DIX-SEPTIÈME LEÇON

TRAJECTOIRES CIRCULAIRES ET ELLIPTIQUES} FORCES centrifuges; lois de KEPLER.

CCCCXVI. Pendant l’instant ; , on peut regarder la force centripète comme constante ; et , par conséquent , elle tend à faire décrire ■au mobile, pendant cet instant ^, un espace MO^ 120) égal à -J P i*. Représentons par

N la force P, décomposée suivant la , normale M S ; de sorte que lorsque le mobile est en M» il est sollicité par une force impulsive , dirigée suivant M K, et tendant à produire la vitesse r; et par deux forces accélératrices, l’une dirigée suivant MN, et l’autre suivant MQ. La force . impulsive, si elle agissait seule pendant t, porterait le mobile de-M en I, et on aurait MI — f't; la force MN, si elle agissait seule, pu*^ terait le mobile de M en N , et l’on aurait MW = 1 S où S représente la force retardatrice

DE MÉCAPfIQUE. ^35

MN {Jig, ng ); la force M Q == N , si elle agissait seule , porterait le mobile de M en Q' et on aurait MQ' = ^ Nï’. C’est en vertu de ces trois espaces décrits que le mobile arrive au bout du temps ^ en M'; or, les espaces Ml et M N' étant comptés sur la même droite , et en sens opposés, se réduisent à un seul espace égal à MI — MN'= Pf — D’après l’ex- ' trême petitesse det, la seconde quantité doit être négligée par rapport. à la première ; on a donc MI — MN']=N1.I= vt. Il ne reste donc à considérer que les , espaces M I et M Q' ; le premier aurait transporté le mobile hors de la trajectoire d’une distance mesurée par M' I ; le second aurait transporté le mobile dans l'intérieur de la trajectoire à une distance mesurée par M Q'. Il faut donc, pour que le point reste sur la trajectoire, que l’on ait M Q' = M' I.

'CCCCXVII. Au point M' menons la normale M' ST, qui rencontre la normale MS en S, à cause de la petitesse de l’arc MM', ces deux normales sont égales, et l’on peut regarder l’arc MM' comme un arc de cercle, décrit du point S comme centre , avec un rayon égal à MS. Achevant . la demi— circonférence , on obtient

M'Q'a = MQ'XQ'X,

ou MD=zMQ'xQ'X==MQ'(MX— MQ').

Remplaçant M I , M Q' par leurs valeurs , on ' trouve .

(aMS—

MANUEL

a36 MANUEL

divisant par

-P« = iQ(2MS- iQ/*)=QXMS — JQ/% ou bien p* = QXMS.

A. cause de la- petitesse de t^y de cette équa> toire, on tire

où .'H S est le rayon de courbure de la trajec toire en M.

CCCCXVni. La force Q a été désignée sous ' le nom de force centtifuge ; en effet , la vitesse P produit le même effet qu’une force répulsive,' qui éloignerait pendant t le mobile de la trajectoire de la distance Ml';’ et la force centripète le ramène. C’est par l’action simultanée de ces deux forces que le mobile reste sur la trajectoire. L’équation (A) (CCCCXVII) fournit cet énoncé ; la force centrifuge est égale au carré de la vitesse, divisé pair le rayon de courbure.

CCCCXIX. Les triangles semblables MON , MFP, donnent la proportion