SEIZIÈME LEÇON

FORCES GENTRAI^ES; PROPRIÉTÉS DES TRAJEC- TOIRES qu’elles font décrire.

CCCCIV. En combinant la gravité, force centripète uniforme, avec une force de projection, nous avons vu que le mobile décrit une parabole. On peut de même combiner une force de projection avec des forces centripètes so*umises à des lois données , et les trajectoires dé-.^ crites seront des coiirbes dont la forme dépendra de ces lois; toutefois, lorsqu’il n’existe qu’un seul centre d’attraction , toutes ces courbes jouissent en commun de certaines propriétés que nous allons développer.

CCCCV. Soit un corps A (./%• 1 1 8 ) , soumis à une force d’impulsion dont la direction passe par le centre de gravité A du corps , et qui donne à tous les points du corps une vitesse V, dirigée suivant A K , s’il n’existait point d’autre force , le mobile prendrait un mouvement uniforme le long de la droite AK. Maintenant*, si tous les points du corps sont en outre sollicités par des forces attractives , par des pesanteurs telles, qqe la résultante de toutes ces forces passe constamment par le centre de gravité A dù corps et par le point fixe F, alors il est évident que le mobile ne restera pas sur la droite AK; il en sera détourné par l’effet des forces

attractives. Supposons qu’au bout du temps t, exprimé en secondes , le mobile soit arrivé en M , avec une vitesse acquise v, dirigée suivant la droite M S ; si dès ce moment les pesanteurs cessaient d’agir, le mobile décrirait désormais la droite M S d’un mouvement uniforme avec la vitesse v ; mais il n’en est pas ainsi, car au point M agit une force attractive dirigée suivant M F, et que nous désignons par ng ^ où n désigne le rapport entre cette force attractive et la pesanteur terrestre, de sorte que le point M est soumis simultanément à l’action d’une force impulsive* et d’une force attractive. Quoique cette dernière soit infiniment petite, relatwement à la première , elle suffit pour détourner infiniment peu le mobile de sa direction MS; et comme cette déviation a lieu à chaque instant , il s’ensuit que le mobile décrira une courbe AMM', située dans le plan qui passe par la direction AF de la force d’impulsion et par le centre F d’attraction, car aucune force ne sollicite le mobile à quitter ce plan , et la droite M S est tangente à cette trajectoire.

CCCCVI. La vitesse c, acquise par le mobile arrivé çn M, est la résultante de la vitesse initiale V et de l’accumulation des vitesses infiniment petites imprimées pendant le temps écoulé t; ces vitesses étant toutes dirigées vers le point F, choisissons ce point pour centre des momens.

On aura (CXXXVII) le moment de la résultante P, où pX FP égale le moment de la composante V, augmentée de la somme des momens

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aa8 MANUEL

dus aux forces ceitLrales. Or, cette somme est évidemment nulle , puisque les forces passent par le centre des momens (CXXXVII). 11 s’ensuit que l’on aura seulement l’équation

VXAF=pXFP. *

On suppose que l’angle F A K est droit : on aura de même en M'

VXAF = p’xFP';

P FP’

donc -, .

P FP

Par conséquent , les vitesses , à divers points de la courbe , sont entre elles réciproquement comme les perpendiculaires' abaissées du centre d’attraction sur les tangentes qui passent par ces points.

CCCCVII. Jftous avons déjà fait remarquer que si la force attirante cessait d’agir au bout du temps t, à partir du. point M , le mobile décrirait la tangente M S d’un mouvement uniforme avec une vitesse v; si cette interruption n’a lieu qu’au bout du temps t' ^ et à partir du point M', le mobile décrirait de même la tangente S’ d’un mouvement uniforme avec la vitesse p'. Supposons que MO, M' O' soient deux espaces décrits dans le même temps T en* vertu de ces deux mouvemens uniformes , on .aura donc

MO;M'o':: p:p’; ou V l V II FP’ * F P

donc m’ô :M' O'*: : f p'; f p ; d’où .M0 xFP = M'0'X1’’P '• ’

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DE MÉCANIQÜE. 22g

Or, le produit M O X F P est l’expression du double de l’aire du triangle MF O, et le produit M'O'xFP'^ est le double de l’aire du triangle FM' O'; donc les aires de ces deux triangles sont équivalentes, et cette égalité subsiste , quelque valeur, petite ou grande , que l’on donne au temps T. Or, MIO est la diîférence d’aire entre le triangle M F O et le triangle MIO, formé par les droites MF, MI, et par l’arc de courbe ML Plus le temps I devient court, plus le point O est rapproché de M , et moins le triangle rectiligne diffère du triangle mixliligne ; par conséquent, dans un temps infiniment petit , l’égalité que nous avons trouvée entre les triangles rectilignes existe aussi entre les triangles mixtilignes ; c’est-à-diré que l’aire du triangle MF/w, dont s’augmente pendant un instant l’aire mixtiligne A FM , est équivalente à l’aire du triangle M'Frn', dont s’accroît pendant le même instant l’aire AFM'. La même chose ayant lieu pour tous les instans suivans , il en résulte que les aires mixtilignes AFM , A F M' croissent proportionnellement aux temps écoulés ; or, au commencement du premier instant , l’aire mixtiligne étant A F A', conserve toujours la même valeur pendant les instans suivans; donc les aires mixtilignes sont', en général , proportionnelles aux temps ; de sorte que i’on aura

AFM: AFM';: hC

Si, par exemple, l’aire AFM est de lo®"*, et l’aire AFM' de 20™®, le mobile ipettra deux

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a3o MANUEL

fois autant de temps pour venir de A en M' que

pour aller de A en M.

CCCCVIII. On a donné le nom de rapns vecteurs ( rayons qui se meuvent ) aux lignes M F, M'F, etc. , qui mesurent les distances au centre attractif F du mobile A parvenu aux diyers points de la trajectoire.

CCCCIX. D’après cette définition on peut ainsi énoncer le théorème (CCCCVII); les aires décrites par le rayon vecteur croissent proportionnellement aux temps.

CCCCX. Supposons que deux rayons vecteurs FM, FM' deviennent des barres inflexibles et forment un levier coudé, dont F est le point d’appui , ce levier restera en équilibré , s’il est tiré en M avec la vitesse v qu’a le mobile en ce point , dirigée suivant M S » et en M' avec la vitesse v' dirigée en sens oppose ; c’est une conséquence de la proportion dite des vitesses aux perpendiculaires FP ,FP^ (C CCCVI), et la résultante des deux vitesses v et e' passe évidemment par le centre F d’attraction.

CCCCXI. Lorsqu’un point décrit une trajectoire avec des vitesses telles , que partout elles sont inversement proportionnelles aux perpendiculaires F P, F P', abaissées d’un point F sur la direction de ces vitesses , on en conclut que le point a reçu une force d’impulsion , et est sollicité par une force attractive vers le point F ; c’est la réciproque de la proposition énoncée (CCCCVI) , et se démontre d’une manière analogue.

DE Mécanique. a3i

CCCCXII. Lorsqu’un point décrit une trajectoire de telle sorte que son rayon vecteur, tournant autour d’un point fixe F, décrit des espaces proportionnels aux temps; ce point sera mu en vertu d’une force initiale d’impulsion et d’une force centrale dirigée vers le point fixe F. C’est la réciproque de la proposition énoncée (CCCCIX); car la proportionnalité directe des espaces aux temps entraîne la proportionnalité inverse des vitesses aux perpendiculaires ( CCCCVI ) , et , par conséquent , l’existence d’une force centripète.

CCCCXIII. (P étant la quantité angulaire dont le rayon MF a tourné pour venir de M en M’ J *9)» l’espace angulaire <p X MF= MI sera l’espace angulaire décrit pendant le même intervalle de temps par le point M. O», on a l’aire du secteur circulaire F M r égale M FX'

MI, ou bien pour une troisième

position M"F du rayon vecteur, on obtient un secteur circulaire F M' I', dont l’aire est égale à M F“ X . Si les temps pendant lesquels les deux secteurs circulaires sont décrits , deviennent égaux et tous deux infiniment petits, le rapport entre leurs aires ne diffère pas de celui entre les aires des secteurs mixtilignes MFM’, M’ F M"; or, dans cette hypothèse, ces dernières aires sont égales (CCCCIX). Donc on aura aussi

jm'F“X<P' = |-MF=‘X^;

MANUEL

Donc les vitesses angulaires des rayons vecteurs

sont en raison inverse des carrés des rayons vecteurs.

CCCCXIV. Représentons par MO 1 * 9 ) la force accélératrice qui agit en M suivant MN; décomposons cette force en deux autres:

l’une MN, dirigée suivant la tangente; et l’autre M Q , dirigée suivant - M S* perpendiculaire à la tangente. Lorsque l’arc M M' est très petit, le triangle MM'I devient semblable au triangle MON; car les deux angles en N et en r sont droits. L’angle MFK=<^ {.fig' **9) étant la différence entre les deux angles F M N et FKM. Lorsque ^ est très petit, ces deux angles n’ont plus de différence sensible; de même l’angle M K étant l’excès de l’angle M M’ r sur MK‘M', lorsque M' est très près de M, l’angle M' M K étant presque nul , les angles K et M deviennent presque égapx,» Par conséquent, pendant un temps T très petit , l’angle N MO est égal à l’angle MrM' ; donc les deux* triangles MN O , M M' r sont semblables , et fournissent la proportion .