fi'^ + y'* = T» («* + /3> 4- y

Si donc. du point F i34) on mène des droitcs'.FO, FK, FI, etc., à toutes lès positions que prend dans l’espace le corps A dans

le temps T, le rayon vecteur mobile décrira une certaine aire S. Dans le cas représenté par la figure , cette aire est celle d’un triangle , parce que la trajectoire est une droite ; mais lorsque la trajectoire est une ligne courbe , S exprimera l’aire d’une surface conique. • '

Soit S', S", S'" les valeurs semblables pour les antres corps du système.

Représentant par S la somme de toutes ces aires pendant le temps T, et par r cette même somme pendant l’unité de temps; or, on sait, par la géomé,lrie, qu’on a

• , / z= fie® -f- /3» -f* 7 ®.

Donc , lorsque toutes les masses sont égaies , l’on a \

ou ' * , S =: Tfie. ■

Ainsi, dans le cas des masses égales, la somme des aires décrites par les rayons vecteurs croît dans’ le* même rapport que le temps.

Quelles que soient les diversités des corps dû système, on peut toujours les concevoir partagées en portions d’égales masses ; menant du foyer de composition des rayons vecteurs aux centres de gravité de ces portions , la somme des aires décrites par ces rayons vecteurs augmentera proportionnellement aux temps ; et par le mot somme il faut toujours entendre la somme algébrique des aires qui peut renfermer des quantités soustractives. ' . '

CCCCLXXXIX. L.est évidemment, la

plus " grande Taleur que puissft • prendre A (CCCCLXXXVI); et dans ce cas '

Donc aussi M' <2' etc. , est le plus grand possible lorsque L = A. Or, cela a liey lorsque le plpn du couple A se confond avec celui du couple résultant L ; par conséquent^ pour un foyer de composition donnée j le plan du couple résultant est celui du maximum des aires. Lor^qpe ce foyqr se transporte sur la force résultante,, ce maximum, conserve toujours même valeur; cette valeur est la plus petite lorsque le foyer est placé sur la direction d’une force résultante perpendiculaire au plan du couple résultant. /, ^

CCCCXC. Si le système renferme un point fixe, le principe des aires n’a plus lieu qu’en plaçant le foyer à ce point fixe. £n effet, dans ce cas, les forces’ perdues Mn, M' u* (CCCCLXXXI) ne se détruisent plus d’elles- .

mêmes ; il suffît que leur force résultante soit dirigée vers le point fixe, et que leur couple résultant soit nul , relativement à ce point fixe ; donc le principe des aires existe seulement pour ce point fixe ; il existera encore si ce point fixe exerce une force attractive bu répulsive sur les* molécules* du système ; car les forces dont les directions passent par le foyer ne fournissant pas de couple ne changent rien au 'couple résultant, et par conséquent au principe des* air.es. ■ >

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2B2 Haivuel

CCCCXCI. Xorsqu’il y a un axe fixe dans le système , il' suffit que les forces perdues M u , M ' Il (CCCCX.XXXI) aiept une force résultante dirigée vers cet axe , et un couple résultant dont le plan soit parallèle à cet axe. Ainsi, pour que ce couple n’altère pas la position et la grandeur, du couple résultant des .forces appliquées au système , il faut que les plans’ de ces couples SC rencontrent à angle droit ; ainsi , dans.le cas actuel , le principe des aires n’a lieu que lorsque le foyer esk placé sûr l’axe fixe, et lorsqu’on compte les aires sur un plan perpendiculaire à cet axe.

CCCCXCII. Le principe des aires existe encore meme lorsqu’on n’a égard qu’aux vitesses

relatives des mobiles. En effet, soit v la vitesse de

translation du centre de gravité, décomposons la vitesse de chaque mobile en deux autres vitesses, dont l’une soit égale et paiallèle à la vitesse 72 étant le nombre des forces avant la décomposition , 2 «.sera le nombre des forces apres la décomposition , et le couple résultant provient des 2 72 Roupies. Or, les n vitesses égales chacune et parallèles à v, ne fournissent pas de couples ; il faut donc que le couple résultant ne soit formé que des « autres vitesses qui sont des vitesses relatives.- De la constance des couples fournis par les vitesses relatives, on déduit comme ci-dessus la proportionnalité des aires et des temps.

CCCGXCIII. Dans le système du monde, on ne peut reconnaître que des vitesses relatives y

DJÎ MÉCANIQUE. %83

toutefois on peut y appliquer le principe des • aires : on les compte sur le plan du couple ré-^ suUant , correspondant au centre de gravité pris pour foyer. L’auteur de la Mécanique céleste a désigne ce plan sous le nom de plan invariable.

CCCXCIV. Un autre principe, également im- . portant, est celui de la conservation des forces vives ; voici en quoi il consiste ; Nous avons vu que lorsqu’un point matériel sollicité par des forces attractives, fonction des distances aux centres d’attraefion , décrit librement une trajectoire ou se meut sur une courbe donnée, la différence des carrés des vitesses correspondantes à deux positions du mobile dépend uniquement de la nature des forces qui ont agi sur le mobile , et mdlement de la forme ou de ladongucur de la courbe irfterceptée entre ces deux positions du mobile (CCCCLIV).

Cette même propriété se retrouve, dans le mouvement de tout système de corps soumis à leur attraction mutuelle et à d’autres attractions dirigées vers des points fixes ; les points du système peuvent être liés entre eux, et à des points fixes , de telle .manière qu’on voudra. Dans un pareil système , si nous désignons par p', v \ etc. , ‘les vitesses simultanées des masses m , rn\ lorsque ces masses occupent une première position dans l’espace, et par u'\ etc. , les vitesses simultanées des mêmes masses dans une seconde position , on aura ,

. en général , .

2S^ MANySL

m-p'® etc. , ■ •

La valeur de N est indépendante de la nature des courbes décrites. Ainsi, si le système revient à sa première position, alors u=iv , u etc.

Par conséquent N — o; l’accroissement des forces vives est donc nulle toutes les fois que le système revient à la même position. •

CCCCXCIV {bis). Lorsqu’il y a choc dans le système entre les corps, s’ils sont parfaitement élastiques, la conservation ' des forces vives, au retour, aura encore lieu (XXXIII) ; mais si les corps'sont durs, il y aura une diminution dans la somme des forces yivesj'etl’on aura •

m m V* //»** etc. , •

— nî'^u'^ = m P* rn' etc. ;

Pi p'i p \ ®tc. , sont les vitesses p^erdues par les masses m'\ etc. (XXXIV). C’est au cé-

lèbre Carnot qu’on doit ce beau théorème.