FP

V =: vitesse initiale , de direction

perpendiculaire à AF ;

V =: vitesse en M, dirigée suivant la

tangente MS; '

P ’ = la force centripète en M ;

Q x= la force centrifuge ;

on aura i>pz=z\{a — c) (CCCCVI)»

et P = — ( CCCCXIX. ) •

, Or, on sait que , dans Pellipse , on a

{a — cya a ( a-c)^ V

donc

donc P == , . .

• P^r conséquent, la force centripète décroît dans le même rapport que le carré du rayon vecteur, quc«* augmente; en d’autres termes, la, force centripète croît en raison inverse des carrés des distances. * • •

GCCCXXVII. Kepler, célèbre astronome qui vivait au seizième siècle, a trouvé, par des observations suivies ,

1°. Que les centres de gravité des planètes décrivent autour du soleil des ellipses, et que le centre du soleil est un foyer commun à toutes ces ellipses ;

DB MÉCAPriQüE. . a4 1

Que les aires des secteurs elliptiques décrites autour de ce foyer commun sont proportionnelles aux temps pendant lesquels elles sont décrites : ces deux résultats d’observations sont connus, et cités sons le nom d^e lois de Kepler. De la seconde de ces lois, Newton a conclu que les planètes se meuvent comme si elles étaient attirées par une force constamment dirigée vers le centre du soleil (CCCCXII)'; etj de la première loi , il a conclu que cette force croît en raison inverse des carrés des distances (CCCCXVI.)

CCCCXXVIII. En A, le rayon vecleur'est le plus petit possible , et par conséquent la force centripète est à son maximum, et l’on a alors

et P = ; ; = =P'..

A partir du point A , la force centripète diminue et elle atteint son mininium en k' où z ëst le plus grand possible, et l’on a alors

A partir dii point A', la force centripète croît de noiiveafl , et comme, les rayons vecteurs , tels ^ que AMj AM'', également inclinés sur l’axe Kk! sont égaux, il^ s’ensuit que les «forces centripètes sont.^ égales en cçs points ; * donc ^ la force centripète croît daçs les bran- . elles A M' À ’ par -les mêmes 'degrés qu’elle a

MANUEL

décru daps la branche supérieure ; et- en A , elle revient à sa valeur initiale P', et puis elle décroît de nouveau, et ainsi de suite.

CCCCXXIX. Dans les trajectoires décrites par les planètes , on dit que la planète est en périhélie lorsqu’elle se trouve en A ; et elle est aphélie lorsqu’elle se trouve en A' ; en- ajoutant ensemble les distancés périhélie et aphélie, on obtient le grand axe - de l’ellipse ou au; p$r conséquent la moitié du grand axe ou a est une moyenne arithmétique entre ces deux distances : de là vient la dénomination de moyenne distance , dont les astronomes se servent pour désigner lé demi-grand axe.

CCCCXXXl La plus petite valeur de p est en A , où l’on obtient p~a — ~c. Ainsi c’est dans le périhélie que la planète a sa plus grande vitesse (CCCCVI) V et elle est évidemment égale à la vitesse de projection.

A partir du périhélie A , la valeur de p augmente , et celle de la vitesse v diminue ; elle parvient au minimum en A' , où l’on a

Ainsi la vitesse en aphélie est à la vitesse en périhélie comme la* distahce aphélie est à la distance périhélie. ^

A partir de l’aphélie , les vitesses vont.en* croissant; comme les perpendiculaires F P,

sont égales ) il s’ensuit que les vitesses en M et en M' sont égales j par conséquent , 'dans la branche inférieure , les vitesses croissent par les mêmes degrés qu’elles ont déci\i dans la branche supérieure; et lorsque le point sera revenu en périhélie A, il aura encore acquis ,îa. vitesse initiale «V, avec laquelle il repartira pour décrire de nouveau la branche supérieure, et ainsi de suite. . •

CCCCXXXI. Soit y la distance à*laquelle ia force centripète P devient égale à g', à la pesanteur terrestre ; on aura donc

d’où

Or dans l’ellipse û -|- c est essentiellement plus petit que 2 a; il faut donc, pour que le mobile puisse décrire une ellipse , que l’on ait

(fl— c)V“<^2g;/'®; ou que ; lorsque

fl — c '

V* ^ la trajectoire n’est pas une ellipse.

CCCCXXXII. Lorsqu’on a V» =: alors

= 1 , et -par conséquent c=o, l’ellipse

fl -|- c

devient un cercle dont a est le rayon, et les deux foyers se' réunissent au centre; par conséquent, pour que la trajectoire soit un cercle,

MANUEL

il faut qae l’on ait V*= ; sa force cèntri-

fuge sera ~ = — — égale à la force centripète , a a

ce qui s’accorde avec ce qui a été dit ci-dessus (CCCCXXIII)/

' GCCCXXXII ihis). LorAqiie V“ z= l’on

a alors « c r=: 2 fl , et l’ellipse se Change en para|)ole. Si , l’on a û-|- c^2fl, et

la trajectoire est une hyperbole. Il est possible que certaines comètes décrivent de , telles trajectoires.

CCCCXXXIII. Nous avons vu qu’à distances égales du centre d’attraction les vitesses étaient les mêmes pour une trajectoire courbe et rectiligne (CCCCXV). Or, nous avons trouvé que lorsque l’attraction décroît en raison inverse des carrés des distances', on a

= (CCCXCIX.)

Donc , dans la- trajectoire elliptique , on aura aussi , en remplaçant d! ^ d par z'^z

d’où l’on lire V»

, z' — {a — c) iz' — d\

dt=:a — c.

Digilized oy

• Au moyen d» cette éiÿuation , quand on connaitra z', on pourra en déduire v ; car les quantités V, g, fi d sont données".* ,

CCCCXXXIV. La force centrifuge au point M est égale à

(CCCCVI).

Or,

d’où

V* {a-cf

(CCCCXXVl) ;

= gf^

(a4-c) {a—c) ap^

par conséquent

P» a gf^ (a® — c’) p"^ a gf^p

R ù'z^ b^ap’^z^

Telle est l’expressidn de la force centrifuge. Or, la force centripète en ce même point est

gf' .

égale à ; mais z étant essentiellement plus

grand que p , excepté en A et A', l’on a donc partout la force centripète plus grande que la force centrifuge , excepté *aüx extrémités du grand axe ; en ces points la force centrifuge est égale à la force centripète.

CCCCXXXV. Si le mobile n’élait soumis qu’à la seule force d’impulsion V, il décrirait la droite AL, et Taire décrite par le rayon vecteur F, au bout du temps serait égale à conséquent les aires croissent proportionnellement aux temps; il en est de même dans la trajectoire elliptique ; donc le»

246 manuel

aires comptées sur la droite croissent comme lés aires comptées sur la courbe. Or, au premier instant le triangle rectiligne est le même que le triangle mixtiligne ; donc les aires correspondant à des temps égaux, sont toujours égales , soit qu’on les prenne snr la droite ou sur la courbe. Ainsi, supposons que le rayon vecteur soit parvenu en M {fig. 122) au bout du temps ï, on aura l’aire

AFM = .iV? AF = iVi(a— c).

CCCCXXXVI. Lorsque le mobile A a achevé sa révolution , et revient une seconde fois en A, Faire décrite par le rayon \ jeteur sera égale à Faire de l’ellipse , égale , comme on sait , à ira â, où 5 T est le rapport du diamètre à la circonférence. Soit T le temps écoulé pendant que cette aire a été décrite , qn aura donc .

^aâ — {VT (a—c) (CCCCXXXV) ;

2v ah

d’où l’on tire T = — =.

On a donné le nom de temps périodique à celui que le mobile met à décrire toute sa circonférence elliptique.

CCCCXXXVII. Comparant entre eux les , temps périodiques relatifs à deux ellipses dif— .férentes , on obtient

, 2 -X ah 2 xa b'

' • ah, - . a V

d’où

Or,

d’où

rU — (CCCCXXXI),

et de même V'“ {a — c'*)

Donc t-:t'»;:-—

gf^b^

f a Tf f

d’où

T=* fl 3 T'“

Or, f sont les distances auxquelles» les forces centripètes sont égales chacune à la pesanteur terrestre g dans la première et dans la seconde ellipse ; à l’unité de distance , la force centripète sera donc gf^ dans" la première trajectoire, et gf'\ dans la seconde trajectoire. Les intensités de ces forces centripètes , rapportées à la même distance, sont donc entre elles gj^ à gf'"*, ou comme y* est à f ainsi, d’après ce qu’on vient de trouver dans deux ellipses différentes , à distances égales , le rapport des forces centripètes est égal au ;^roduit qu’on obtient en multipliant le rapport des cubes des grands axes , par le rapport inverse des carrés des temps.

CCCCXXXyiII, Kepler a encore découvert, par observation, que les carrés des temps périodiques , des temps des révolutions des planètes autour du soleil , sont entre eux comme les cubes des grands axes à leurs ellipses. Cette troisième loi de Kepler (CCÇCXXVII) peut s’écrire ainsi : soiént T et T' deux temps pério- ^ diques , et a, a , deux grands axes correspondans , bn aura , d'après cette loi de Kepler,

» Ta ; T' * : ; a* r ( ^oir Note 1 1 . ) ,

CCCCXXXIX. De cette loi on conclut que l’intensité de la force centripète solaire qui agit sur les planètes est , à distance égale et à masse égale, la même pour toutes ; en effet , de cette proportion on tire

If'

dotic ^ = I et /■=/ (CCCCXXtVn).