PHILOSOPHIE MATHÉMATIQUE

f . Lorsque Ramus voulut substituer la logique naturelle à celle d'Aristote, et simplifier ainsi la science, il vit et signala

(1) Dieu est la canw nDivenelle efficiente et finale : Omnlapropter îpstimfacta sunl^ et diaque animal potirrait jager comme noos qne tout a ëlë fait pour lui, car tout est relatif dans la crëation. Lettre à Chttnûl, II, 36.

(2) C'est ce c(ne fait Descarte», Médit,, VI, uibjîn. — Princ, 1, sub fin. — Rip. uux obj. cTAmmud.

8 s MANUEL

dans les mathématiques un exemple de la méthode universelle que re.-'prit humain suit en toutes choses. Il semble que Descartes, plus mathématicien encore que Ramus, n'ait été en cela que son continuateur (t).

Descartes se vante en plus d un endroit devoir indiqué par sa dioptrique et par ses météores, qn'il était en possession d'une nouvelle et grande méthode Mur les sciences, mais de ravoir démontré par sa géométrie^ En effet, sa métliode géométrique est, en même temps, sa méthode générale. C'est là ce que nous devons prouver ici, et en effet nous le déduirons avec pleine évidence d une analyse intime de la géométrie de Descartes. ^

2. Dèsjà plus haute antiquité, Tétude de retendue figurée, qui est l'objet de la géométrie, nous parait soumise à une règle fixe : remplacer l'étendue réelle, ligne, point ou surface, par une conception de l'esprit, c'est-à-dire déûnir l'objet de la connaissance tel qu'on veut le considérer, et en abstrayant rigoureusement tout ce qu'on ne soumet pas à la recherche. Voilà l'origine et le fondement de la certitude géométrique ; les conclusions tirées par le raisonnement de ces conceptions même et des lois auxquelles nous les croyons invinciblement soumises sont vraies de ces conceptions et ne se réalisent qu'approximativement dans les formes sensibles qui nous apparaissent. Si nous ne connaissions que le sensible, il n'y aurait pas de géométrie possible, de même qu'il n'y aurait pas d^arithmétique si nous ne savions distinguer le nombre des objets nombres. Ainsi, l'antique géométrie consista en définitions, en axiomes et en déductions tirées de leur comparaison par l'esprit qui perçoit les rapports nécessaires que nos concepts ont entre eux.

(1) PlatoD et Aristote comme Hippocrate et Galîen, et tous les artistes, ont une seule et même méthode.... L'usage seul, l'usage de la logique introduit dans les écoles en chassera tous les sophismes ... C'est la philosophie de Virgile, de Tullius, d'Homère, de DéuKKthène, c'est celle dei mathémaltcieo«, celle que tons les hommes mettent en usage dans les conaeib et dans les jugenoents, que je veux dans les écoles, et non la philoso • phie rêvée pr Aristote on par Ramns ! Pclri Raini schoke in ArisLoteL Lieras de diaU phys. et met. prœfatio.

Ces deux analyses ( géométrie et alg^bre^ ne sont antre chose que les fruits spontanés de celte méthode naturelle que les esprits supérieurs de toun les tempe ont dû entrevoir. Descartes, Règles pour la direct, de Vesprit^ t. XI, page 218, édit. Cousin.

La déduction ne peut manquer d'être bien faite par l'homme même le mrini hahiluu .ld.,p«g. 212.

Telle est la méthode synlliétique; elle a été la ptcmière en iiéoniétrie et elle en est restée le fondement, car l'analyse la suppose toujours nécessairement, et il serait impossible <le découvrir la moindre proposition ou de résoudre le moindre problème par voie analytique, sans présupposer des propriétés déjà démontrées d'après nos conceptions à priori. Quel est donc remploi, quelle est la sphère d'action de lanalyse géométrique? Les voici : nous voulons trouver le moyen de conhtruire une ligne qui ait telles ou lelies relations de position ou de grandeur avec d'autres lignes données. Supposons que la ligne cherchée existe, voyons de quelle manière elle dépend des lignes connues, c'est-à-dire rattachons-la à celles-ci par une série d'inductions; parvenus au dernier anneau de cette chaîne, s'il nous est connu, redescendons en passant par les mêmes degrés; et au lieu que, dans la première opération, nous allions du composé au simple, de l'inconnu au connu, nous irons dans la seconde du simple au composé, du connu à l'inconnu qui se trouvera ainsi réalisé. La première partie de cette méthode est l'analyse ou le procédé d'invention, au sein d'une science déjà constituée (1 ) . C'est ainsi que l'entendaient les anciens, et ils réservaient le nom de synthèse à la seconde partie ou démonstration, qui rattache le fait géométrique trouvé à l'ensemble de la science, cjui n'a pas cessé de reposer synthétiquement snr ses principes invariables. Cela posé, c'est de celle méthode analytique ou voie scientifique inverse, dont on attribue l'inveniion à l'école platonicienne (2), que Descartes produisit une 4idmirable généralisation.

3. Il remarqua, en effet, que les sciences mathématiques dont les objets sont cependant différents, s'accordent toutes en ce c|ii'eUes ne considèrent dans ces objets que les rapports qui s'y

(1) « Regarder la chose clierchee cnmme si elle ^tait donnée, et marcber de cons<<- <|uence en conséquence jusquli ce qu'on reconnai«»e la chose cherchée comme vraie : » c'est Ui la méthode que Platon a inventée et que Théon a nommée analyse, n Au contraire» la sjnthèse se définit, partir d'une chose donnée pour arriver de conséquence en conséquence îi trouver une chose cherchée. » Chasles, Aperçu hist. sur le déifelopp. des méth. en géoin^ Tiré de Viète, citant Théon.

(2) Puisque nous n'éprouvons plus aussi vivement que nos aïeux le besoin de fixer 3b chaque chose un commencement bien précis quand elle tient h l'essence mémo de notre esprit, nom pourrions nous borner î» considérer Platon comme ajant eu à un «rès-haut degré l'intelligence de la méthode analytique et avant contribué n la ré- |>andre.

trouvent; de sorte qifil suffit de considérer ces rapports euxmêmes dans les nombres qui les représentent d une manière abstraite et générale. Ainsi les mathématiques furent ramenées A Tuniié, c'est-à-dire que Talgèbre, le géométrie, la mécanique, furent embrassées d'un seul point de vue, et tandis que les anciens répugnaient, eu général, à élever leur esprit au-dessus des lignes qui, constamment présentes à leur imagination, suppléaient à ridée générale des grandeurs, les modernes, tout en conservant Futile souvenir de ces lignes, firent un pas définitif yevA la constitution purement intellectuelle et symbolique de la science, et purent réaliser avec une sublime grandeur le vieux système des nombres dePythagore (1).

Ainsi donc, on examine les rapports en général, en les imaginant, si Ton veut, dans les sujets qui en rendent la connaissance plus aisée, comme les lignes qui sont les plus simples de tous (2). Un problème quelconque à résoudre sur des grandeurs et sur les relations qu'elles ont entre elles, se pose ainsi comme un problème de géométrie, et se présente à l'imagination à Taide des lignes qui représentent ces grandeurs. Ensuite il se résout par Taigèbre analytiquement, ainsi qu'irsuit.

4. On nomme ehacune des lignes connues ou inconnues qui entrent dans la question, par les lettres de Talphabet; ensuite on examine la liaison qui est entre ces lignes, c'est-à-dire les opérations géométriques qu'il faudrait faire pour les déduire les unes des autres ; et il y a toujours des opérations algébriques très-simples qui leur correspondent et peuvent être indiquées avec les lettres. Cela posé, si l'on peut exprimer une ligne de deux manières différentes par des opérations indiquées sur les autres, ces deux expressions égalées donnent une relation où l'inconnue est impliquée, de sorte qu'il n'y a plus qu'à la dégager selon les règles de l'algèbre (3). S'il y a plusieurs incou-

(1) Tontes les sciences qui ont poiir but la recherche de Tordre et de la nuisure se reportent aux mathëmatiques ; il n'importe que ce soit dans les nombres, les figures, le.s astres, les sons on tout autre objet, qu'on cherche cette mesure, il doit j avoir une science générale qui explique tout ce qu'on peut trouver sur l'ordre et la mesure.... El cette science est appelée d'un nom propre.... les mathématiques, parce qu'elle contient tout ce par quoi les autres sciences sont dites faire partie des mathématiques. DescarluA, Recherche de la fêrUé. édit. Cousin, tome XI, page 223.

(2) Discours de la méthode, page 21, première édition.

(3) Descartes, Géo/iie/Mc, prem. édit., pag* 300. Règles pour la direction de Teaf,rit, 17, 18, 19, 20.

nues, on peut trouver autant de relations ou d'équations (|u*ii y a d'inconnues, à moins que le problème ne soit indéterminé, auquel cas, un certain nombre d'inconnues peut être assigné arbitrairement, jusqu'à ce qu'il n'y en ait pas plus que d'équations.

5. Maintenant lorsqu'un problème est indéterminé, de telle sorte qu'une seule équation existe entre deux inconnues, une infinité de valeurs lui satisfont, et cependant il existe entre ces inconnues une proportion constante qui est exprimée par Téquation. Alors si on fixe à volonté l'une d'elles, l'autre est par cela même déterminée, et si le problème consiste à trouver un point qui jouisse d'une certaine propriété, il y en a une infinité de tels qui se trouvent tous sur une même ligne (I). Ainsi, une équation entre deux inconnues représente algébriquement les lieux géométriques des anciens.

Mais il est une manière générale de considérer les courbes ; c'est de rapporter tous leurs points à deux lignes droites, car alors il y a une proportion constante entre les deux distances d'un même point à ces deux droites, et elle peut être exprimée par une équation^ de sorte qu'il sera facile de construire une courbe dont l'équation est donnée, ou de trouver l'équation d'une courbe donnée par rapport à deux lignes droites tracées dans le plan de celte courbe (2).

Yiète avait montré la relation des opérations algébriques aux opérations géométriques, et découvert le moyen de passer des premières aux secondes (3). Descartes étendit ce point de vue à la géométrie entière, et appliquant aux lignes représentées par des signes généraux l'analyse des anciens, et à ces signes, l'algèbre des modernes (4), il fonda le premier une géométrie générale (o), soumise à des règles invariables.