VINGTIÈME LEÇON

MOUVEMENT DE ROTATION; AXE DE ROTATIOtT,

d’oscillations ; pendule dOMPÔSÉ, •

CCCCXCV. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que toutes les forces , agissant sur le mobile , se réduisent à d^autres passant jpar le centre de gravité, et alors nous, pouvions •

DE MÉCANIQUE. a85

ne considérer qiie le jnouvement de ce centre de gravité sans nous occuper des autres points de la masse ; mais lorsque cette supposition ir’existe pas, alors on ne peut plus faire abstraction de la inasse des corps. Nous allo'ns tâcher de donner une idée comment ôn a égard à cette circonstance dans les problèmes de mécanique; ils exigent, pour être traités avec la précision convenable, toutes les ressources des calculs différentiel et intégral.

CÇCCXCVI. Problème. Un corps toprrie avec un mouvement uniforme autour d’un axe ■fixe*, tel que sa vitesse angulaire est égale a l’unité; on demande quelle force il faut appliquer au corps pour arrêter le mouvement ; on fait abstraction de la pesanteur.

Soient /«', m" , m"\ m"", etc., les molécules du corps ;

r\ r\ r' " y r"" , etc., les distances de ces molécules à l’axe ;

la vitesse angulaire étant égale à l’unité, Jes vitesses de ces molécules seront (XCIX) aussi

etc., et leur quantité de * mouvemens sont rn! r , m" r", m"‘ r"* .

Au point o' où la ligne r' rencontre l’axe de de rotation, appliquons deux forces égales et parallèles à la for^e / , mais directement opposées ; au lieu de la force r' nous aurons trois forces ; unq force r appliquée en o' et un couple (r , dont le plan est perpendicu-

286 MANUEL

lalre à Taxe , et qnl a pour bras de couple la li^e r.

• • Opérant de méraê pour les forces r^'\ etc. , tôut le système de force est. donc ramené, 1 *>. à un système de forces agissant contre Taxe ,

• et qui seront détruittes pour la résistance de cet axe ; 2°. et à un système de couples égaux à m! r'®, m* /•"*, m' r"'®, etc., parallèles et agissant dans le même sens ; par conséquent le

^ couple résultant sera égal à • .

• m' m -f- r*" ® -j- etc.

iriy m\ etc., étant chacune une masse infiniment petite, chaque produit m' r'*, wz" r''*, est aussi’ très petit; mais le nombre de ces produits étant infini , puisqu'il y a autant de ces produits que de points dans la masse , la somme de ces produits est une quantité £nie; par conséquent, si on applique au corps un couple de même intensité que ce couple résultant et agissant dans le sens opposé , le mouvement sera détruit.

0/1 a donné au couple résultant le nom de couple de masse ou moment d’inertie.

.. CCCCXC VII. Il suit de ce qui précède, lors-

qu’on applique à un corps en repos et susceptible de tourner autour d’un axe fixe, un couple * • égal en intensité au couple de masse, , il engendrera un mouvement de rotation tel que chaque point sera animé d’une vitesse égale à sa distance à l’axe de rotation; supposons que le corps soit choqué par une telle .quantité de

DE 2 HÉCANIQUE. 287

mouvement que", ^ s’il était libre, chaque point se mouverait avec la vitesse v dont la direction est dans un plan perpendiculaire à l’axe ; si l’on a M t» f— m r * -f- m r"* -f- m " , etc. , la vitesse angulaire sera égale à l’unité.

M est la masse du corps choqué, et y’Ia distance de son centre de gravité au plan mené par l’axe fixe parallèlement à la direction de la vitesse v.

CCCCXCVin. Nous désignerons dorénavant le couple de masse par. 'Zmr^ ; ainsi S/w. 7 ^=:/w r -j-/wr -f-m tv et lorsque la vitesse angulaire est égale à l’unité, on a Mp/=2/7zr’,

î CCCCXCIX. Si M p/ ést plus grand ou plus que S/wr, la vitesse angulaire sera moindre 'ou plus grande que l’unité ; si nous la représentons par «, la molécule ttl est alors animée de la quantité de mouvement m' r u , et ainsi des autres molécules ; raisonnant comme ci-dessus ÿ on trouvera ...

d’où

Mc/

'Lmr'

D. Porir que tous les points Se meuvent avec la vitesse v , s’ils étaient libres , il faut que la direction de c passe par le centre de gravité , et si de plus elle est perpendiculaire au plan mené par ce centre de gravité, et par l’axe, la- • distance /est celle du centre de gravité à l’axe.- BI. La vitesse angulaire d’un point situé à

î>,88 MANUEL . •

• dmvf

une distance d de Taxe sera du — — ■;

dbnc pour les poinls où l’on a

dWf='Zmv^ , '• ' . ■

ou bien

'Zmr^

il vient du ==.p;.

par conséquent les points situés à itne distance d de l’ajse déterminé par. l’équation (i), ont I» même vitesse que 's’ils étaient libres : on a 'donné à ces points le nom de centres de per-’ cussièn.'

ÏL.ôrsque l’axe de rotation passe par le centre de gravité, la distance ^s’évanouit et d devient infinie ; alors le centre de percussion est‘à une distance infinie de l’axe.

DU. Menons par , le centre de gravité G (yfg’. i34) un plaïf perpendiculaire à l’axe fixe'; soit C le point de rencontre et O le centre de percussion ; supposons que le corps reçoive un jchoc dont la direction passe par O, perpendiculairement à CO, et dans le plan perpendiculaire , on aura

___Mp.CO Mp. V

“ ~ ^nir^ ~ ^ M/

d’où ' fu — v;

par conséquent le centre de gravité prend la • même vitesse que si le corps était libre:

Din. PftOBLÉME.'Un corps M entièrement

libre reçoit un choc dont la direclion NO ne

passe pas par le centre de gravité; on veut connaître les circonstances du mouvement que prendra ce corps.

Solution. Soit G le centre de gravité , et C O G la trace d’un plan mené perpendiculairement à la direction NO de la force choquante Mc, le centre de gravité décrira une droite parallèle à N O avec la vitesse constante c ; de sorte qu’au bout du temps t il aura décrit un espace égal à c?, et tous^les autres points prendront un mouvement autour d’un axe mobile passant par le centre de gravité. Et si nous désignons la vitesse de rotation par u, on aura

Mc. Go

Le couple dé masse doit être calculé re~ *

lativement à un axe passant par le centre de gravité G, perpendiculairement au plan GO N.

DIV. La droite GOC prenant simultanément un mouvement de translation et de rotation , ces deux raouvemens se font dans le même sens pour les points situés à la droite de l’axe G, et dans ^es sens opposés pour les* points qui sont à la gauche de cet axe; de sorte qu’il y a des points qui, participant à la fois à deux'mouvemens égaux et én sens contraire, resteront en repos. Pour trouver ces points, soit C un de ces points, sa vitesse de translation, dans le sens du mouvement général, est

ago MANUHL

Sa vitesse de rotation, dans le sens opposé à ce mouvement , est '

M e. GO

. Z rw r»

Si donc CO. « e, le point C sera stationnaire ;

C G. M e. G O or, de , , -

on tire