C'est avec raison, sans doute, qu'on a nommé la géométrie

(i) Géoniéliief page 313.

(2) Id , pages 320, 321, 322.

(3) Les géomètres du seizième siècle avaient résolu numériqnement des problèmes Je géométrie, mais sans construire les solutions que d^ailleurs ib n'obtenaient pas gënéralemeut sons le sjniboiisme des lettres» comme Viète. y oyei'Sioniac\», Hist. des nuUh.y 1. 1. 492, première édition.

(4) « L'algèbre a pour but d'opérer sur les nombres ce que les anciens opéraient sur les Ggnres. a Descartes, Règles pour la direct, de V esprit.

(5) Cette dénomination de géométrie générale a été heareusemer.t proposée i«r M. Au'^tttte Comte. Voy. Philosophie positive^ tome I.

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(le Descaries, analytique. Elle est analytique, en effet, quant au mode de résolution de ses problèmes intérieurs, s'il est permis de s'exprimer ainsi, et comparée à la géométrie purement synthétique, simple d'ailleurs et encore concentrée des anciens avant Fâge de Platon, mais non pas eu tant qu'elle reçoit l'application de Talgèbre. L'algèbre n'est pas l'analyse, bien que ces deux mots soient quelquefois misérablement confondus (1). L'algèbre a ses règles propres dont la source se trouve aussi bien que celle de la plus ancienne géométrie dans des conceptions à priori. Ces conceptions, au lieu de porter sur la figure, portent sur le nombre, mais ni les unes ni les autres ne ressortissent d'une analyse d<e conscience, ni d'expérience, à plus forte raison. Elles tiennent à la constitution même de l'esprit humain et résultent de la nature des choses telle que nous la trouvons immédiatement en nous.

Il y a plus : si Ton fait dominer le côté algèbre dans la géométrie de Descartes (et c'est ce que l'on fait aujourd'hui presque partout, dans l'enseignement), si Ton considère les équations avant les courbes , traçant celles-ci d'après celles-là , déduisant leurs propriétés des harmonies numériques et ne les construisant qu'à l'aide des valeurs en nombre ou des instruments qui se déduisent de ces propriétés, ainsi qu'on peut le faire absolument, alors la géométrie devient éminemment synthétique, non plus comme celle des anciens, mais avec un degré d'abstraction de plus.

7! C'est précisément à ce degré d'abstraction et de synthèse que l'esprit de l'antiquité ne put s'élever ; on voit avec curiosité, du point où l'on est aujourd'hui parvenu, les anciens ne pouvoir se détacher des images sensibles que la géométrie permet d'employer, pour se représenter son objet ; tous les mots dont ils se servent en arithmétique se ressentent de cette préoccupation exclusivement géométrique, et leurs problèmes de nombres, même les plus simples, sont compliqués dans leur énoncé par cette volonté de suivre pas à pas la figure; ils faisaient donc constamment l'inverse de ce que Descartes put faire (luand l'algèbre pure eut été développée par ses devanciers (2).

(1) Celle vérité, »nr laquelle on a depuis discute sans s'entendre, a e'ié reconnue et de?velopjiëe par Lai^range et Lacroix dans un rapport fait h rinslilut, 15 octobre 1810.

(2) Les origines de l'algèbre sont et resteront fort obscures tant qu*eites d^(>endronl

D lin autre côté, Pylliagore et Platon, dans leurs spéculations sur les nomlires, les considéraient comme des essences, comme de-i types qui existeraient réellement hors de Tintelligence, et c'est à cette double école que se réduisirent à peu près toutes mathématiques dans la période connue de lantiquité. Descartes, au contraire, ne re/arda les nombres que comme de simples rjpports sous lesquels se groupent, en général, nos idées de ^^randeur et de quantité ; dès lors il put être conduit à les emlïioyer pour exprimer les proportions de figure, c est-à-dire à les porter dans la géométrie. Lue équation est essentiellement une création de 1 esprit ; c'est une façon d'apercevoir et de formuler les rapports des choses comme nous les pensons, et il ne semble pas que les anciens, sauf peut-être Aristole, dont le irénie rationaliste n'eut pas, hors de son école ni dans son école elle-même, im grand développement, se soient beaucoup approchés de ce point de vue. Mais le génie de Descartes consiste avant tout à avoir été fortement rationaliste et réaliste à la fois. Le monde de la raison était immense pour lui, mais le monde réel s'en échappait pour le dominer à son tour.

d'une question d'^niditlon pure. Mais quand on aura bien dëterminë pliilnsopliiquement la nature de l'aigèlire, on verra aiacnient qae, soin le double rapport d'une cxinception «ufiisammenl exacte et large de Ma objet général, et d'un symbolisme de liiiigagM approf>rië à Tinrestigation de cet objut, la formation de cette science n'eat accomplie que depnis peu d'annëes, on peut le dire ; qu'elle a été lente et graduelle ; que beaucoup j ont travaille', et que le dix-deptième kiècie seul a pu M iermer sur «lie et la contempler tout entière. Les points saillants de ce mou vemrnt dei esprits p<ira\troat toujoui9« quoi qu'an en puisse dire, et quelques manuscrits noureani qu'on puisse découvrir, Viète, DeMartt». Newton et Leibniti. U est clair que l'algèbre n'est pas dans Diopbante. M Libri a réclame' contre ce vieux préjugé {Histoire des luath. en Italie, tome 1, page llS }; liest clair que Ira traités indiens nouvellement découverte appartiennent k l'ère moderne et n'ont en d'ailleurs aucune influence sur le développement de l'esprit mathématique en Occident (les Indous ont pu savoir l'algèbre et ne pas nous l'apprendre); il est clair encore qu'on ne trouve dans les matbématiciuns italiens du seizième et du qnintième siècle aucune méthode générale et aucune notation symbolique constante, A plus farte rai»on rien de pareil ne se rencontre dans le traité de Léonard de Pise, si longtemps désiré, et mis au jour par M. Libri. 11 est vrai que les lettres de l'alpbabet y sont prises comme signes généraux, ainsi qu'A.ristote et Cicéion l'avaient j>u faire ; mais du 1^ à la mélhode générale e% k la notation spéciale que M. Libri veut trouver dans l'algèbre il jr a bien loin encore. Aussi Viète nous paraît-il toujours le premier initiateur, initiateur après d'autres sans doute, car l'homme ne crée rien, mais il trouve la création toute faite dans l'esprit encore vivant de ses devanciers et dans le sien propre. Avant Viète, les fragments de l'algèbre sont partout et l'algèbre n'est nulle part. Après lui, U sciencij doborde de plus en plus ses faibles origines, et le véritable créateur, c'est l'esprit mudvrnc.

8. L'algèbre dut, par un retour nécessaire, participer aux progrès de la géométrie qui lui était ainsi liée ; et même certaines découvertes résultèrent nécessairement du mode plus concret d'envisager les solutions que produisait Talgèbre dans sa plus rigoureuse généralité. Ainsi, avant Descartes, les racines négatives des équations étaient regardées comme inutiles et famses par suite de la préoccupation purement arithmétique des algébristes. Mais quand les racines eurent une signiiication géométrique, il devint plus facile de les interpréter dans tous les cas on elles sont réelles. Enfm, conduit à Talgèhre par la géométrie. Descartes en améliora la notation et en étendit le terrain, notamment par son théorème sur les signes extérieurs auxquels on peut, dans certains cas, reconnaître le nombre des racijie^ positives ou négatives d'une é(|uation proposée. y^^. Remarquons maintenant que l'étendue étant Tessence de la matière, la mécanique et la physique, qui ont pour objet les mouvements et les propriétés des corps, doivent se réduire à la simple considération de l'étendue figurée et mobile. Ainsi, la mécanique présuppose la géométrie pour ce qui est des figures, et pour ce qui est des forces et des mouvements, elle se ramène à Talgèbre, aux rapports en général, aux lois des nombres. Ce progrès était accompli ou plutôt s accomplissait pendant la vie de Descartes; mais sa philosophie le comprit et contribua sans doute beaucoup à Tachever. Quant à la physique, elle devient mécanique, et par suite se soumet aussi à Taigèbre aussitôt queffa matière n est envisagée que comme le sujet d'un attribut, refendue douée de deux modes principaux : la figure, le mouvement. Descartes put donc se glorifier d'avoir ramené toute la philosophie naturelle aux mathématiques (I), ou plutôt à la

(i) Descartes eùl fait peu de cas îles malhëmatiqaes, si elles se fussent bornées dans son esurit li la solution d« quelques problèmes .«ur les nombres ou Mir les lignes ■ i Dans ce cas que ferais-je autre cboseque de m'occuper de bagatelles avec plus de sa!ililit«$ peutêtre que d'antres? Mais il n'en est pas ainsi ; je n'embnuse ici rien moins que les inatbématiqnes ordinaires, mais j'expose une mëlbodu dont elles sont plutôt l'enveloppe que le fond. En effet, elle doit contenir les premiers nidiments de la raison bmnaine et aider ;i faire sortir de tout sujet les Tëritës qu'il renferme ; et, pour parler librement, je suis |>ersuadë qu'elle est supérieure h tout autre mojren humain de connaître, parce qu'elle est l'origine et la source de toutes lis vérités. Or je disque les malbématiqnes wnl l'en vilopjje de cette méthode, non que je veuille la cacher et l'envelopper pour en éloigner le vnl- Raire, au coulraire. je veux la vêtir et l'orner de manière qu'elle soit plu» à la |»orlée de l'esprit. » ( Destartes, Régir s pour la direct. Ae l'ts/iiUt *2I8. )

science mathématique, puisque ie premier il lui doniïa Tniiité/' y/iO. Disons enfin, pour en revenir au point de départ de cetie -^analyse des mathématiques selon Tesprit de Descartes, que la philosophie naturelle ne fut pas seule à reconnaître la méthode mathématique, mais que cette méthode fut aussi regardée comme Vmveloppe de la méthode universelle. De nomhreux passages des écrits de Descartes en font foi : les uns ie montrent {ilongé dans le doute, au sortir des écoles, parce qu il n existe pas de méthode en philosophie (4), puis, renaissant à Tespoir par la considération de la soHdUé des mathématiques (*2), affirmant enfin qu'il existe une méthode fondamentale dont ces mêmes mathémati(|ues sont Fenveloppe (3). Les autres, et ce sont, on peut le dire, ses écrits tout entiers, nous le font voir à Tœuvre, prenant pour base de son immense construction la notion à priori, claire, iuunédiate, intuitive, comme celles qui soutiennent \ts mathématiques : je pense et je suis; ensuite, établissant pour matériaux les définitions, conceptions intellect uelles, idées claires et distinctes : Dieu\ CHre parfait ; le Irian- ^ gle, figure à trois côtés rectilignes; la matière, substance con- À g çue sous la notion ^étendu^.^e ic. etc. Enfin, se servant d\m j[ ww levier, d'une machine unique qui est Tinfaillible procédé de déduction, et n'obéissant qu'à ces préceptes invariables de la raison humaine que nul n'a mieux formulés que lui : ne rieu recevoir pour vrai sans une connaissance évidente, diviser les difficultés, faire des dénombrements et des revues, et marcher du simple au composé, suivant Tordre éternel que l'esprit suppose dans les choses (4) . Oui, c'est bien là la méthode des méditalionSj et c'est celle des géomètres. Il ne sert de rien de dire, avec quelques passages de Descartes, que nous ne pouvons être certains de tout cela tant que nous ignorons si Dieu existe ou non, car, d'abord, ce doute enveloppe et les mathématiques, et la philQsophie tout entière ; et puis que fait cela à la méthode? La méthode doit être posée avant Fétre, parce que nous ne pouvons partir logiquement que de notre pensée ? C'est ainsi que la méthode de Descartes est éclairée par sa

(1) DUcours de la méthode ^ f»f,es G et 1 . Recherche dt la i>érilé, édilion Cou>in, tome XI, page 336.

(2) Discours de la méthodcy page 21

{S) I^gles pour la direct» de l'esprit , loc. cil. (1) Discours de la méthode, piges 20 cl 21.

géométrie; et sa géométrie n*esl une géométrie générale que parce que sa méthode est universelle, et qu'en rappliquant, il a pu la manier plus habilement que celui qui n'en possède pas Tensemble ; éviter de spécialiser les notions dès labord ; en un mot, fonder sur elle plutôt les mathématiques mêmes qu'aucune de leurs branches^^

1{. Que manque- tiidonc à la géométrie de Descartes? Rien en apparence : elle donne un système complet des courbas, et un moyen général d'explorer leurs propriétés. Elle laisse une méthode des tangentes qui peut s'étendre aux maxima et aux miuima, d'après la condition du parallélisme de la tangente à Taxe, et en général à la détermination des points singuliers des courbes. Et puis avec quelle étonnante facilité il résolvait les problèmes de défi de ses antagonistes ! Cependant, et(|uoique Descartes fut bien éloigné de penser qu'une nouvelle théorie mathématique à bases toutes différentes de la sienne fût possible, quoiqu'il se figurât n'avoir laissé de côté (|u'une infinité de déductions faciles que ses descendants auraient le plaisir de faire, sa géométrie n'était encore que superficielle pour ainsi dire. Elle ne pénétrait pas dans^r^ssencf^de la quantité ou de la notion que nous avons des grandeurs et de leur génération. Elle ne se les représentait que comme finies, d'ailleurs indéfiniment ajoutables et divisibles. Enfin , un profond mystère couvrait encore des questions importantes sur la nature de la c]uantité et du plus grand nombre des opérations algébriques, (les incommensurables, des séries, etc., etc. Jusqu'à quel point prépara -t-elle les découvertes postérieures , c'est ce qui nouîj restera à examiner plus.tard.