MOUVEMENS DES CORPS SUR DES LIGNES ET SUR DES SURFACES DONNÉES

CCCCXLVI. Nous avons vu que, lorsqu’un'

mobile est sollicité sans cesse par^une force cen-* * . * ,

MANUEL

li'Ipèic el animé d’une vitesse initiale d’impulsion , ce mobile décrit une courbe plane ; et lorsque la loi de celte force centripète est celle de la nature , alors la courbe décrite est une des trois sections du cône par un plan , une ellipse ,

■ une parabole ou une hyperbole; mais si le mobile est sollicité par des forces centripètes dirigées vers divers centres, et si les forces sont soumises à d’autres lois que celles de l’attraction universelle , les trajectoires seront d’autres lignes très diversifiées , qui pourront meme n’étre pas comprises dans un même plan ; par exemple , des hélices , des spirales coniques , etc. Un célèbre géomètre du dix-septième siècle , lluyghens, a même trouvé un mode de mouvement par lequel on peut faire décrire à un mobile une trajectoire donnée. Nous allons chercher à donner une idée de cette méthode.

CCCCXLVII. Soit ABCDE {fig. laS) une portion de courbe donnée ; , supposons qu’on l’enveloppe d’un fil , fixé en E, et dépassant la courbe d’une longueur quelconque AK, tangente en K; si on développe le fil, de manière à ce que dans toutes ses positions il reste tangent à la courbe donnée, l’extrémité K décrira une seconde courbe KLMNO. On appelle la première courbe ABCDE , courbe développée ou simplement développée, et la seconde courbe se nomme développante \ par les méthodes du calcul différentiel , on peut toujours construire la développée quand on connaît la développante , et vice versd.

CCCCXXiVIII. Les tangentes AK , BL, CM, DN, OE à la développée ABC DE, étant des normales à la développante KLMNO, il s’en* suit qu’en prenant ces normales très près les unes des autres , on peut considérer la développante comme formée d’une suite d’arcs de cercles KL, LM, MN, NO, décrites des centres B , C , D , E , avec des rayons B L , CM, D]^', EO,elc.

CCCCXLIX. Supposons maintenant que le fil fixé par un bout sur la développante (cçccxLVii) porte à son extrémité libre un corps K , et ' qu’une force P, dirigée perpéndiculairement à AK, frappe le corps K, et lui donne une vitesse V ; par le mouvement que prendra le corps le fil se développera , et le corps K décrira nécessairement la courbe KLMNO; pendant l’instant très petit t, le corps décrira l’arc KL,, qui , né différant .pas d’un arc de cercle , le mouvement sera uniforme (CCCCX,XIII) , et le corps arrivera en L avec la vitesse V ; on raisonnera de même sur le mouvement avec lequel lê corps décrit l’arc LM, pendant un instant égal à ? , et ainsi des autres ; donc le corps conserve partout la même vitesse initiale V.

CCCCL. Pendant que le corjîs décrit l’arc KL, il est animé d’une force centrifuge équi- ' ' V»

valente à — — ; pendant qu’il décrit l’arc L M , B L V

cette force centrifuge devient — ;(GÜCCXVII); • , . ' V. M C ' . "

2^4 »f\NÜEL

et , en général , en Chaque point la force- centrifuge est équivalente au carré 'de la vitesse initiale divisée par le rayon de courbure qui " correspond à ce point ; ces forces centrifuges ont ici pour effet de tendre le fil , et’ servent à mesurer cette tension ; car ces forces agissent pour tirer le i corps hors de sa trajectoire (CCCCXVIII), et cette traction s’effectuant en tendant le fil » fait sentir son action sur les centres de courbure A , B , C . D , etci CCCCLI. Les forces centrifuges sont entre elles en raison inverse des rayons de courbure; car ori a la proportion

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