CT

6°. Désignant les.diamètres rec-

tangulaires d’un ellipsoïde , on aura le couple d-inerlie relativement à l’axe c, égal à ^ 9T aè c ).

DX. Dans la pratique on peut , en général , se contenter de partager le corps en un grand nombre de petites parties de forme régulière j calculer pour chacune le produit de son volume par la distance de son milieu à l’axe de rotation,

• eX la somme de ces produits donnera à peu près le couple de masse , et l’on multiplie chaque volume par sa densité respective.

DXI. Problème. Un corps tournant autour d’un axe fixe ,. quelle est la pression que supporte l’axe pendant que le corps est en mou^ veinent ?'

Solution. Nous avons calculé ci-dessus (D VIII) les secousses que supporte l’axe pendant le premier instant du choc ; mais , dès que le corps entre en mouvement , chacune de ses molécules, tournant en cercle , est soumise à une force

DE MÉCAMQL'E. 395

centrifuge dont l’effet se.fait s<?ntir sur l’axe fixe. Soit m une de ces molécules , r sa distance à Taxe fixe, et u la vitesse angulaire; ru sei’a la vitesse de rotation de celte molécule. Par conséquent , sa vitesse centrifuge est exprimée.

(CCCCXXIII) par" = r«*;et, par consc-

quent, la force centrifuge est mru'*, et on peut la regarder comme agissant au point où le rayon r coupe l’axe. Si par cet axe on mène deux plans perpendiculaires l’un à l’autre, on pourra décomposer la force m r u* en deux • autres forces situées dans ces pians ; si de la molécule m on abaisse une perpendiculaire x sur le premier de ces plans , et une perpendiculaire X sur le second de ces plans, la force composante, dans le premier plan, sera égale à et, dans le second plan, elle

sera égale kmxu'*, et l’on aura

[mj W^y (^m X u^Y ^ r'*

car -f- r’ ; faisant les mêmes décompositions pour les autres molécules, on aura, dans le premier plan, un système de forces parallèlés

my m'y' m' x" u'^ yClc. y '

et , dans le second plan , un système de forces parallèles

rn X u^y m x' u^y tn" x" uj, etc.

Le premier système donlie pour résultante ( /« J 4- w j'-fr in'x'y cir,) ™ —Y ,

2(^ MANÜEL'

le second système donne pour résultante

(m X m x' m"x\ etc.) = M «=• == X ,

où M désigne la masse totale du corps , et x^ les distances du centre de gravité au second et au premier plan ; et si repré-

sentent les distances des deux résultantes à un troisième plan perpendiculaire à Taxe , et mené par le centre de gravité , on aura

^z^-=.my z-\^m y z' x" z'\

M xz^^-=. mxz-\-mx‘ Z -f* m” xz ,

z\ 2", z'", sont les distances des molécules au troisième plan. On connaît donc les deux forces rectangulaires Y et Xj cpii agissent sur Taxe et leurs points d’application. Les sommes myz, mxz se composent d’un nombre infini de termes, chacun très petit ; lorsque le corps est géométriquement connu, on peut calculer ces sommes par les méthodes que fournit le calcul intégral, et, dans la pratique, on peut s’y prendre comme pour trouver le couplfe de masse (DX).

DXII. Les deux forces X , Y se réduisent à une seule , 1®. lorsque l’une d’elles est nulle j 2®. lorsque z^ = z^^ , car alors ces deux forces rencontrent l’axe à un même point, et peuvent se réduire à une seule force.

DXni. Lorsque l’axe de rotation passe par le centre de gravité, dn a

et par conséquent X ~ Y = 0]

et réciproquement si

l’axe passe par le centre de gravit^.

I>XIV. Si l’on a X = O , T = o, sans que Z* ni z" ne soient zéro, l’axe est sollicité par les deux couples

mx Z ~\-m x' z\ etc.

• my Z rtî y' z , etc.

qui s'e réduisent à un seul.

DXV. Si l’on a X = y = 0, z' = o, l’axe est • sollicité par le couple unique mxz, etc.;

Et si X = T = o, z'z=z.o, l’axe est sollicité par le couple myz ^ my* z* etc.

DXVI. Si l’on a X=Y = oet z* = z*=zOy alors l’axe n’est sollicité par aucune force, et ne supporte aucune pression pendant le mouvement de rotation; de sorte que s’il devenait fixe, ce mouvèment continuerait toujours autour du même axe.

DXVII. De ce qui précède on conclut que, pour que l’axe n’éprouve aucune pression pendant le mouvement, il faut 1®. qu’il passe par le centre de gravité; 2®. qu’il soit possible de mener, par cet axe, deux plans rectangulaires, tels que les deux couples z^^ et Myz^^ soient chacun nuis. On trouve, par des calculs, trop longs pour être rapportés, que l’on peut toujours mener par le centre de gravité trois droites , qui satisfont à cette condition ; qu’on n’en peut mener davantage, généralement par- .

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298 MANUEL

lant; et ces trois droites, auxquelles ou a donné le nom à.’ axes principaux de masse , se coupent à angles droits. Ainsi , lorsque le corps commence à tourner autour d’un axe principal de masse , il persévère dans son mouvement , lors même que cet axe devient libre; car “aucune pression ne se faisant sentir sur Taxe , il conservera toujours la même position.

DXVIII. Les axes prinqipaux de masse jouissent encore d’une propriété bien remarquable ; parmi les trois axes , il y en a un qui donne le couple de masse le plus grand , et un autre qui donne le couple de masse le plus petit parmi tous les axes qui passent par le centre de gravité ; et le couple de masse relatif au troisième axe, diffère , en général , des deux premiers. Dans certains corps particuliers , les trois couples peuvent devenir égaux ; alors tous les axes menés par le centre de gravité sont des axes principaux : telle est, entre autres, la sphère.

DXIX. Si l’axe ne passe pas par le centre de gravité, ^ et ^ ne sont pas nuis; mais on peut encore avoir z, =± z^~=.o. Dans ce cas , les deux couples rectangulaires sont nuis; et l’axe de rotation éprouve une pression égale à la

fot*ce unique \/Xa -j- 'Y'^’=z Y x\-x -f- , et la direction passe pâr le point d’intersection des l^rois plans.

Dans ce cas , il sufHt que ce point reste fixe ; ét ôn pourra rendre libres tous les autres points de 1 axe , sans que le mouvement de roilation

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soit altéré. Mais il faut que cet axe puisse rendre nuis les deux couples. Le calcul prouve (jue , par un point quelconque pris dans le corps , oM peut toujours mener trois axes qui remplissent celtd condition; et on a donné à ces axes le nom ii^axes principaux. Ils* jouissent aussi de la propriété de maximum et de mini’mum énoncée ci-dessus (DXVIII); relativement aux axes qui passent par leur point d’inter- t

section. «

DXX. Il s’ensuit de ce qui précède que, pour qu’un corps choqué par une force puisse ^

tourner librement autour de la même droite, il faut d’abord que cette droite soit fixe pour. anéantir l’effet du choc; ensuite, si cet axe est . .

priiicipal et de masse , le mouvement continuera uniformément autour; et si cet axe est principal sans être principal de masse , il faut que le point auquel il se rapporte soit constamment fixe. * ’

DXXI. Lorsque l’axe de rotation est un àxe^.

principal de masse, passant par le centre de <

gravité, le centre de percussion est situé à l’infini; par conséquent, il est impossible de choquer un corps de manière que son axe 1

n’éprouve ni l’effet de 'la percussion au commencement du mouvefUent, ni l’effet de la pression pendant le mouvement. J

DXXII. Problème. Un corps n’ayant qu’un point fixe, et étant soumis à l’action de forces quelconques , déterminer le mouvement qu’il prendra. • . . ,

MANÜEL

3oo

Solution. Par le point fixe on mène trois axes rectangulaires quelconques , qu’on regarde comme fixes dans l’espace; et les trois axes principaux qui passent par le point flxe.^Ces derniers sont fixes dans le corps , mais changent à chaque instant de position par rapport aux premiers ; et lorsqu’on connaîtra cette position, celle de tout le corps sera déterminée (CCCLXXV); chaque axe principal décrit évidemment dans l’espace une certaine surface conique, que Ion apprend à calculer par les procédés que fournit le calcul différentiel, ainsi que le mouvement de l’axe principal sur cette surface; on démontre par les mêmes procédés qu’à chaque instant il existe dans le corps une droite , dont tous les points ont une vitesse nulle ; on a donné à cette droite le nom à’aace instantané de rotation, parce que pendant cet instant le corps est censé tourner autour de cet axe, et pendant ce même instant on pourra calculer le couple de masse par rapport à cet axe , et par ■‘conséquent aussi la vitesse angulaire qui a heu (CCCCXCIX). De sorte que l’axe de rotation et la vitesse angulaire changent à chaque instant; il est facile de se faire une idée juste de ces ’changemens : supposons un corps tournant autour d’un axe fixe avec une vitesse «; si au bout | du temps t, et par des moyens quelconques, on rend libre ce premier axe, et qu’on prenne subitement un autre axe fixe , coupant le premier en un point O , il estévident que le couplc de masse et par conséquent la vitesse de ro-

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DE MéCAMQDE. 3oi

tation seront subitement changés; si an bout d’un antre temps/, on fait .un second déplacement de l’axe , il y aura encore changement , et ainsi de suite. Or, si les intervalles dés temps sont très petits, ces changemens auront lieu à chaque instant.

DXXIII. En prenant le point fixe pour foyer de décomposition [Voir Note 5), on peut dé- • terminer à chaque instant l’intensité du couple résultant et la position de son plan f lorsque le corps ne se meut qu’en vertu de forces impulsives, l’intensité du couple et son plan restent fixes , et sont les mêmes qu’à l’origine des mouvemens.

DXXIV. Lorsqu’à l’origine du mouvement l’axe instantané de rotation est un axe principal, le corps tournera toujours autour de cet * axe (DXXI) et avec un mouvement uniforme ; car lorsque l’axe de rotation est toujours le même , le couple de masse est constant , ainsi que la vitesse angulaire ; et , en général , Taxe instantané ne peut rester constant sans être un axe prin cipal , La réciproque de cette proposil ion n’est pas vraie ; un corps peut avoir une vitesse angulaire uniforme autour d’un axe instantané mobile ; tel est le mouvement diurne de la terre. •

DXXV. Au cas qiie l’axe instantané de rotation , à l’origine du mouvement, fasse un angle* très petit avec un axe principal, il faut distinguer deux cas ; 'ou bien cet axe principal est celui relativement auquel le couple de masse est un maximum ou un minimum : dans ce cas ,

302 MANUEL

cet angle restera toujours très petit, de sorte que Taxe instantané fera de petites oscillations autour de l’axe principal ; mais cet angle peut devenir très grand dans la suite des mouvemens, s’il s’agit du troisième axe principal. Ainsi , le mouvement de rotation , qui commence à s’exécuter, À peu près autour des axes principaux à couple de masse maximum oix . minimum, est stable. Il ne Test pas lorsqu’il commence à s’opérer autour du troisième axe.

i DXXVI. PaoBLÈME, Déterminer le double mouvement de rqtation et de translation que |irend un corps entièrement libre , lorsqu’il est soumis â Paction de forces impulsives.

Solution. Le centre dé gravité se meut avec une vitesse uniforme , et on peut indiquer sa position à chaque instant ; le corps tourne comme ' si ce centre était fixe. Par conséquent l’intensité du couple résultant, et la position de son plan , varieront , en général , à chaque instant ; mais si , à l’origine , le plan du couple résultant ' est perpendiculaire à l’axe principal de masse , le plari du couple résultant reste fixe ; l’axe ^ principal'est celui de rotation pendant toute la durée du mouvement; il se transporte paral- ^ lèleraent à lui-même dans l’espace , et la vitesse • angulaire est constante.

DXXVII. Si le plan primitif du couple résultant est a peu près perpendiculaire à un axe principal de masse , à couple maximum ou mihinin]tn , Taxe principal conservera à peu près son parallélisme , et la vitesse angulaire variera

DE MECANIQUE. 3o3

très peu ; dans tout autre cas le* parallélisme sera détruit.

DXXVIII. Lorsqu’aux forees primitives d’impulsion se joignent des forces accélératrices qui sollicitent tous les points du mobile, pourvu que ces forces, ne fournissent pas de couple , il n’y aura rien de changé au mouvement de rotation : le centre de gravité se mouvra comme si toutes les forces agissaient sur lui. Ainsi , si le mobile est un corps pesant frappé par des forces qui ne passent point par le centre de gravité, toutes les conclusions des paragraphes DXXVI et DXXVII auront encore lieu; car lies forces de la gravité n'engendrent point de couple. Le centre de gravité , au lieu de se mouvoir suivant une droite , décrira une parabole dans l’espace. Par exemple, une sphère homogène, étant lancée dans fe vide par une force dont la direction ne passe point par le centre • de gravité , ce point décrira une parabole ; le diamètre perpendiculaire au plan diamétral, dans lequel agit la force, se mouvra d’un mouvement uniforme parallèle à lui-mème, et la sphère tournera autour de ce diamètre avec une vitesse angulaire constante ; car, dans une sphère homogène , tous les diamètres sont des axes principaux.

DXXIX. Toutes les fois qu’on volt un corps pesant tourner en conservant à peu près le parallélisme de son axe , on peut être sûr que l’axe primitif de rotation a été peu différent d’un axe principal. On en voit de fréquens

3o4 MANUEL

exemples dans les inouvemens de la toupie , du sabot, du diable, et autres je^x de cette nature. Tous ces corps étant terminés par des surfaces de révolution , Taxe de ces surfaces est un axe principal de masse ,, ordinairement à couple de masse maximum, et le mouvemênt de rotation commence à peu près autour de cet axe -, mais la résistance du plan et le frottement sont de nouvelles forces, qui , à chaque instant, altèrenfle mouvement ; de sorte que le point de contact du plan et de la toupie peut rester immobile pendant que Taxe de rotation tournera autour en décrivant une surface conique droite ; c’est ce qui arrive lorsqu’on dit que la toupie dort.

DXXX. La terre a un mouvement de rotation en vertu d’une impulsion primitive et en vertu des attractions» qu’exercent sur elle les aqtres planètes , principalement le soleil et la lune. Ces forces attractives donnent lieu à un couple très faible ^ de sorte que son axe de rotation ne conserve pas son parallélisme dans l’espace. On a donné à ce mouvement de l’axe le nom de nutation ; mais cet axe de rotation est toujours le même axe principal du corps , et la vitesse angulaire est constante (DXXXIV).

Ainsi , les pôles de la terre étant invariables , ‘les latitudes des lieux terrestres ne changent pôiiit^ èl. non plus la longueur du jour, qui est une quantité invariable de temps; mais, l’équateur .tc^irestre ne se transporte pas parailènici^^ à lui-Jhéme dans l’espace : son plan coupe celui de la trajectoire annuelle , suivant des '

Diÿ by

DE MECANIQUE. 3o5

droites qui ne sont pas parallèles j ce défaut de parallélisme est connu, parmi les èstronomes^ sous le nom àe précession des équinoxes. {Voir Note i6.)

Pendule composé.

DXXXI. Soit un corps pesatit , ayant la faculté de tourner autour d’un axe fixe , que nous supposons être horizontal ; ALK'MN {jfig. i36) , est une section du corps par un plan yertical mené par le centre de gravité et qui rencontre Taxe en A, et AV est une verticale; Tangle O AV mesure l’écartement du corps de la verticale à l’origine du mouvement» Le mobile .

n’étant choqué par aucune force impulsive, on peut le considérer, au premier instant , comme soumis à l’action d’une force verticale Ga, représentant la force motrice infiniment petite résul.tant de toutes les pesanteurs. Cette force se décompose en deux autres, l’une Gc, dirigée suivant , l’axe et qui sera détruite , et l’autre G b , passaM^ par le centre de gravité et perpendiculairement à l’axe ; et si nous représentons par L ‘ le couple de masse , le mouvement angulairë

, Gb,GA

initial sera égal à i — , et l’axe' de per-

ciission, passant en O, sera déterminé par la dis-'

tance A O = , où M est la masse du