AC

g. sera la pesanteur relative sur .la corde

AB (CCXXXVIII); donc'la vitesse du iiiobilè • •

en B étant p', on aura , AC

• p=*=ag^. X AB = ag'. AC;

car le mouvement suivant AB est aussi uniformément accéléré. Par conséquent , la vitesse p' est celle que le mobile aurait acquise en torpbant de la hauteur A. C ; donc un mobile qui ,

a 58 . MANUEL - ;

partant du repos , glisse sur une ligne queU cpnque droite ou courbe , en vertu des seules actions de la gravité, est'aniiné en chaque point d’une vitesse langentielle égale à celle qu’il aurait acquise s’il fût tombé librement d’une hauteur, verticale , égale à celle dont il s’est écafté vdu plan horizontal qui part par le point de départ; par exemple en E , le moîple aura vitesse tangentielle , égale à la vitesse qu’acquiert ^ un mobile en tombaht de la hauteur A£. (^ote 12.)

CCCCLVIII. Soient des lignes courbes quelconques AcB, Ac’B, Ac'^By et passant par les points A et B ; un mobile pesant partant du repos eh A , arrivera en B avec la même vitesse, quelle que soit la courbe qu’il décrive ; mais les temps qu’ils mettront à venir de A en B ne seront pas égaux ; car chaque vitesse infîniment petite, que la force centripète tend â donner au point mobile , se décomposant en une force tangentielle et en une forcé normale , la première étant la seule qui fasse avancer le^raobile sur la courbe , et dépendant de l’angle qiie la verticale fait à chaque point avec la tangente, il s’ensuit me cette force composante dépend de la forme ^ la courbe ; et qu’il est possible que , dans les dèüx courbes c', c% l'es forces tangentielles correspondantes au même instant fassent décr^ des* espaces plus longs sur la courbe c" que là courbe et que, par. conséquent, la ^courbe c^, ; quoique plus longue , sera décrite éh; moins» de temps que la courbée’. Les géomètres se sont beaucoup occupés de la recherche

DE MSCAIVIQUE. . 259

de la brachistochrone ou de la ligne de la plus vite descente ; ils ont trouvé que cfctte ligne était une cycloïde ; courbe ainsi nommée , parce qu’elle est engendrée par les divers points d’une roue (i) en mouvement. Wous devons en donner une idée.

CCCCL 1 X-. Une roue ou une circonférence d’un rayon 127 ) circule sur la tan-

gente A A’". Pendant ce mouvement, A , point initial de contact , cd^mmençe d’abord par s’éloigner de la tangente; de sorte que, lorsque la circonférence est en B , le point A est en A‘ , ou l’arc B A' est égal en longueur à la droite A B. Lorsque la circonférence est en C , où A C est égal à la demi-circonférence, le point A est en* A" à son* plus grand éloignement de la’ tangente AA'‘' ; ensuite le point A s’en rapproche, et ^ci il l’atteint de nouveau en A”'; et AA'^' est égal à toute la circonférence. Si elle continue son mouvement, le point décrivant s’éloignera de nouveau de la tangente, et engendrera une seconde cyclo’ide égale à la première; c’est ainsi que chaque point de la circonférence d’une roue décrit *ùne suite de cycloïdes, et on voit, d’après cette génération de la courbe, qu’elle est entièrement déterminée lorsqu’on connaît le rayon de la eirconférence. De là , il est facile de conclure que toutes les cycloïdes sont des courbes semblables.

(i) En grec, kyklos signiGo une roue.

i.iizsd by

a6o . MANUEL ,

CCCCLX. Cela posé , qu’il s’agisse de trouver’ 128) la ligne sur laquelle un point pesant, partant de A , arrivera dans le moins de temps possible en B, on mène par le point A la droite horizontale A D ; on décrira une cycloïde quelconque A K C ; menant la corde AB, on cherchera le poj.nt I , où elle rencontre la cycloïde; et menant BD parallèle à 1 C , on décrira sur *B D une cycloïde. Elle passera par B, et l’arc de cycloïde AB sera la courbe brachistochrone demandée ; 4® sorte qu’un point pesant mettra moins de temps à venir glissant sur la nycloïde A m 6 , que s’il glissait sur.la droite AB, ou sur toute autre ligne passant par A et B. ^

CCCCLXI. Quelles que soient les forces centripètes qui agissent sur le. point, la courbe brachistochrone est toujours celle dai^s laquelle, en chaque point, la force, centrifiige est égale et agit dans le même sens que la force nor* male. La cycloïde jouit aussi de cette propriété, qui lui est commune avec toutes les brachistochrones.

CCCCLXIf. ’ Le cercle possède aussi , dans jde.v certaines limites, une propriété analogue; ainsi / un quart de cercle vertical est décrit en moins de temps par un' point pesant que tout de courbe passant par les même* eft^tant extérieur à l’arc de cercle; celui-ci ne dépasse pas 60 degrés, il*c*^ en moins de temps que toute autre courbe ^ intérieure passant par Ifes mêmes extrémités. .

DE MÉCANIQUE. s6 I

CCCCLXIII. Il existe encore une autre propriété mécanique dans la cycloïde qu’iJ est important de connaître; nous supposons toiljours que la base est horizontale , et que la cycloïde est tracée dans un plan vertical Çfig. 1 29 ). Soit iW le point le plus bas , et T le temps exprimé en secondes que le mobile met à venir du point F au point M ; r étant le quart du rayon du cercle générateur, et ar désignant le rapport du diamètre à la circonférence et g' la gravité , on aura

Ce temps reste le même , quelque part que soit situé le point F, soit en A , en G‘, en H , en i, le temps est toujours de même durée; .

I quelque inégaux que soient ces arcs , les temps ’ jiendant lesquels ils sont décrits sont égaux.

C’est ce qui a fait donner à la cycloïde le ' nom .de courbe tautockrone , courbe des temps 1 égaux.

! • Du PeŸidule simple.

CCCCLXIV. La développée de la cycloïde ' AP est une autre, cycloïde AM qui lui est égale; de manière que, dans celte courbe remarquable, la développée et la développante sont les memes. Hijygliens a cru qu’on pourrait se servir de cette propriété pour mesurer le temps; à cet effet, il proposait de ployer deux lames d’acier AP,

P B en cycloïdes égales , de les -joindre dans

c:„:j2cvj h-' GoogL

26a . MAIfUEL

la position indiquée par la figure : alors uu fil qui porterait à son extrémité A un poids peu Obnsidérable , et qui serait fixé ep P, d’abord appliqué contre la lame AP, se développerait et décrirait nécessairement une demi-cycloïde

A M , dans un temps égal à

Arrivé

au point le plus bas M , le corps ayant acquis une vitesse égale à celle qu’il avait en ^tombant

de la verticale M N, vitesse égale à rp

V gr, cette vitesse, portant le mobile de M vers K , le fil s’appliquera contre la demi-cycloïde B Pj et le mobile décrira la demi-cycloïde MB, jusqu’à ce qu’il soit en B. Alors il aura perdu toute sa vitesse ; il descendra versM, et remontera en A, et ainsi de suite. Le temps

d’uné demi-oscillation étant

d’une oscillation entière , ppur aller de A à B

- ; et

ce temps est indépendant de la longueur de l’oscillation , qu’elle se fasse de A en B ou de F en F', pourvu que les points d’arrivée et de 'départ soient'sur une même horizontajp. Or, on connaît g et ît;i prenant donc r de manière

que le produit y "g ^*ie seconde

DE MÉCANIQUE. a63 •

de temps, chaque oscillation durera une seconde , quelle que soit , d’ailleurs , la différence dans les impressions de l’échappement sur le pendule ; le nombre de ces oscillations , quelle qu’en soit l’amplitude de chacune , servira à mesurer autant de secondes, par conséquent le temps écoulé.

CCCCLXV. La difficulté de construire des lames* cycloïdales , et la promptitude avec laquelle elles perdent cette forme, ont fait renoncer à l’invention de Huyghens, et à la cycloîde on a substitué le cercle. En effet , au point M , le plus bas de la cycloîde décrite par le mobile, le centre de courbure est en P; décrivant du point comme centre , avec un rayon P M, un arc de cercle MI'H'; dans un petit espace ' M I' H', il ne s’écartera pas sensiblement de l’arc cycloïdal , et jouira des mêmes propriétés mécaniques. Si donc un fil P H {Jig, 1 3o ) de longueur r, et fixé à une de ses extrémités P, porte à son extrémité un poids jqu’on. puisse (Considérer comme un point matériel, ce fil étant écarté de la verticale P M , y sera raniené par l’action de la gravité. Le point matériel fi dé- ■ crira un arc de cercle H M , et aura acquis en M

une vitesse égale à K M (CCCCLYII) dans le sens M K , avec laquelle il ira de l’autre côté de la verticale; et le point mobile décrira un second 'arc M I' égal à HM. Arrivée en H', la vitesse acquise sera éteiirte, et la pesanteur^ * continuant son action , fera décrire l’arc H' H et ainsi de suite ; et ,* désignant pat T le temps'

MANUEL

d*une oscillation , on aura T

temps est indépêndànt de la longueur des excursions. Que le mobile parte de H et décrive HH', qu’il parte de I et décrive I T, la durée dé l’oscillation est toujours la 'même, pourvu que l’arc ne soit pas trop considérable. Lorsque le mobile décrit des arcs de 1 o degrés , l’erreur sur une oscillation d’une seconde ne s’élève pas à une, tierce.

CCCCLXVI. Lorsque les petites oscillations s’exécutent dans l’air, la résistance de ce fluide , n’altère pas sensiblement leur durée J le temps de la demi-oscillation descendante est augmenté , mais le temps de la demi-oscillation ascendante est diminué à peu près de la même quantité; de sorte que la durée de l’oscillation totale reste la même.

CCCCLXVII. Pour construire le pendule à secondes on prend un fil d’une longueur telle que les oscillations durent à peu prés une seconde. Soit r la longueur de ce pendule et T' le temps d’une oscillation , r et T' seront des quantités données par l’observation ;

on aura donc T'

et si nous désignons par r la longueur du pendule à secondes , . ' .

on aura

DE MÉCANIQUE. a65

De ces deux équations l’on tire la proportion

,, , • d ou r = -— .

C’est par cette méthode que l’on a trouvé • que , sous 'la latitude de Paris , la longueur du pendule à secondes est

r = o“, 99884 = 3Pi 8‘

Sa différence d’avec le mèlre est o“,oo6i6; ainsi , à Paris , entre le mètre et la longueur du pendule à secondes il n’y a pas 7 millimètres • de différence.

CCCCLXVIII des oscillations

. Si'on désigne par n le nombre faites pendant le temps T,

on aura

T = /î TC

tC wt’ r

, d ou r = .

Par conséquent , les longueurs des deux pendules sont réciproquement comme les carrés des nombres d’oscillations faites pendant le même terapf; ainsi , dans l’observation précédente, il suffit de compter le nombre d’oscillations qui se font dans un temps donné.

CCCCLXIX, En combinant le pendule avec le système des ro.ues dentées , on est parvenu , dans l’art de l’horlogerie , à construire des in- • atrumens .qui , • produisant avec une extrême

266 ' MANUEL

précision des raouvemens sensiblement uniformes , sont propres à mesurer le temps ; ce sont ordinîiîrement des aiguilles qui exécutent ces mouvemens uniforme's de rotation sur des cadrans dont les divisions correspondent à celles du temps. C’est en comparant la durée de ces mouvemens de rotation ^vec les durées des mouveitiens de rotation de la terre , qu’on s’est assuré que la rotation terrestre est aussi uniforme; et on a appelé jour le temps que la terre met à exécuter- cette rotation. On a divisé le jour en heures , l’heure en 6o minutes, etc.

CCCCLXX. La longueur du pendule , lorsqu’elle est déterminée, sert à faire connaître g';

car l’on a s’=. — . >

Ainsi on a trouvé à Paris (CCCCLXIX), T=i ; r=o“,9g384; etîT==3,i4i59:

d’où

(3,i4 1 59)». o,99384=9”,8o88 = 3op,196.

CCCCLXXI. Un pendule ayant, la longueur iiécessaire pour battre les secondes , si, pour une cause quelconque, telle qu'un changement de température , cette longueur vient à varier, la durée d’une oscillation sera de plus d’une seconde si le pendule s’est allongé , èt de moins d’une seconde si le pendule s’est raccourci.

Dans le premier cas , le pendule retardera ; et, dans le second cas, on dit que le pendule avance. Pour remédier à cet inconvénient, les tiges des pendules portent à leur extrémité in-

DE MÉCAXIQUK.

férieure une. lentille , qu’on peut faire hausser ou baisser à volonté sur la tige ; si la pendule retarde, on remonte la lentille; on la baisse, au contraire, si la pendule avance. (Note i 3 .)

CGCCLXXU. C’est par le pendule qu’on a découvert que la quantité qfli mesure la gravité, n’est pas la même sous toutes les latitudes : en allant du nord vers l’équateur, la valeur deg' diminue. Par exemple,* Cayenne, qui est à 4 degrés 56 minutes* i 5 secondes N., le pendule à secondes a près d’un quart de ligne de moins qu’à Paris; et, à égale durée de l’oscillation, la pesanteur g est proportionnelle à la longueur r. Par une longue suite d’observations, on a découvert qu’en désignant par G la valeur de g à la latitude de 4^ degrés , et par g sa. valeur à une latitude L , on a

" G ( r — 0,002887 cos. 3 L ) ; ainsi au jîôle L = go„ et cos. 2 L = — 1 .

Alors g- = G. ! ,002837 ;

et à l’équateur L = o et cos, 2 L = i ;

alors g= G. 0, 097173.

La différence entre ces deux valeurs extrêmes est o,oo5664 G == G environ.

Ainsi , du pôle à l’jéquateur la pesanteur croit de la cent soixante-seizième partie de la valeur qu’elle sous a le parallèle moyen de 4^ degrés; la ville de Bordeaux , étant à 44 degrés 5 i minutes 14 secondes N. de latitude, est à 10 minutes près sous ce parallèle. .v

;»68 * ,, MANUEL

En posant dans la valeur de ^,X= 4 ^® 5 o i 3 " N. , latitude de Paris , on.trouveg'^ 9,8088 comme ci-dessus (CCCCLXX). Nous donnerons plus bas la raison de ce décroissement de la pesanteur du pôle à l’équateur. , . . • -

Mouvement <Vun point matériel sur une surface.

. .CCCCLXXIII. Loil^que le point matériel est sollicité par des forces, eben outre assujetti à se ^ trouver toujours sur la même surface , il décrira une trajectoire^ dont la nature dépend de la forme de la surface , de l’intensité et^ de la direction des forces qui agissent sur le point. Par exemple , lorsque la surface est plane , et que le point n’est sollicité que par la pesanteur, il est évident que le point décrira, d’un mouve- * ment uniformément accéléré, la droite longueur du plan ; si le mobile a reçu , en outre , une impulsion initiale, oblique à l’égard de cette longueur, la trajectoire décrite sera une parabole; et les circonstances du- mouvement sont ,les mêmes que pour les projectiles lancés dans le vide.

Si la surface est sphérique , lé point n’étant sollicité que par la pesanteur, il décrira un grand ccr<;le vértical passant par le point de départ , et les circonstances de ce mouvement sont égales à celles du pendule simple.

GCCCLXXIV. Si le mobile , outre cette action de gravité , à reçu une impulsioû hon- . /.on taie p, il décrira un petit cercle horizontal

dont le plan est perpendiculaire au grand cercle vertical, qui passe par le point de départ. Désignant par r le rayon de ce petit cercle, le point sera à chaque instant sollicité par la force accélératrice verticale et par Ja force centrifuge horizontale, dirigée vers le centre du petit cercle; la, résultante de ces deux forces doit être, nof male à la sphère, et .détruite par la résistance de' cette surface. Cette résultante sera donc dirigée suivant le rayon de la sphère ; et ce rayon décrira une surface conique. Soit S {Jig- i3i) le centre de la sphère, O B le rayon du petit cercle B MA, décrit par le mobile;

faisons . OB=r;- ' •

SO=Â,g = la gravité ;

donc

■ i = le temps périodique

nr • * * A •

De là on tire

d’où

La durée du temps, dépend donc.de la hau-

•irjo MANUEL '

tenr h du cône , et nullement du rayon de sa base. •

CCCC|^XV. Le problème précèdent renferme aussi celui qu*ôn peut proposer sur le pendule conique. Çn donne ce nom à un point matériel pesant A, attaché à un fil SA fixé en S , et qui décrit une surface conique autour de Taxe S O, en vertu d’une force d’impulsion horizontale^ la résistance de la surface est remplacée par la tension du fij. On voit que le temps que met le corps à achever sa révolution dépend de la hauteur S O, et reste le même, quelléque soit l’ouverture de l’angle A S B, et la durée de ce temps périodique est égale à deux fois celle d’une oscillation d’un pendule simple ordinaire qui aurait la hauteur h pour longueur (CCCCLXIV).

CCCCLXXVI. En augmentant la vitesse ■ la force centrifuge augmente , et l’àngle A S B deviendra plus considérable ; par conséquent , l’ouverture de cet angle croît avec là vitesse. Le pendule conique est donc propre à servir d’indicateur pour connaître la vitesse de rotation, et il sert à cet u^age dans les machines à vapeur; mais , au moyen de certaine disposition , l’angle A S B ne peut s’écarter sî^ns ouvrir une certaine soupape qui , laissant échapper la vapeur contenue dans le cylindre, diminue la force motrice, et ramène le pendule à sa première ouverture. C’est ainsi que le pendule*coniquc sert de régulateur à tfes machines , et c’est sous ce nom q^i’d . est connu dans les arts mécaniques. {PiS'

DE MECANIQUE. l