MA^U£L

S, et réductibles à une force unique; 2®. de deux couples réiiuctibles à un seul ; or comme les forces MV et M' Y' ne changent ni d’intensité ni de direction , il s’ensuit que, quel que soit le temps T que l’on considère , 1 la force résultante conservera toujours méme'direction et même gi’andeur ; 2°. le cou])le résultant conservera aussi toujours même intensité , et sera toujours dans le inême plan.. ^

CCCCLXXIX. Si l’on prend un autre point F pour foyer de composition , la force résultante reste encore la meme ; mais le couple résultant change de grandeur et déposition; mais lorsque le couple est nul au commencement du mouvement , il restera constamment nul.

CCCCLXXX. Le raisonnement que nous venons de faire , lorsqu’il n’y a que deux corpSj subsiste encore quel que soit le nombre des corps; nous ayons donc ce principe général:- Dans un système de corps, sans pesanteur et •dépendance mutuelles, qui ont reçu des impulsions primitives qui leur font décrire des droites avec des vitesses constantes , en choisissant un point fixe pour foyer de composition , la force résultante et le couple résultant restent constamment les mêmes qu’au commeu' cernent du mouvement.

‘ CCCCLXXXI. Admettons maintenait qu’il existe une liaison quelconque mutuelle entre les mobiles A et A' ; supposons, par exemple , que cette liaison soit établie par une corde flexible , ou par une barre rigide, ou bien pai’

• ..-AJ*

une lame élastique O O', n’iinporle; alors le corps A ne pourra pas obéir à l’impulsion qu’il reçoit, et au premier instant, au lieu d’aller v«rs 1 avec une vitesse V, il ira vers N avec une vitesse v, différente de V ; il en sera de même de A' qui prendra une direction o N' avec une vitesse v . Décomposons la vitesse imprimée V en deux autres ; l’une v qui subsistera et une autre o , qui sera détruite en vertu de la liaison; faisons la même chose pour le corps h! ; les ’deiix , forces impulsives M V et M' V’ peuvent donc être remplacées par les quatre forces Mc, M'c', Mu, M' or les deux dernières forces doivent se détruire d’elles-mêmes. (l^ozrNote 14 ) Par conséquent les forces MV, 3Vl' V' peuvent être remplacées par les forces Mc M'c qui ont lieu après le premier instant écoulé, et vice vcrsâ ; en choisissant donc le point F pour foyer, il est indifférent qu’on y transporte les forces impulsives ou les forces subsistantes après l’impulsion; oi\ démontrera de même que les forces subsistantes au second instant peuvent être remplacées par les forces qui existent à la fin du premier instant , et ainsi de suite; donc la force unique et le couple unique sont invariables pour le même foyer, et il est évident que les mêmes conclusions ont lieu , quel que soit le nombre^ des corps , et lors même que ces corps ne forment "pas un système continu dans l’espace, et ne sont liés que par des forces attractives ou répulsives ; pourvu qoe les actions de ces forces soient mutuelles, on

274 MAZ^UEL

peut en tirer les mêmes conséquences que poiir des liaisons qui établissent la continuité dans le système; si même il arrivait que plusieurs corps se choquassent les • uns les autres , il y aura altération subite et instantanée dans les directions et dans les quantités de mouvemens ; mais on pourra encore décomposer les quantités de mouvement qui ont existé avant le choc en deux autres quantités de mouvemens, les unes devait subsister et les autres devant se détruire réciproquement. En résumant toutes ces conséquences, on est conduit à l’énoncé du principe suivant :

Dans un système de corps qui ont reçu des impulsions primitives , et qui réagissent d’une manière quelconque les unes sur les autres , soit, par des liaisons qui établissent la continuité dans l’étendue , soit par des forces exerçant des actions mutuelles; dans un tel système, en prenant un point hxe quelconque pour foyer de décomposition , la force résultante et le couple résultant restent constamment les mêmes en grandeur et en position, quels que soient d’ailleurs les changemens qui interviennent dans les mouvemens respectifs des corps , soit que ces mouvpmens changent d’un instant à l’autre, soit qu’ils subissent des altérations subites par l’action réciproque des corps.

CCCCLXXXII. Soit S le centre de gravité des deux masses M, et M' {figure i3/|) liées . ■ par la droite inflexible oo' à l’origine du mouvement; prenons ce point S pour foyer de

DE MÉOSLMQUE. 275

composition , et désignons la force résultante par R et le couple résultant par L ; appliquons en S une nouvelle force — R égale et directement opposée à R, il ne subsistera plus que le couple L ; or la force — R agissant au centre de gravité ne peut pas faire naître de couple (CLXI); elle a pour effet de donnera toutes les molécules des vitesses égales et parallèles à sa direction :’il faut donc qu’en vertu de la force R les molécules soient aussi animées de vitesses égales, parallèles à la force

R et dans le même sens. Tout le système a donc dans l’espace un mouvement de translation Tmiforme et dirigé parallèlement à la force R : donc le centre de gravité décrit une droite, et cette droite est celle de la direction de la force résultante, lorsqu’on place le foyer de composition au centre de gravité ; le mouvement du centre de gravité est uniforme j et on trouve sa vitesse en supposant que les forces MV et M' V' sont transportées parallèlement à elles-mêmes eu S; le quotient de la résultante R par la masse M -f- M' du système donne la vitesse du centre de gravité.

CCCCLXXXIII. Il est facile de généraliser le raisonnement qui précède, et on obtient ce principe, qui n’est qu’une conséquence du principe énoncé (CCCCLXXXII). Dans un système de corps qui se meuvent en vertu d’impulsions primitives et de liaisons existantes dans le système, le centre de gravité du système décrit une ligne droite avec une vitesse telle que,son pro—

276 * MAPitJEL

dait par la. masse totale du système est égal à la quantité de mouvement résultant.

CCCCLXXXIV. Lorsqub toutes les vitesses V, V'j.V", V'", etc., imprimées aux masses M, M', M", etc., qui compos.ent le système, sont parallèles; le centre de gravité décrit une droite parallèle à la même direction ‘avec une vitesse telle que Ton a

car la force R est alors la résultante des forces dirigées suivant la même droite , et

La somme du numérateur est algébrique, et peut renfermer des quantités à soustraire; ce qui arrive lorsque toutes les vitesses n’ont pas lieu dans le même sens, et si la somme des quantités de moiivemens qui agissent dans un sens est, égale à la somme des quantités de mouvemens qui agissent dans le sens opposé, le numérateur est nul ; la vitesse du centre de gravité est nulle, et ce point reste en repos; et dans ce cas le corps .tournera autour de»son centre de gravité , comme s’il était fixe.

Lors donc que toutes les forces qui agissent sur im corps se réduisent à des couples, !«' corps tourne autour du centre de -gravité qui reste immobile. .

CCCCLXXXV. Lorsque les vitesses v'\ v" etc. , ne sont pas parallèles , on lès décompose chacune en trois autres vitesses parallèles

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à trois droites données. Soient X' , Y', Z', les composantes de V, parallèles à • la première , à 1 î^ deuxième et à la troisième droite;

X”, T”, Z'\ les composantes de V^, idem;

X"\ X'% Tl'\ les composantes de T\idem ; désignant de même par X, Y, Z, les vitesses du centre de gravité parallèles aux trois axes fixes, on aura . *

> ^lvrX'-|-M"X" + ,‘etc., ■

M-f-M'-f M"+,etc.

^^ M^r+M-^Y^^+,etc.,

~ M-fM' + M"4- , étc.

^__M'-Z' + M"Z^%etc.',

”■ M-f-M'-f M",'etc.

Si l’on prend les trois axes perpendicultiires entre eux , et si l’on désigne par p la vitesse du centre de gravité, on obtiendra

^ 'p ~ i/x>+Y*-fZ*.

CCCCLXXXVI. On peut s^y prendre de la même manière pour trouver la grandeur et la position du couple résultant ; en effet , soit F le foyer ,de composition j ayant mené par ce point trois plans rectangulaires, on décompose chaque couple en trois autres situés dans les plans fixes (CXXII).

Soient A', B', C', -les couples composans du

premier couple ; ,

A", B", C", les couples comp'osansdu deuxième couple; i A"', B''', C'", les couples composaus dti troisième couple.

Les couples A', A", A'", etc*, situées dans le même plan donnent le couple unique

A = A' + A" -f A'" + , etè. ;

* de même B= B' B'^ + B'" +, etc. ,

^ C = C+C« + C'"-fr., etc., ^ .

d’où’ L=V^»+B»+C»^ où L désigne la grandeur du couple résultant. * CCCCLXXXVII. Soit' M^n* la quantité de mouvement ou la force , et le bras du couple A^, où aura donc A^=M'n^ÉT ; supposons que, pendant uninstai\t t, là vitesse u restant constante , l’espace décrit so4 égal à e' , on ^ e'

aura donc , et désignant l’aire décrite

pendant ce même instant par a', on obtient , d!e^

a ■=. ; on conclut de ces valeurs :

et de même

donc A = - (M' a ' -f -f-, etc. > Or A est une quantité constamment la même».

DE MÉCAfiriQdl:.

et le facteur - est aussi constant ; il faut donc t

que le second facteui*

M' 4- M" a' -f- M'" a"‘ , -f, etc. ,

ait pendant chaque instant t la même valeur; il croît donc en même rapport avec le nombre d’instans , ou , en d’autres termes, proportionnelle» ment au temps ; si donc » représente la valeur que prend le second facteur pendant l’unité des temps sur le plan du couple A , et cette même valeur du plan pendant le. temps T, on aura

et de mêine /3' = ^T, * .

y' = yT. . •

fi > fi\ y> y* ont même signification relativement aux plans de B et C , que «e , relativeipent au plan du couple A. *

CCCCLXXXVIII. Lorsque toutes les masses sont égales à M', on a ^ .

Dans ce cas, les aires croissent proportionnellement aux temps dans chacun des plans des couples A,B, C, et les six quantités «,.i3,y, tif fi' f y' désignent des aires. Or, l’on a