FIN DU MANUEL DE MECANIQUE
NOTES
Note i , Page 6.
L.*espace est une idée simple qui n’est pas susceptible de définition ; en effet , pour le définir, on serait obligé de se servir de termes cjui ne pourraient être compris qu’à l’aide de l’objet qu’ils doivent faire connaître. Les propriétés de l’espace ont été réunies en corps de doctrine , et on en a formé une science spéciale. La géométrie, car tel est le nom que celte science a reçu d’une de ses applications , considère les diverses formes de l’espace et ses diverses limites , point , ligne i surface , volume.
Le temps est aussi une idée simple et indéfinissable. L’espace nous donne le sentiment de la juxta-position des objets extérieurs ; les successions des phénomènes intérieurs de l’intelli- *• gence , les pensées et les sensations, doivent leur origine à l’idée du temps. La mécanique s’occupe des propriétés combinées du temps et de l’espace , non pas de l’espace vide du géomètre , , mais de celui qu’on conçoit renfermer des molécules matérielles , de l’espace résistant qu’on désigne en physique sous le nom de masse. Ainsi, ce qui différencie essentiellement la science du mouvement de celle de l’étendul, c’est la matière et le temps. Toutefois, on a introduit dans la
3a2 . . . HOTES.
mécanique une troisième idée, celle de cause, autrement dite l’idée de la force ; il nous parait possible de développer toutes les théories de cette science sans y faire intervenir la notion de force. On peut admettre le mouvement comme un fait : l’équilibre n’est plus que le phénomène de l’impénétrabilité de la matière ; sans s’enquérir de ses causes , soit prochaines , soit éloignées , on pourrait reléguer tout ce. qui concerne la nature des forces dans cette branche de la métaphysique, qui traite de la nature des êtres , dans l’Ontologie. L’exposition didactique de la mécanique gagnerait à cette élimination. Lorsqu’on n’a aucune donnée sur la nature de la force, y a-t-il lieu à demander si la force est proportionnelle à la vitesse ou non ? Mesurer des espaces , des temps , des masses , voilà toute la mécanique rationnelle; au-delà on empiète sur le domaine de la métaphysique.
Note 2, Page 47.
Si P et Q représentent les grandeurs des forces y et fl» l’angle de leurs directions , on aiira
R = y^P* -j- Q* -j-.2 P Q cos. fl» , où R est la résultante; et, en général, P, P', P", etc., représentant les intensités des forces (P, P'), (P, P") , (P', P") , etc. , les angles que forinent entre elles les directions des forces P et P', P et P", P' et P", on aura
R =\/P» 4- p»^ -f -y etc., 2 P. P’ cos.
(P, F) 4- 2 P P"cos.(P, P") 4.2 P'P*cos. (P',P' 0 .
.'lû I.ZC3 by CjUüglc
NOTES
Note 3, Page 5i.
Cette cDDStruction revient à celle-ci ; Menez par l’extrémité de la première force une parallèle à la direction de la deuxième .force , et portez sur cette parallèle une droite proportionnelle à cette deuxième force; par l’extréinité de cette droite menez une parallèle à la troisième force, et ainsi de suite; la droite qui joint le point d’application à l’extréraitc de la dernière parallèle représentera la résultante cherchée, la grandeur et la direction. Si l’extrcmité de la dernière parallèle se confond, avec le point d’application, il y a équilibre dans le système.
Note 4î Page 66.
Lorsqu’un couple est appliqué à un' corps , ce serait une erreur de croire que le corps commencera toujours par tourner autour de la droite perpendiculaire au plan du couple; cela n’arrive que dans certains cas particuliers, que nous expliquerons quand il s'agira du mouvement des masses de formes quelconques.
On appelle axe d’un couple la droite perpendiculaire à son plan ; comme ces axes font évidemment entre eux' les mêmes angles que les plans , il est facile de voir que toutes les opérations sur la composition et la décomposition des couples peuvent s’exécuter au moyen do leurs axes.
NOTES
Note 5 , Page 93.
Soit un système quelconque de fcvrces , soit R la force résultante passant par le point A , que no\is désignons sous le nom de foyer de composition ^ et (Q^ — Q) le couple résultant relativement à ce même point A ; prenant un autre point B pour foyer de composition «, nous aurons la même force résultante R, parallèle à la première et dirigée dans le même sens et un couple (S^ — S). Si Ton applique au corps simultanément les trois forces R, (Q^ — Q), et ensuite les forces R^' — S , prises dans des
sens opposés , il y aura évidemment équilibre^ Or, dans ce cas, nous avons trois couples (Q^ — Q), (R, — R) et — (S, — S); par conséquent il faut que le couple , par rapport au foyer B , pris dans un sens opposé , et le couple par rapport au foyer A , donne un couple résultant , dont le plan est parallèle à la force résultante R.
Décomposons le couple (Q^— Q) en deux autres , l’un situé dans un plan perpendiculaire à la force R , et l’autre dans un plan parallèle à cette force ; faisant la même décomposition pour les deux autres couples, il est évident que le couple composant de (Q^ — Q) sera égal aü couple .composant provenant de (S^ — SJ; donc , quel^qu^ soit le foyer que l’On choisisse, la coipposante du couple résultant , située dans un plan perpendiculaire à la force R, es^tou-
NOTES
jours de même intensité. Par conséquent , le plus petit couple , le couple minimum , est celui dont le plan est perpendiculaire à la force R ; et plus le plan d’un couple sera incliné sur le plan du couple minimum , et plus il aura d’intensité : les couples d’égale inclinaison sur ce plan sont égaux entre eux. [Voyez le Mémoire de M. Poinsot, à la suite de sa Statique.) # 4
Note 6, Page ii8.
Li’aire de la surface d’un cône tronqu^ est égale à son côté, multiplié par la circonférence qui passe par le milieu, ou, ce qui revient au même , par le centre de gravité de ce côté ; par conséquent l’aire décrite par un polygone , tournant autour d’un axe situé dans ce plan , est égale à la somme des produits que l’on ob tient en multipliant chaque côté du polygone par la circonférence que décrit le centre de gravité de ce côté ; mais une circonférence étant égale à son rayon, multiplié par 2 ^,etc. j oÙït est le rapport du diamètre à la circonférence; donc' l’aire est encore égale à la somme des produits de thaque côté par la distance de son centre de gravité à l’axe , cette somme étant multipliée par 2 îT ; et par la propriété du centre de gravité , cette somme est égale au périmètre du polygone, multiplié par la’ distance du centre de gravité de ce périmètre à l’axe. Ceci étant vrai, quel que soit le nombre et la grandeur des côtés du polygone, il s’ensuit que l’aire d’une surface
3a6 notes.
décrite par la révolution d’une courbe plane , autour d’un axe situé dans son plan , que cette aire est égale au périmètre de la courbe , multiplié par la circonférence décrite par le centre de gravité de ce perimetre. Ainsi ^ connaissant ce centre de gravité , on pourra trouver l’aire ; et celle-ci étant donnée, on connaîtra la distance du centre de gravité à l’axe. Par exemple, on séÊt , par la géométrie, qu’un arc de circonférence, en tournant autour d’un diamètre, parallèle à sa corde, décrit une zone sphérique dont l’aire est égale à la circonférence multipliée par la corde ; par conséquent , la circonférence décrite par la distance du centre de gravité de l’arc au diamètre sera égale à ce produit divisé par l’arc. Or, les circonférences étant entre elles comme leurs rayons , il s’ensuit que la distance du centre de gravité d’un arc de cercle au centre de ce cercle est une quatrième proportionnelle *' au rayon, à la corde et à l’arc. La solidité d’un cône tronqué droit est égale à l’aire du trapèze générateur, multiplié par la circonférence décrite par le centre de gravité de cette aire ; de là on conclut que le volume décrit par l’aire d’une courbe tournant autour d’un axe situé dans son plan est égal a cette aire multipliée par la circonférence que décrit le centre de gravité de l’aire génératrice.
A l’aide de ce théorème, qui porte le nom du jésuite Guldin , et dont Pappus est l’inventeur, on démontre que i®. le centre de gravité d’un segment de cercle est situé à une distance du
NOTES
centre du cercle égale au douzième du quotient , qu’on obtient en divisant le cube de la corde par l’aire du segment; 2°. le centre de gravité d’un secteur circulaire est situé à une distance du centre égale au produit des deux tiers du rayon multipliés par la corde divisée par l’arc.
Par les méthodes du calcul intégral , on trouve que i®. le centre de gravité d’une calotte sphérique est au milieu de sa flèche; 2®. le centre de gravité du volume d’un hémisphère est , sur le rayon perpendiculaire à sa base , aux trois huitièmes à partir de cette base, ou aux cinq huitièmes à partir du sommet.
Note 7 , Page i45. ''
Lorsqu’il n’y a pas plus de trois points de contact, la recherche des pressions qu’éprouvent ces points, n’est sujette à aucune difficulté ; en effet, lorsqu’il n’y a que deux points d’appui , la question revient à décomposer une force en deux autres qui lui soient parallèles ; ' ce qui est toujours possible, lorsque les points d’application de la résultante et des composantes sont sur une même droite , et c’est le cas actuel. On ne peut décomposer une force en trois autres qui lui' soient parallèles, lorsque les points d’application sont sur une même droite, le problème est indéterminé; il en est de même lorsque le nombre d’appuis surpasse trois; alors les principe^ de la statique ne suf- ■ fisent plus pour résoudre la question. En effet, » un point n’est fixe qu’autant qu’on peut le considérer comme faisant système avec le globe ,
" = — ty Cooglt
NOTES
terrestre ; tous les qhocs contre ce point ayant lieu contre une masse infiniment grande, leurs effets se réduisent à de simples pressions ; pour les calculer, il faut donc connaître la manière de déterminer les chocs des corps , ayant égard à leurs masses respectives j ce qui suppose la connaissance d’autres lois que celles qui régissent l’équilibre. Cette manière de considérer les pressions^ due à M. Carnot, a été développée avec beaucoup de succès par M. Servois, dans un Mémoire encore inédit, communiqué à l’Institut en i8io, et que l’auteur devrait publier dans l’intérêt de la. science.
Note 8 , Page 173.
On consultera, avec fruit, les notes dont M. Navier a enrichi V Architecture hydraulique dé CélidorVet un excellent Mémoire de M. Lefèvre , lieutenant-colonel d’artillerie ; il est inséré dans le Mémorial de V Artillerie , qui sera publié en 1828.
Note 9, Page 177.
Soient des points matériels formant système au moyen de liaisons quelconques établies entre eux; supposons de plus que ces points soient sollicités par des forces qui se font équilibre à l’aide du système ; concevons qu’on applique au système et à un point quelconque une nouvelle force ; il est évident qu’elle agira comme si elle existait seule , parce que les autres forces détruisent leurs effets respectifs ; pendant le premier instant, le premier point du système décrira un espace infiniment petit ;
NOTES
supposons que cet espace soit projeté sur la force appliquée à ce point , et faisons un pro* duit de cette force par cette projection ; faisant la même chose pour chacun des autres points du système ) nous aurons autant de ces produits qu’il y a de points ;> la sommé algébrique de ces produits est toujours nulle, et c’est en ceci que consiste le principe des vitesses virtuelles. M. Navier en a donné une démonstration très simple (Voyez Architecti^re hydraulique ^toxae I, page 55); consultez aussi le mémoire de M. Poinsot, inséré dans le treizième, cahier de Y Ecole polytechnique.
Note lo. Page aa5.
Soit une sphère homogène de masse M exerçant une attraction en raison inverse des carrés des distances sur un point matériel A, situé hors de la sphère; si tous les points de la sphère se placent au centre, les forces attractives des • unes auront des accroissemens , et celles des autres subiront des diminutions ; or, on démontre que la somme de ces accroissemens est égale à la somme des diminutions; par conséquent la force attractive d’une sphère homogène sur un point extérieur est égale à celle qu’exerce le centre, en supposant à ce point . une masse égale à celle de la sphère. La même conclusion a lieu si la sphère est formée de couches concentriques homogènes et de densité différente. , ,
Aittsi les planètes peuvent -être regardées
B3ô • NOtES.
comme à peu près sphériques; les actions al* tractives qu’elles exercent sur les corps posés à leurs surfaces sont en raison directe des masses, et en raison inverse des rayons, et lorsque les corps sont également éloignés des centres des planètes , les forces attractives sont comme les masses (CCCXXIII).
La terre est une sphéroïde qui ne s’éloigne pas beaucoup d’une sphère; soit la distance à laquelle une. force accélératrice est proportionnelle* à 772 la masse de la terre, et r son rayon moyen, la force attractive de la terre
sur un point placé à sa surface sera j
cette force est dirigée vers le centre ; or la force centrifuge agit perpendiculairement à l’axe terrestre ; par conséquent la force centrifuge tend partout à diminuer la force attractive et à en changer la direction; à l’équateur les forces attractives et la force centrifuge ont les mêmes directions , mais en sens opposés; or U étant la vitesse angulaire, sera la force centrifuge à l’équateur, la pesanteur y est donc égale à <
mfg^
mru*‘ =
En effectuant les calculs, faisant f-=ir, on trouve que la force centrifuge est la partie de la force attractive; par conséquent la pesanteur à l’équateur est égàle à ||| fois la force attractive j or 289 est le carré de 1 7 ; si donc
Dlÿitl/ed by Coogit
ArOTES. 3ÎÎ
la vitesse de la terre devenait 17 fois plus grande qu’elle n’est maintenant , si la terre achevait sa révolution en d’heures, les corps placés à l’équateur n’éprouveraient plus les effets de la pesanteur, et pour une plus grande vitesse angulaire, ces corps s'éloigneraient de la terre; par des considérations semblables à celles qui ont été expQsées ci-dessus, on parvient à démontrer qu’un point matériel , placé dans l’intérieur d’une sphère creuse , sur sa surface intérieure homogène , et soumis à l’attraction de cette sphère, y reste en équilibre; par conséquent lorsqu’un corps est placé dans l’intérieur d’une sphère pleine, on peut le regarder comme étant placé à la fois et sur la surface intérieure d’ùnc sphère creuse et sur la surface extérieure d’uiTc sphère pleine enveloppée par la sphère creuse; or, les attractions de celle-ci se détruisent mutuellement ; le point n’est donc soumis qu’à l’action de celle-là; lors donc qu’un point tombe dans l’intérieur de cette sphère, il est soumis à la force accélératrice qui décroît comme les masses, et croît en raison inverse des carrés des rayons; or lorsqu’il y a homogénéité entre les couches , les masses décroissent comme les cubes des rayons ; donc la force accélératrice décroît comme les rayons sur les corps qui tombent dans l’intérieur de la terre ; mais les couches de la terre ne sont pas de même densité ,* car elle va croissant de la surface vers le centre ; ainsi cette loi de pesanteur n’est vraie que pour des corps qui traversent une petite épaisseur de la terre. -, tV'
NOTES
Note ii, Page à48.
Cette loi n’est pas mathématiquement vraie elle suppose que les masses des planètes sont très petites relativement à la masse du soleil , ce qu’il est permis d’admettre. (Voyez Poisson, Mécanique , tome II, page i8.)
’ Note 12 , Page *58.
Si, dans une sphère, on mène un diamètre vertical; un point matériel pesant, mettra le même temps à parcourir ce diamètre qu’une corde de là sphère passant par une extrémité de ce diamètre. En effet, soit / la longueur d’un plan incliné , et À sa hauteur ; désignant par € ],es espaces décrits par un point pesant glissant *
h hg
sur le plan , on aura c = i ”7“ P®”
santeur relative; pendant le même temps t, le point décrirait en tombant suivant une ver-^ ticale , un espace e égal à \ g \ donc
he e h
et réciproquement
lorsque cette proportion subsistera , les espaces sur la longueur et sur la hauteur du plan'seront décrits en temps égaux. Il est aisé de voir que cette proportion existe entre le diamètre vertical et la longueur dé la corde inclinée dans Ig sphère.
Note i 3 , Page 267.
Le pendule , «u s’allongeaut , fait augmenter le couple de masse, et, par conséquent , la
Digilized by C
NOTES
tesse de rotation ; mais en rapprochant la lentille de Taxe de rotation, on diminue le couple de masse; il faut rapprocher de manière que les deux effets se compensent. On comprend pourquoi il faut éloigner la lentille de l’axe , lorsque le pendule s’est raccourci.
Note i 4 , Page 278.
On voit ici l’application d’un principe célèbre dû à d’Alembert , et qui porte son nom ; voici en quoi il consiste : supposons qu’un système de corps soit sollicité par un système de forces; ces corps prendront évidemment d’autres vitesses , et suivant d’autres directions que celles qu’auraient données ces forces si elles avaient agi sur les corps isolés, et sans liaison entre eux; supposons encore qu’on applique à chaque corps une nouvelle force ayant une vitesse égale à celle qu’il tend à pi’endre, mais dans un sens opposé, il est évident qu’il n’y aurait aucun mouvement dans le système, et les nouvelles forces feront équilibre aux anciennes; il faut donc que les nouvelles forces combinées avec les anciennes satisfassent aux conditions d’éqùilibre , c’est-à-dire donnent une force résul^ tante nulle et un couple nul ; ces conditions étant traduites en langage algébrique , fournissent les moyens de connaître les nouvelles, forces à l’aide des anciennes et des liaisons connues qui existent dans le système ; de sorte que les problèmes sur le mouvement sont ramenés à des problèmes sur l’équilibre. Ce principe, si remarquable par sa simplicité, est le plus fé-
NOTES
cond qu'on connaisse dans les sciences exactes; par son moyen , toutes les difficultés de la mécanique sont devenues des difficultés de calcul, ainsi que l’a fait voir l’illustre auteur de la .Mécanique analytique.
Note i 5 , Page 292.
Supposons que toutes les molécules de la masse aillent successivement se plaeer à l’endroit od est le centre de percussion, et en prennent la vitesse ; il est évident qu’il y en a parmi les points qui perdraient de leur quantité de mouvement, et d’autres qui y gagneraient; ceux qui sont plus éloignés de l’axe que le centre de percussion, perdraient, et ceux qui sont plus rapprochés de l’axe, gagneraient; or telle est la propriété du centre de percussion que la somme des quantités de mouvement perdus par les uns est égale à la somme analogue gagnée par les autres ; de sorte que si on con-
' coit à la distance de l’axe où est le centre de
percussion, un point ayant même masse que toute la masse du corps , et ,même vitesse que le centre de percussion, ce point frapperait avec la même force que tous les points du corps réunis avec leurs vitesses respectives; c’est à cette propriété caractéristique que le centre de percussion doit son nom; il' jouit, relativement au mouvement de rotation, d’une propriété analogue à celle que possède le centre de gravité dans le mouvement de translation. On a appelé celui-ci centre de masse ; on pourrait désigner . 1 autj^e par celui de centre de couple de masse.
NOTES
, • Note i6, Page 3o/|.
En supposant que les planètes sont des corps à peu près sphériques , et que leurs trajectoires sont à peu près circulaires, on produira des doubles mouvemens analogues à ceux de la Terre, de Mars, de Jupiter, de Salqrne et de la Lune , en appliquant à une sphère homogène un choc, à des distances du centre désignées
Tn»T7r>Tf9»Tft du rayon, et de manière que le centre de la sphère soit entre le point d’application du choc et le centre d’attraction ; car, pour toutes les planètes connues , les deux mouvemens ont lieu dans le même sens. Il est probable que le soleil a un mouvement de translation ; on soupçonne même que le centre d’attraction est dans la constellation de l’aigle; mais on ne connaît jusqu’aujourd’hui que le mouvement de rotation du soleil.
Note 17, Page 307.
L’identité qui existe entre les centres d’oscillation et de percussion fournit un moyen pratique très simple de les déterminer : on fait osciller le corps autour de son axe, et l’on compte le nombre n d’oscillations qu’il fait pendant une minute ou pendant 60 secondes.
Or, la longueur du pendule à seconde étant 0,99384, on a la proportion (CCCCLXVIII)
60* ;; 0.993841 / = mètres,
où l est la distance du centre d’oscillation ou de percussion à l’axe de suspension.
Digilized by CoogI
NOTES
Les auteurs anglais distinguent encore un point qu’ils nomment centre de gyration ou de rotation; c’est celui qui est situé à une telle distance de l’axe , que s’il avait même masse que tout le corps il prendrait même vitesse angulaire que le corps. Soit d cette distance cherchée , nous aurons en général
Uvf
'Zmr^
Lorsque le corps est réduit à un seul point matériel , on a
'2.mr*—rn.d^‘, donc , dans ce cas , on a
“ ~'Lmr'^ Mp» d^'
(CCCCXCIX).
Si donc
on a - ~ —— î
Me/
d’où
Smr» M(a»-f K“) + K*
^ "" M ■“ M ~ \/~âî
^ a/ (DXXXIII) ,
où l est la longueur du pendule simple.
Ainsi la distance du centre de gyration à l’axe est une moyenne proportionnelle entre les distances au même axe du centre de percussion et du centre de gravité ; ainsi c’est entre ces deux centres qu’est toujours situé le centre de gyration.
NOTES. 337
Lorsque l’axe de suspension passe par le centre de gravité, l’on a
dz=K.
Dans ce cas , la vitesse u est la plus grande possible.
Voici quelques résultats de calculs, utiles à connaître pour la pratique ; lorsque le pendule est :
i“. Un cylindre d’un très mince diamètre, le pendule simple est égal sensiblement aux J de la longueur du cylindre ;
a®. Un cône droit suspendu par son sommet , le pendule simple est égal à la hauteur du cône ;
^ 3°. Un triangle isocèle suspendu par son
sommet , et oscillant perpendiculairement à son plan, le pendule simple est égal aux de • la hauteur ;
4®. Un cercle suspendu par un point de sa circonférence , et oscillant perpendiculairement à son plan , le pendule simple est égal aux du diamètre ;
5®, Une parabole suspendue à son sommet aux ~ de l’axe, et lorsque ses surfaces se meuvent dans leurs plans respectifs, on a, pour les longueurs , des pendules simples ;
6°. Le triangle isocèle,
A est la
hauteur et b la base;
7°. Un cercle, ^ du diamètre ;
338 NOTES
8°. La parabole suspendue à son sommet, au ^ de Taxe , plus le } du paramètre ;
9 °. La parabole suspendue par le milieu de sa base , au y de l’axe , plus ~ du paramètre ;
lo®. Une pyramide à base carrée , suspendue par son sommet, et vibrant dans un plan vertical, parallèle au côté du carré, le pendule
simple est égal à f à -f -. — ^ hauteur et c le côté du carré.
11 °. Une sphère suspendue à un point éloigné de la distance d du centre de la sphère , on a ,
pour le pendule simple , d ■— — , où r est le
rayon de la sphère ; et lorsque dz=r,\e pendule simple devient \ r.
Note i8. Page 3 17.
Soit U la vitesse angulaire au bout du temps ty et U cette même vitesse au bout du temps dans rintervalle de temps t' — ty il s’est donc acquis ou perdu une > force vive égale à M (//'* — «*). M étant la masse, représentons cette différence par D , on aura M («'“ — u“) = D.
Or, « = ,
'Z mr^
Zmr^
P et P' représentent le couple résultant des forces motrices qui agissent au bout des temps t et d’où
(/e Jfccttmaue PL '4^ .
ii8 I
ifâ<
Digilized by Cooglff
notes.
{Zmr^y M («' — u) M (P'“ — P»)
p'a pa
Pendant cet intervalle t‘ — t la vitesse a crû de U en u' d*une manière continue; si nous adoptons pour vitesse moyenne p, une moyenne arithmétique entre les vitesses extrêmes , nous au—
rons p = , et l’équation précédente de-
viVnf a M {u —u ) M P*
P ~ 4(P*a— pa) *
Ainsi, la différence u — u entre les vitesses extrêmes sera d’autant plus petite que les trois facteurs M, p, K* seront plus grands. Il y a donc de l’avantage, pour l’uniformité de* vitesse, à ce que la machine ait , 1 ®. beaucoup de masse ; 2 °. une grande, vitesse ; 3®. un grand couple de masse. Par conséquent , des corps * très denses, placés à de grandes distances de • l’axe de rotation , sur les parties du système qui ont la plus forte vitesse , réunissent ces trois . conditions ; ce sont ces corps qu’on nomme volans.
riW DES NOTES..
