainsi , les carrés des. vitesses* croissent proportionnellement atix distances .parcourues , et inversement à distances à parcourir jusqu’au centre.
Des équations ( 1 ) et (3) on déduit
Or, plus le temps augmente , et plus l’espace e s’approche de a , et plus le rapport approche
d’étre égal à — ^ ; mais lorsque le mobile est
arrivé au centre, alors et p prennent des valeurs infiniment grandes , et l’on a alors exacte-
ment ■ -l. — ^
La force attractive (p, qui retient le point mobile
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DE MÉCAmQDE. 223
au, centre O , est dpnc infiniment plus considérable que la vitesse acquise , qui tend à pousser le mobile au-delà du centre ; par conséquent, le mobile arrivé au centre O y restera , et n’ira" pas du côté opposé. C’est ce qu’on peut voir directement par l’équation (/»), où e ne peut devenir, négatif sans que pne devienne imaginaire. Li’équation (4) peut se mettre sous la forme ^
fT ^ e)
Si donc <2 , a — ■ e , b sont des quantités très considérables relativement à c , on a sensible-
ment — =:i , et p® =
et alors les carrés de vitesse croissent comme les espaces parcourus ; c’est ce qui a lieu lorsque O représente le centre de la terre , et A un corps mobile qui se précipite vers la surface terrestre ; car b étant le rayon terrestre , a la distance du mobile au centre de la terre au commencement du mouvement , et a — e cette même distance au bout du temps t , ces trois lignes sont infiniment grandes relativement à l’espace parcouru e. On voit donc pourquoi la pesanteur terrestre, variant avec la raison inverse des carrés des distances , et devant par conséquent imprimer des vitesses dont les carrés varient suivant le cas énoncé dans l’équation (4) , parait toutefois imprimer des vitesses , comme si la pesanteur était constante et indépendante des distances au centre. ‘ '
22/^ MANUEL t
Désignant par v la vitesse correspondante à Tcspace é , on aura
et par conséquent
P* — — — )=2g-^* — TIT" 5
\(«-^e)(a — éy) ® ddi
a — en=i/, a — e — d*
CCCC. Celle loi des pesanteurs , de décroître proportionnellement au carré de la distance au point fixe, est celle qui a effectivement lieu dans la nature; ainsi , la chute des corps n’est pas , en toute rigueur, un mouvement uniformément accéléré. Les vitesses ne sont pas rigoureusement proportionnelles aux temps, ni les espaces proportionnels aux carrés des temps; ce sont des approximations qui ne s’éloignent pas beaucoup des rapports véritables: ^
CCCCI. Si un point matériel est soumis a des pesanteurs qui croissent en raison directe des distances, on trouve, en raisonnant comme ,ci7dtçssus ,
et le calcul intégral donne
N p“ = ~(3oe
Lorsque e==a, on trouve
ga^
Lorsque e = a/j, on trouve p“=o.
Par conséquent, au centre O la vitesse est
égale k - — ; et à une distance OA' = oA, ou b
^ = AA' = 3«, la vitesse est nulle; c’est-àdire , lorsque le point mobile sera arrivé .au centre , il s’en éloignera en vertu de la vitesse acquise , et ira de l’autre côté du centre ; sa vitesse décroîtra, et lorsqu’il sera éloigné du centre de la même distance qu’au point de départ, la vitesse sera nulle. Alors le centre exerçant son effet attractif, le point s’en rappro- • 'chera , et passera de l’autre côté jusqu’à son premier point de départ ; de sorte que le mobile oscillera continuellement de A en et vice "versd. * '
CCCCII.Cette loi de pesanteur es t celle qui a lieu pour les corps qui tombent dans l’intérieur de la terre , comme dans les puits des mines , etc. : car, au-dedans de la terre, le point est soumis, à deux forces attractives , l’une exercée par la masse du globe qui est au-dessous du point , et qui l’attire vers le centre ; l’autre est exercée par la masse du globe qui est au-dessus du point, et dont l’effet est de l’éloigner du centre. De* ces deux pesanteurs opposées en résulte une seule qui agit , selon la loi , de la raison directe des distances. ( Voir Note, i o.) •
CCCCIII. On a donné le nom de centre d*at^ traction au point fixe O , et les diverses pesanteurs qui attirent le point mobile vers le centre ont été* appelées forces centripètes.
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