IV

ÉCOLE RAÏIONÀLIStE. — DEUXIÈME SECTION. DUALITE DE l'ÊTBE. — ÉCQLP PYTHAGORICIENNE.

Les pythagoriciens fondèrent une doctrine dont les rapports avec la doctrine rationnelle de l'unité des éléates sont les mêmes que ceux du dualisme empirique d'Ëmpédocle avec l'unité empirique des Ioniens. Ëmpédocle, dont le naïf éloigfiemeql de toute méthode scienti6que se révèle si bien dans tout ce que nous savons de ses idées, connut assez bien le monde cependant pour

(1) Diog^e, Vie d'Ëmpédocle, vtii, 70.

(2) Id., ibid. Henri Etienne pense , en eiTet, que les deux vers qui suivent sfc rattachent à ren^emble du passage précédent. {Poesis pkilosophica.)

(8) Sextus, Adversus grammaticoa; 302.

(4) Diogène expose au long ces difTérentes versions.

<6i Ce poème se composait de cinq mille vers, comprenant la Physique et les Expiations ; en outre, six cents se rapportaient i la médecine. Diogène, viti, 77.

DE PHILOSOPHIE ANCIENNE. i^'À

sentir quô deux principes opposée dont nécessaires â qlii veut ex* pliquer tous les phénomènes. Ces principes^ il les 6t vivants comnt^ était vivante la grande unité ionienne: Il les aperçut dans les êlé-ments, qu'il réduisit à deux : le feuy et ce qu'on pourrait appeler Vair terraquéf et il fit de ces éléments diversement divisés et combinés le corps de la nature et des êtres ; puis il les aperçut dans les causes et les nomma haine et amour; enfin il les retrouva dans les efiets : mouvement^ vie, mal en général, et immobilité^ retour à l'origine et bien suprême. Ainsi, les deux principes étant envi* sages comme actifs aussi bien que comme substances ou supports des êtres, il était hors de propos de s'élever à l'idée d'un dieu for^^mateur ou d'une intelligence ordonnatrice (4). L'école empirique n'atteignit à ce résultat qu'après qu'elle eut décidément multiplié son être à l'infini dans la doctrine d'Auëtagore. Mais ce grand progrès fut d'abord accompli grâce au dualisme rationaliste des pythagoriciens. Ceux-ci posèrent Un de leurs principes comme par lui-même inerte, passif et, en quelque sorte, non-être; ils durent donc accorder la puissance architectonique à l'autre principe et s'élever à l'idée de la Providence et du gouvernement du monde. Nous avons vu que la pensée générale du dualisme avait dû se trouver dans la philosophie de Pylhagore^ et Pythagore vivait encore lorsque Alcméon de Crotone, qui eut quelque influence sur son école, s'il n'en fit partie lui-même, appliqua cette pensée ^ mais vaguement et sans méthode, à la contemplation de la nature* Il aperçut, dit-on, que les choses de ce monde se rangent ordinairement en deux séries : bien et mal, grand et petit, doux et amer; blanc et noir, etc. , dont les termes sont opposés deux à deux (2).

(1) Cependant quelques alexandrins, cités par Sturz [Empedocîes Agrigentinus, p. 277 et sUiv.) ont regardé le Sphéros d'ËmpédocIe comme représentàiit le monde intelligible. S'il en était ainsi, la théorie platonicienne des idées remonterait à ce philosophe, qui en serait le premier auteur. Mais nous ne connaissons à ce sujet aucun témoignage d'une antiquité suffisante, et il noufi a paru plus naturel d'assimiler le Sphéros à cette unité suprême, immobile, quo tous les panthéistes en philosophie comme en religion fixent au-dessus du monde des phénomènes, soit idéaux, soit sensibles, mais sans rapport réel avec eux. sorte de néant qui est le but dernier des aspirations à la béatitude. Quant aux alexandrins, nous avons dit souvcntqu'ils avaient une tendance A tout confondre, à voir tout dans tout. Il y avait intérêt pour eux à ranger un homme tel qu'Empédocle dans la série de leurs divins sages.

(2) Aristote, Métaphysiqve. l, 5.

Ce môme Âlcméon enseignait Timmortalité de l^âme ; il la prouvait par le mouvement éternel , qu'il attribuait à Tessence spirituelle, aussi bien qu'aux autres choses divines , au soleil , à la lune, aux astres, au ciel tout entier (1); et il définissait Tâme elle-même par cette éternelle et propre mobilité (2).

II. Si le rapport essentiel des pythagoriciens et des éléates consiste dans l'emploi commun d'une méthode rationnelle ou idéaliste, leur différence essentielle tient à ce que les philosophes d'Élée bâtissent dans le champ de l'esprit pur, et, pour éviter la contradiction, détruisent le monde en niant la pluralité ; au lieu que les mathématiciens se contentent d'appliquer la méthode au monde des phénomènes, et se proposent de l'expliquer tel qu'il est. C'est alors que le dualisme vient s'imposer à eux ; ils le trouvent nécessaire, ils déterminent sa nature, ils le réduisent en science, et deviennent ainsi les fondateurs de la philosophie naturelle, que ceux d'Élée reléguaient dans le domaine de lillusion. N'oublions pas que les mathématiques furent le point de départ des pythagoriciens, et cette remarque, qui est la clef de toute leur doctrine, nous apprendra d'abord comment le dualisme leur sembla inévitable et comment ils le déterminèrent. D'abord VUniié et la Multiplicité durent leur apparaître comme une première opposition, sans laquelle il n'y a ni arithmétique, ni géométrie^ ni science en général. Ensuite, portant leur attention sur l'essence de la figure, qui, en tant que représentant l'étendue limitée, est d'une extrême importance à l'origine des idées, ils parvinrent du premier coup à un aperçu d'une grande profondeur : ils virent en effet que ce qui constitue la possibilité de la connaissance géométrique, c'est la Limite^ qui détermine l'objet à connaître, ou en d'autres termes le Fini et le rapport numérique ou Nombre, qui exprime la distance des lignes ou des points lim tants. Au contraire, le contenu de la figure, l'intervalle, soit superficiel, soit linéaire, soit de triple dimension, leur parut infiniment divisible, impossible à connaître en lui-même et impossible à résoudre en éléments ; ils le nommèrent Infini. Ensuite ils remarquèrent que l'infini est Pair de sa nature, puisque l'étendue peut toujours se

(1) Id., de Anima, i, 2.

(2) Siobée, Eclogee physicof, p. 93.

diviser et se subdiviser par deux, et que la limite est Impaire, puisqu'elle est une et indivisible en tant que limite (1 ). Enfm, rUnité et la Dualité leur paraissant résumer l'opposition de la Limite et de rinfîni^ de Tlmpair et du Pair, ils donnèrent au nombre deux une importance prédominante, et opposèrent la série entière des nombres pairs à la série des nombres impairs. A ces trois couples de principes empruntés aux mathématiques on peut encore en ajouter deux, qui ont le même caractère : ce sont le Rectiligne et le Courbe , le Carré et VHétéromèque, La ligne droite doit évidemment la place qu'elle occupe ici à son caractère d'unité et de fixité entre deux points donnés, par lesquels on peut, au contraire, faire passer une infinité de courbes. En d'autres termes, la courbe varie à chaque point de son cours par rapport à la tangente menée par ce point, au lieu que la droite se confond toujours avec la sienne. Quant au carré, le rapport de ses côtés est invariable, au lieu qu'il existe une infinité à'hétéromèques (2) tous différents entre eux. Un caractère important et lumineux de ce principe, sur lequel insistait l'école pythagoricienne, et qui avait son origine dans une découverte sur la théorie des nombres , c'est que la série des impairs donne, par l'addition, la série des carrés, et que la série des pairs donne de même la série des hétéromèques.

(1) Si Ton n'attachait aa mot impair que sa signification purement numérique, on ne s'expliquerait pas comment les pythagoriciens pouvaient dire : u L'impair n'est pas produit, mais c'est évidemment le pair» (Aristote, Métapk,, xiv, 4), tandis que tout nombre était certainement regardé par eux comme U9 produit de l'unité. (V. le même Aristote, ibid., xiv, 3.) Mais l'importance excessive qu'ils donnaient au diviseur deux^ à l'exclusion de tout diviseur impair, devait naturellement leur faire envisager l'impair comme un symbole secondaire de l'unité, le pair étant symbole de dualité, et la dualité résumant en quelque sorte la multiplicité.

(2) Nous conservons ce mot grec faute d'un équivalent assez court. Il s'agit d'un rectangle tel que l'un de ses côtés surpasse son adjacent d'une seule unité de longueur, ou, arithmétiquement parlant, d'un nombre produit de deux facteurs différents d'une unité. Nous appuyons cette interprétation sur une définition expresse donnée par Jamblique (in Arithmet. Nicom,, p. 106), sur le sens entier du chapitre où elle est contenue, et sur d'autres nombreux passages où l'hétéromèque est toujours pris pour un rectangle. (V, surtout Aristote, Phyêique, m, 4; et Simplicius, PAy.?., m, Comm. 26.) Les traducteurs d'Aristote ont fixé arbitrairement le sens de ce mot. M. Cousin (trad. du I*' liv. de la Métaphyêiqué) le rend par toute figure à côtés inégaux ; MM. Pierron et Zévort, par quadrilatère irrégulier. Saint Thomas, auquel ces derniers n'opposent que des raisons vagues, avait compris qu'il s'agit d'un rectangle.

f 86 MANUEL

Mais c'est surtout géométriquement que les pythagoriciens envisageaient là construction de ces deux séries. Ils t^açaiedt un carré ; puis, par l'addition des gnomons^ ainsi nommaient-ils cette opération; ils disposaient autour de ce carré, et sur deux de ëes côtés, trois carrés égaux au premier, puis cinq autres carrés sUr deux des côtés du nouveau carré ainsi obtenu , etc., etc. Ils opéraient de même pour les rectatigles , et ils construisaient de la sorte leurs deux séries par la géométrie.

Voilà déjà cinq couples de contraires, tous ont un caractère mathématique. Il li'en est pas de même des cinq autres, auxquels les pythagoriciens se rattachaient daris leur étude de l'univers (4). Deux de ces derniers ont une signification physique : Lumière et TénèhreSy broite et Gauche (2), s'il est vrai que celui-ci revient â Oriefit et Occident, et, par conséquent, s'explique par l'autre. Oh comprend aisément l'analogie de la lumière avec les aulreâ tertnes supéHeurs du dualisme. Puis se présente une opposition, qui semble particulièrement physiologique , i/4le et Femelle, entre deux icrmes, dont l'un représente évidemment V Activité, l'authe la Passivité; peut-être aussi un pythagoricien aurait pu penser que l'importance des organes de la sensibilité chez la femme, èl cette ardeur irrégulière et sentimentale qui souvent la pousse à l'action, au mépris de tout calcul numérique, doit lui faire occuper dans l'humanité la place inférieure. Eitfin, nous terminerons cette énumération par le Repos et le Mouvement (qui s'accordent, comme on le verra plus tard, avec l'activité et la passivité, avec l'unité et l'infini] et par le Bien et le Mal, qui résument en quelque

(1) V. dans Aristote, Métaph., I, 5, cette liste des principes que quelques pythagoriciens tendaient à réduire à dix. Mais en dehors de ces dix il sVn trouve de signalés ailleurs qui servent à éclairer les autres, par exemple, Ordonné et Désordonné^ Connaissablc et Inconnu (Eudore dans Simplicius, Phys., i, ^\)yAciiJ' et Passif. (Philoiaûs, dans ^\.o\>é^^Eclog.phys., I, p. 44 ; et Archytas, ihid., p. 81.

(2) Ps-PIutarque, Op. desphilos. ^ ii, lU. La distinction faite par quelques pythagoriciens (Sextiis, Adversxis physicos. Il , 263) entre les contraires et les relatiTs réduit les termes droite et gauche à une simple relativité.

sorte la série entière, au moins quand on les considère dans le monde en général (1).

ni. On peut conclure de ce qui précède et de la nature dea préoccupations des pythagoriciens que le bon côté du dualisme dut être distingué dans leur école à la possibilité d'appliqilèr à Un objet donné les considérations numériques , d*y dévoiler uile toi; un ordre, une harmonie. Le mauvais côté dut être envisagé dailA a mati(ire désordonnée, irrégulière, infinie, absolument passive et par elle-même indéfinissable , qui est cependant le sujet nécessaire de Tapplication du nombre. En effet, PhilolaiiSi avant de rechercher la nature de Tâme, traitait des mesures i des poids et des nombres tels que la géométrie, la musique et l'arithmétique les présentent , et il prouvait ainsi que l'univers est constitué par ces trois choses (%). La nature et la vertu du nombre se reconnaissent, disait-il, non-seulement dans les choses qui émanent des dieux et des génies , mais encore dans les ouvrages des hommes, dans tous leurs discours et dans les œuvres de Tart (3) ; ou encore : le nombre est Tallié naturel de la vérité^ taudis que Terreur lui est hostile et odieuse (4) ; enfin il employait une expression sublime en disant que le nombre est cette chaîne toute-puissante et autogène qui constitue la permanence des choses du monde (5) , et , comme une prison dans laquelle l'unité divine a renfermé l'univers (6). S' élevant de ces prémisses, Phi-> ^olalis affirmait nettement que le nombre est la condition d'intelligibilité des choses ; que, sans lui, il n'est pas d'évidence et qu'il met en rapport l'essence des choses avec celle de l'âme (7) ; par conséquent , le critérium de la certitude lui semblait être la raison , non dans un sens général, mais la raison mathématique (8).

La même étude du monde amenait Archytas au même résultat.

(1) Aristote Ethica ad Niconiach.^ i, 4, appelle la première série la «tfrte du bien; et Ëudore, dans Simplicius, Pky»., i, 41, appelle la seconde, céîlé au inal, V. aussi Plutarque, de Isid. et osirid.^ 48.

(2) Claudien Mamert, de Statu aninut^ il, 3.

(3) Philolaùs, dans Stobée, Ecloga pkysicie.

(4) Id.,ibici.

(5) Id., dans J[amH)lque, in Arithmeticam Nicomachi, p. 109, éd. Tennulii.

(6) Id., dans Athénagurc, Apologicy p. 8, éd. H. Estienne.

(7) Id., dans Stobée, Êclog{e jyhysicoe .

(S) Sextus, Adversug logicoi, i, 92.

i88 MANUEL

Ce phiiosophe distinguait deux séries de choses dans Tunivers, Tune finie et ordonnée dans ses éléments , Tautre infinie et sans ordre ; l'une, propre à l'application de la parole et de la raison , soumise au nombre; Tautre, rebelle à leurs lois. A chacune de ces deux séries il faut un principe : le premier est actif et forme l'essence des choses, l'autre est la substance passive qui revêt cette essence. Et comme les contraires réclament un agencement et une copule, il faut s'adresser à la vertu du nombre , aux analogies , aux démonstrations de l'arithmétique et de la géométrie qui réalisent cette harmonie (4); Archytas parvenait de la sorte à un magnifique aperçu des sciences mathématiques : partant toujours de la considération générale des faits, il assignait la constance et l'immobilité pour partage à tout ce qui est intelligible ; à ce qui est sensible , au contraire , la mobilité, la variabilité. De là deux domaines : celui de V intelligence et celui de V opinion; dans le dernier^ la sensation est juge; dans le premier, c'est le cosmê (comme on dirait la raison de l'harmonie du monde). Mais c'est toujours l'intelligence qui découvre la loi d'une chose en s'appliquant soit à l'intelligible soit au sensible. Il résulte de là une double harmonie pour la loi qui, découverte dans le domaine intelligible , est susceptible d'une vérification par les sens : ainsi celui qui se livre aux considérations mécaniques met en usage les figures , les nombres , l'analogie , comme le veut l'intelligence ; mais les effets se rapportent aux sens , puisqu'ils se produisent dans la matière et par le mouvement. Et c'est pourquoi l'erreur est possible même en géométrie comme elle l'est dans la ph^'sique et dans la politique , quand on juge suivant l'apparence et la similitude. Enfin, après avoir déterminé ce qui juge, ce qui est jugé et la loi , il reste une dernière recherche à faire , c'est celle de la cause. Celle-ci ne vient qu'après , car personne na jamais su le pourquoi d'une chose avant de savoir ce qu'elle est (2). Ainsi , l'intelligence doit juger de la nature de chaque être ; puis la raison

(1) Archytas, De //rincipm, dans Stobée,£cZ.pAys.,p. 80.— Nous supprimons en résumant ce passage, un trait relatif à Dieu, qui se placera pins loin dans notr exposition, et une idée qui nous paraît en contradiction flagrante avec Tensenible du morceau : c'est celle qui consiste à attribuer au principe inférieur une sorte d'activité malfaisante.

(2) Consultez le mathématicien Descartes. Admirable coïncidence!

et la sensation jugent du pourquoi : la raison , quand nous en dé« montrons la nécessité ; les sens , quand nous les appelons en témoignage delà raison (1).

Si Ton se rappelle maintenant que c'est le nombre et plus généralement Fexplication mathématique qui caractérise la loi dans les choses, ou ce qui est intelligible en elles, on verra qu'Archytas devait, comme Philolaiis, imposer à la vérité le critérium mathématique. Il est probable, en effet , qu'il appliquait le mot mesure, mètre, aux procédés de l'intelligence, et qu1l comparait rintervention de l'esprit dans les choses à celle du nombre dans la grandeur en général, du pied dans la longueur , de la balance dans le poids (2), et à l'usage de la règle pour l'estimation de tout ce qui est droit (3). Ainsi la méthode pythagoricienne est bien déterminée par la pensée des deux grands hommes qui représentent cette école au cinquième siècle. Il nous reste à exposer la science telle qu'ils essayèrent de la constituer. Mais nous réunirons aux documents où ces philosophes sont nommés personnellement les plus sérieux et les plus anciens des témoignages qui se rapportent aux pythagoriciens désignés d'une manière générale et sans acception de personnes.

IV. Il faut d'abord prouver que le nombre est le principe des choses et déterminer le sens de cette vérité. Aucune des choses que nous connaissons ne peut être principe ; car elles sont toutes

(1) Archytas, de Principiis, ibid., p, 89. Beau fragment, dont nous n'avons modifié que l'ordre. Quiconque voudra lecon&idérer attentivement le trouvera tellement supérieur pour l'intelligence des sciences à tout ce que les anciens des diverses écoles ont écrit, qu'il sera pleinement convaincu de son authenticité, ad moins pour le fond.— Ajoutons comme propre à caractériser la méthode d'ArcIiytas cet axiome qui lui est nominalement attribué : u Celui qui juge bien du général doit aussi bien juger du particulier, comme s'il contemplait admirablement l'unité même. » (Jamblique, in Arilhm. Nicom., p. 6.)— Nous avons cru devoir traduire "ko-^éi^ tantôt par loi, tantôt par raison, suivant qu'il s'agit de la raison dans l'objet ou de la raison en nous ; mais il faut se rappeler que les pythagoriciens confondent les deux choses.

(2) Nombre f étendue^ impulsion ou poids, c'est à ces trois choses qn'Archytns, comme les mathématiciens de notre temps, ramenait la science, si du moins nous interprétons bien ce passage (dans Siinplicius, Catég., p. 32) : u Trois genres dans le quantum : le prt-mier dans l'impulsion, comme la balance; le second dans la grandeur, comme la double coudée ; le troisième dans la pluralité, comme la décade. »

(3) Archytas, de Sensu et mente; dans Stobée, Ed. phys.^ p. 92. Nous n'employonsque cepassage d'un fragment qui est visiblement mélangé d'aristotélisme.

infinies (i). D'ailleurs, serait-ce un physicien que celui qui prendrait un phénomène pour principe de l'univers (2)? Tout phénomène est composé ; les éléments desquels se compose le phénomène doivent donc être simples ; ils ne peuvent donc être des corps, car tout ce qui a corps doit avoir aussi longueur, largeur, épaisseur et faculté de résister, ou poids ; ils sont donc incorporels. Mais le nombre est encore antérieur à tout être incorporel , puisqu'il peut y être contemplé (3). Ainsi, en divisant philosophiquement un tout, en l'analysant, de même qu'on décomposerait un discours en mots, syllabes et lettres, on trouve sous le solide la surface, sous la surface la ligne ; puis on voit que les lignes et les Ggures ne peuvent être comprises que par le nombre, la ligne simple par 2, le triangle par 3, etc. ËnBn les nombres eux-mêmes se ramènent à l'unité (4). En général les choses de la nature paraissent formées à V imitation ou à la ressemblance des nombres, comme le prouve l'ordre mathématique de l'univers ; et les nombres élant par leur nature antérieurs aux choses, il s'ensuit que les éléments des nombres sont aussi les éléments des êtres, et que le ciel, dans son ensemble, est un nombre et une harmonie (5).

On voit comment les pythagoriciens dépassèrent le but dans leur admirable effort pour atteindre à l'intelligence du monde. Obéissant comme les philosophes empiriques eux-mêmes à cette habitude que nous avons reconnue aux esprits jeunes d'objectiver leurs connaissances, ils confondirent le réel avec l'idéal. Us voulurent définir f ainsi que le dit si bien Aristote ; mais ils regardèrent la définition comme lessence même de la chose définie et le nombre comme l'essence de toutes choses ; et ils prirent Vinfinité en soi et V unité en soi pour la nature des êtres à qui ils attribuaient l'infinité ou l'unité (6). Mais comme les Pythagoriciens

(1) Philolaûs, dans Jamblic, in Aritk.Nicom., p. 7. Infinies comme sensibles et sujettes à l'étendue et au mouvement. Il faut se rappeler la signification pytha!;oricienne du mot infini exposée ci-de«sus, n*> 2.

(2) Sextus, Adv. phys., ii, 249. (Sur les pythagoriciens en général.)

(3) Id., Hypoty poses, m, 152.

(4) Id., Adv. phys.y il, 249-262. Ce passage est mêlé d'une réfutation pylhaguricienne des doctrines postérieures. Nous avons cru devoir cependant en conserver l'esprit général. Cf. Modératus, ap. Porph., Vit, Pythag., "18.

(5) Aristote, Métaph., i, 5 et 6.

(6) Id.,ibid., 5. Cette confusion du réel et de l'idéal, disons mieux, de l'objec-'

ramenaient le nombre à Tunité , et que Tunité est certainement ' le caractère essentiel de l'être envisagé simplement et hors de toute relation, l'erreur relevée par Âristote ne les empocha pas de construire un système du monde fort supérieur à la plupart des systèmes qui suivirent : et le grand défaut de leur doctrine , comme au surplus de presque toute la philosophie antique, -fut seulement de n'avoir pas son fondement dans un nouveau dualisme qui Teût transformée : celui de l'esprit et de l'univers.

V. Les pythagoriciens admettaient donc que les êtres viennent des nombres et que les nombres viennent de l'unité. L'unité préexistait, disaientrils ; mais aussitôt elle fut entraînée vers l'infini, et alors l'infini fut borné par une limite (4). Expliquons cette genèse : L'Un, fondement do monde, et le monde sont une seule et même chose (2) ; c'est l'être simple, l'être en lui-même, indivis sans distinction et encore sans phénomènes ; c'est dans son état primitif le fini de Philolaiis (3) et la limite que donne la table pythagoricienne des contraires {i). Mais cette unité finie est entourée de l'immensité de l'infini, puisque le principe inférieur, sans lequel le monde est inexplicable, doit préexister comme elle. C'est quand s'accomplit le développement du fini dans l'infini que le monde arrive à la naissance. Le ciel se forme en respirant le vide, il se dilate en lui ; une disjonction s'opère, les natures se séparent et se disséminent, les intervalles s*élablia* sent, et le vide constitue ces intervalles entre les êtres comme il les forme d'abord entre les nombres successifs (5). Ainsi naît

tir et du subjectif, est bien sensible dans le beau passage d'Ârchytas (ci- dessus, n" 3) , où la loi dans la chose est désignée par le même nom que la raison dans l'homme.

(1) âristote, Métaph.y XTf, 3.

(2) Théon de Smyrne, Mathém. platon-, c. 4, d'après Archytap et Philo^aûs. Aristote dit bien que les nombres des pythagoriciens ne sont pas composés de traies monades {Méi.^ ziv, 6); mais la raisoQ qu'il donne de son assertion, c'est que les monades ont de la grandeur. Il ne fait donc qu'une supposition fondée sur ses propres idées.

(3) Philolaiis, dans Stobée, Ed. phys.y i, p. ^9 : " Il est inécessajre que toutes

les choses qui sont soient finies et infinies, seulement infinies, pas toujours

11 est évident que le monde et ses parties sont de l'un et de l'autre... car du fini, le fini ; et du fini et de l'infini, le fini et l'infini ; et de l'infini, l'infini. »

(4) Aristote, MéLy i, 5.

(5) Id.i PAys., IV, 6,

rélendue, ce vide dans lequel et duquel le monde respire (4) ; ainsi naît le temps, cette sphère qui enveloppe tout (2) aussi bien que l'espace, le temps , cette âme du monde , cet intervalle de la nature (3) ; et au ciel, qui est un , viennent s'ajouter ainsi de la part de rinfini le temps, le vide et la respiration (4).

Mais la genèse pythagoricienne n'est pas Fhistoire de la réalité, c'est seulement une conception logique du monde. Que l'infini s'interpose dans le fini et le divise, comme nous venons de le voir, que par le fini l'infini lui-même se partage et se limite (5), ce n'est pas là un événement qui ait pu survenir au monde à un instant donné ; car le monde, exempt de corruption et de malheur, n'a, ni en lui, ni hors de lui, un principe plus puissant que lui-même, et de tout âge il était, et il durera de même (6). Seulement une nécessité s'impose au penseur, c'est celle de concevoir une cause qui élève le principe substantiel et passif à une forme, à une essence, que, sans cette cause, il ne pourrait revêtir. Cettecause, force première et au-dessus de toutes, c'est Dieu (7), c'est Tunité supérieure et toute-puissante, qui naît avec l'unité du monde et qui la gou^ verne (8) ; c'est le directeur et le chef de toutes choses, toujours subsiétunt, stable, immobile, semblable à lui-même et difiérentde tout le reste (9) ; c'est enfin sous un point de vue nouveau ce que les pythagoriciens appelaient ÏUn principe de toutes choses (\0)* Ainsi, dit encore Philolaiis, le monde un et continu pos^ède un principe de mouvement et de variété, pénétré qu'il est et parcouru par le souffle, entouré et dirigé par son chef. Une de ses maniè-^ res d'être est immobile, une autre est changeante... £t comme le moteur prolonge son évolution d'âge en âge, tandis que le mû est t«l que le moteur le pousse et le fait être, il faut que l'un meuve

(1) Ps^l*Iatarque, Opin. des phiîos.y ti, 9.

(2) Id., ibid., i, 21 ; et Stobée, Bel. phys.j ly p. 19.

(3) Archytas, dans Simplicius, Phys., iv, 93; Cf. Platarqne, Quest. pîaion,

(4) Aristote, de la Philos, pythag., dans Stobée, Eclog. phys.y i, p. 38.

(5) Id., Pkys.y III, 5; el Mélaph.y xiv, 3.

(h) Philolatts, dans Stobée, Bclog. phys.y p. 44.

(7) Archytas, dans Stobée, Eclog. pkys., p. 81.

(8) Philolaiis, dans Stobée, Eclog. phys., p. 44.

(9) Id., dans Philon, de Mundi opificio, 20.

(10) PhilolaÛs, dans Jamblic, in Arithm. Nicom., p. 109. V., pour la distinction des deux unités, Eudore, dans Simplic, Phys.^ i, 41.

toujours et que toujours Tautre soit passif. A l'âme et à l'intelligence le premier rôle, le second à la génération et au changement... et le troisième résulte des deux premiers, parce que sans cesse Dieu marche et le monde change. De sorte que Ton peut appeler le monde un acte éternel de Dieu et de la genèse suivant la série de la muable nature (4). En résumé, l'univers peut être considéré, suivant la doctrine pythagoricienne, comme un progrès en acte, résultat éternel de l'incarnation divine. Ce progrès, c'est l'envahissement du principe inférieur par le supérieur ; mais le développement, la vie, l'intelligence même, ne pouvant se comprendre qu'à la condition du dualisme , il est clair que Dieu ne peut réaliser le bien absolu. Le mal en effet est, comme l'infini» opposé à la limitation, qui naît de la force divine : c'est le passif et l'inerte opposé à Taction , le variable au constant, et même le multiple à l'un. Le mal est donc nécessaire ; aussi cette conséquence d'une admirable doctrine a été vivement reprochée aux pythago^ ricîens par des philosophes qui faisaient de Dieu un étranger dans le monde, de peur que leur premier principe ne fût pas le bien suprême (2).

YL On voit comment les deux termes du dualisme pylhagori-* cien sont uni^ par la puissance éternellement efficiente. D'une part est le fini, ou l'être devenu multiple en aspirant rin*» fini; d'autre part l'infini, qui, sans essence propre, manifeste celle du fini dans le temps et dans l'espace et se limite lui-même en le pénétrant; et entre eux le moteur immuable qui préside aux lois de l'accord et du développement. Qu'est-ce que la chose mue? Elle n'est pas, puisqu'elle change. Qu'est-ce que le mouvement? Une cause, il est vrai, mais un infini, un non-être, puisqu'il de^ vient et par conséquent n'est pas (3). Il n'y a donc de réel au monde que le moteur, que Tintelllgence et que les lois qui régissent l'harmonie du fini et de l'infini. Aussi ces lois représententelles l'influence de l'immobilité divine sur la nature. Il nous appartient de les explorer et de les décrire, bien que très-imparfaitement, puisque l'essence lumineuse des choses et la nature

(1) Philolaiis, dans Stobée, Eclog. phys., p. 44.

(2) Âristote, Met., xii, 7 ; et Théophraste, Aléi.f 9.

(3) Eudème, dans Simplicius.

en soi ne peuvent être connues que de Dieu. A nous l'ombre (4 ]. Puisque Iharmonie doit s'accomplir entre les principes contraires, il faut que celui qui veut contempler cette harmonie cesse de considérer l'infini en lui-même ou la limite en ellemême, la pluralité d'un côté, l'unité de l'autre. Telle est la grai|()e idée renfermée dans les symboles l^s plus célèbres et les plus généraux des pythagoriciens : Ip quaternaire et la décade. Développons cette idée. D'abord, si nous partons de l'unité pour fprmerle nombre, le nombre nous parait infini, car l'unité peut indéfiniment s'ajouter (2\ Mais si nous prenons un point d'arrêt dans l'intervalle, nous verrons se former des unités en quelque sojrte secon^r daires. Ainsi deux représente déjà l'mfini, comme étant le premier signe qui se présente à nous delà multiplicité et de l'intervalle; mais trois qui est la somme d'un et de deux , du premier impair et du premier pair, qui ne peut se partager et qui exprime en général tout ensemble limité ayant commencement, milieu et fin, trois, dison&^nous, peut être regardé comme une nopvelle unité. P^r exem* pie, avec deux points on a une ligne droite iqfinie, mais avec trois points on a une figure limitée, le triangle. De même que le premier [yalr et le premier impair composent la triade, de même aussi les deux premiers impairs, un et trois^ composent le quaternaire et le premier carré. Enfin la somme des quatre premiers nombres forme la décade, qui est la grande et décisive unité de la nature^ dont le quaternaire n'est que l'abrégé (3). Il est maintenant aisé de com* prendre la dénomination de pair-impair, attribuée par les pytha^ goriciens à l'unité. Ce mot représente l'unité naturelle, celle qui résulte de Tharmonie du fini à l'infini , et qui ei>t à pontemplcr dans les composés (4). Il ne pourrait évi()emment s'appliquer à l'unité en elle-même, mais le pair^'impair doit plutôt correspondre

(1) PhiIola(is, dans Stobée^ Éclog.physky i.

(2) Pbilopon, in Melaph.^ fol. 65, A.

(3) Lea conapilateun abondent en détaili de ce genre. Ajoutons encore aut unités mentionnées dans le texte la grande tétrade^ 36, nombre obtenu par la somme des 4 premiers pairs et des 4 premiers impairs (V. Plutarque^ Création de Vâme et les Opinions çjles philosophes, ï, 3}.

(4) La décade, dit Théon de Smyrne {Platon Mathem., c. 49), termine et accomplit le nombre ; elle renferme en soi toute la nature, le pair et Timpair, le mobile et l'immobile, le mauvais et le bon. Archytas, sur la Décade , et P}ii|olaûs, sur la Nature, en ont beaucoup parlé. —Tel C9t le «uns de TMiiité paire-

à ce t}ue nous appellerions aujourd'hui plus voloutiers Vun-mul^ tipk. De là vient Tadorat ion des pythagoriciens pour des premier^ notnbres, qui embrassent dans leur simplicité tant de symboles importants, quelquefois sublimes, et dont lespril humain n'a pas encore pénétré tous les secrets; ils les regardaient comme des emblèmes de la nature ^ comme des formules dans lesquelles il fallait chercher à la renfermer. Cette idée doit nous faire trouver une grande beauté dans le fameux serment pythagoricien, quia été partout reproduit y

Non, par celai qui a doué notre race dii quaternaire^ Source et racine de l'intarissable nature (1),

et nous faire comprendre la vive expression de Tenlbousiasme de Philolaiis, qui loue la décade d'être grande, d'être accomplie, d'être toute œuvre, à la fois principe et directrice de la vie divine, de la vie céleste et de celle de l'homme (2).

VIL Nous arrivons enfin à l'étude de la composition et de l'ordre de la nature. La nature est constituée par les nombres, ainsi que nous l'avons.dit^ et les nombres par l'iinilé. Sous ce point de vue, on peut définir le nombre : Acte et développement des raisons séminales contenues dans luniié (3) . La genèse que nous avoiis exposée nous explique cette idée. On voit donc que ni l'unité ni le nombre n'ont rien d'abstrait (4) , ainsi que les historiens du pythagorisme l'ont reconnu ; ils sont à la fois matière et cause efficiente des êtres, quand on emploie avec ces mêmes historiens les mots favoris des écoles postérieures; ce sont eux qui déterminent leurs modifications ou leur manière d'être (5). En d'autres termes , rien ne peut avoir de qualité sensible ni intelligible qii'à la suite et à la faveur d'une composition numérique, ce qui fait dire à Âristote que les pythagoriciens semblent parler d'une autre terre et d'un autre ciel que les nôtres, quand ils disent que ce qui est pesant ou léger provient de ce qui n'a ni pesanteur ni légèreté,

impaire, mentionnée par Aristote, Mélaph,^ i, 5. Le comirentateur Alexandre, Métaph.y i, 32, donna une raison puérile de cette dénominution.

(1) Porphyre et Jamblique, Vies de Pythagore; et, avec diverses variantes, tous les Compilateurs. Y. aussi vers dorésy 47, 48.

(2) Philolaiis, dans Stobée, Bel. phys.

(3) Pythagore, dans Jamblic, in Arilhm. Nicom.^ p. 11.

(4) Aristoie, Phyt., m, 4.

\h) Aristote, Met., i, 6 ; et Alejcandre, in Melaph,, xiv, 3.

et que si les nombres ne sont pas séparés des êtres sensibles, c*est qu'il n*y a rien de plus en ceux-ci que le nombre (1). Cependant les monades possèdent la grandeur ; et il faut bien que les pythagoriciens leur attribuent cette propriété générale pour qu'elles puissentse développer en nombres, suivant l'esprit de la genèse, et pour que chacune d'elles, ou au moins l'unité primitive, devienne une multiplicité de monades (2). Aussi Aristote réduit-il sa difficulté sur ce point à savoir comment l'unité première peut avoir une grandeur (3) ; c'est demander pourquoi l'Un est multiple. La grandeur de la monade n'a d'ailleurs rien de commun avec l'étendue ; l'étendue, c'est l'intervalle, c'est l'infini, suivant le dualisme pythagoricien.

Si l'essence de la monade est ainsi réduite à celle de l'unité numérique, ou plutôt celle-ci à la première, puisqu'il n'y a pas d'abstraction dans la nature, mais seulement des êtres, de même l'essence de l'infini, c'est l'infini lui-même, que l'on peut appeler vide, ou même corps, pourvu qu'on n'entende rien de semblable au corps résistant que les sens nous révèlent, et que la mécanique d'Archytas caractérise par Vantitypie, La preuve que l'idée de corps a été entendue quelquefois dans le sens général et indéterminé d'espace ou d'infini , c'est que certains pythagoriciens appelaient le vide la matière des corps (4). Il n'est donc pas étonnant qu'Archytas ait lui-môme employé ce mot corps pour prouver l'existence de l'infini autour du monde. Voici cette belle démonstration, toujours invoquée depuis parce qu'elle est fondée sur une idée éminemment naturelle, et à laquelle nul ne peut échapper. Vous niez l'existence d'un corps infini au delà du ciel ; transportez-vous alors à la limite des corps, et dites-moi si vous pourrez étendre le bras plus loin? Non. Cela paraît absurde. Oui. L'infini existe donc ; car cette question peut se faire à quelque limite que vous soyez tenté de vous arrêter (5).

(1) Aristote, Mét.^ xiv, 3.

12) a Quelques pythagoriciens appelaient le nombre un déploiement sorti de l'unité par le fait de sa grandeur : icpoico<^i<riiLÔy iich |&oy&$o( |ji(fi6ti aùx^ç » (Jamblic, in Ariihm. Nicom.y p. II.)

(3) Aristote, Met.^ xiii, 6.

(4) Aristote, Phys.y iv, 7.

(5) Archytas, cité par Eudème, dans Simplicius, Phys., ii , 32« Les raisons

En résumé) le monde, fait de monades, est devenu'nombre à la suite de la division de Tunité première : le monde pénétré par rinfini et limitant Tinfini, l'infini dans le monde, Tinâni hors du monde, voilà d'où nous partons.

D'abord si la monade est envisagée comme simple unité, on a par Topposition de la dualité la série des nombres et la science arithmétique ; si elle est envisagée comme point limité, on a, par l'opposition de l'infini, les figures et la géométrie. Ainsi, de la monade le point ; des points les lignes, les surfaces et les solides : deux points déterminent une ligne droite, trois points une surface plane, quatre points un volume ou solide. Le solide peut être aussi regardé comme engendré par la surface, la surface par la ligne et la ligne par le point. On voit que le nombre quatre renferme la géométrie, de même qu'il renferme, ou en soi, ou par dix qui en est le développement, toute l'arithmétique. En effet, parvenu à dix, le compteur s'arrête et part comme d'une nouvelle unité (i). Ce sont là les deux premières branches des mathématiques. L'école pythagoricienne en comptait deux autres : la mitsique et la sphérique, intimement unies aux deux premières (2). La musique soumet au calcul les intervalles des sons^ comme la géométrie ceux des points ; et la sphérique ajoute à la géométrie le mouve-> ment, mais le mouvement dans ce qu'il a de régulier et d'ordonné ; on voit qu'il s'agit de l'astronomie.

VIII. Les anciens ne nous ont à peu près transmis de l'arithmétique pythagoricienne que des symboles sur les nombres; encore est-ce confusément et mêlés à ceux que les commentateurs avaient imaginés à l'imitation des plus anciens et des plus significatifs. Mais il est permis de penser aujourd'hui que les pythagoriciens connaissaient Varithmétiqm de position (3) ; ils exprimaient les

que nous venons d'exposer nous ont décidé à retrancher de cet argument une distinction entre le lieu et le corps^ distinction sans doute ajoutée à l'argument par Eudème, qui voulait s'en approprier ainsi plus facilement l'intelligence sans rejeter le mot corps de la démonstration.

(1) Arîstote, Métaphysique, xiv, 3; Sextus, Adversus physicos^ ii, 259, sqq. ; Plutarqiie, Diogène, etc., etc.

(2) Archytas, dans Jamblique, in Arilhmeticam Nicomachi, p. 9. Un grand géomètre anglais, Barrow, crut voir dans la tétrade un symbole des quatre parties des mathématiques. (Montucla, HisL. des math., I, p. 121.) Cette idée n'est puérile qu'en ce qu'elle a d'étroit ou d'exclusif.

(3) Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le flèrHoppemmt des méthodes

neuf premiers nonibres nu moyen de signes spéciaux^ qdi riSus sont parvenus en traversant Tantiquité et le moyeh âge; et c|oe nous désignons à tort sous le nom de chiffres arabes; et ils employaient, pour exécuter les calculs numériques, une table di** visée en plusieurs colonnes , dont chacune était destinée à Renfermer les unités d'un ordre déterminé. Sdr bette table, qu'on traçait ordinairement sur le sable, les nombhes prenaient ainsi ' une valeur de position selon la colonne dans laquelle ils étaient tracés; (et le zéro, qui n'était d'abord qu'une place demeurée vide, prit peut-être la forme que nous lui connaissons, quand* pour simplifier la notation , on cessa d'indic|uer la colonne dans tout autre cas que celui où elle devait detneurer vide). Telle est donc , selon toute apparence, la célèbre table de Pythagore, souvent réduite assez puérilement à une t^ble de multiplication, qui n'est ni nécessaire, ni tnèmë utile aux mathématiciens. Si les géomètres ou philosophes anciens n'ont fait, jusqu'à Boece, aucune mention de la méthode pythagoricienne de calculer, c'est apparemment parce que cette méthode, essentiellement pratique, se t^ouve sans relations directes avec la doctrine des nombres», qui était surtout l'objet de l'étude dès pythagoriciens, et avec la géométrie, que cultivaient les autres écoles. Les pythagoriciens accordaient aux nombres entiers, aux nombres les plus simples et à leurs propriétés ou significations symboliques une attention toute spéciale; et ils avaient une tendance anticipée à ne reconnaître que ces mômes nombres dans la nature , à l'exclusion de tous les rapports d'une détermination plus difficile. Dans celte vue, ils construisirent une théorie des nombres ou du moins diverses classifications, que nos progrès en ce genre de recherches ne nous permettent pas encore absolument de dédaigner (1).

<»n géométrie, p. 4l4, 467 et 557, Consulter les savants mémoires {Comptes rendus de V Académie des Sciences) dans lesquels ce proFond historien des mathématiques a développé, relativement à rorigine de l'arithmétique moderne, line hypothèse fondée sur l'interprétation d'un passage de Boëcc et vérifiée par de nombreux manuscrits des dixième et onzième siècles.

il) L'arithmétique de Nicomaque nous donne une classification des nombres qu'on peut consulter réduite en tableau dans les notes de Samuel Tennulius sur le Commentaire de Jambliquc, p. 68. Outre les nombres pairs et impaire, on y trouve les nombres premiers, ^bit d'une manière absolue, soit premiers avec d'autres, les nombres parfaits, abondants ou déficients^ ainsi nommés sut-

Là géométrie prit \ïm face nou telle dans Técote pf tliB^orw cienne par suite de rapplicatidn des lois dès nombres à la figare et à rétendue. Ce fut le premier grand pas dans cette carrière du géiiie^ où l'analyse platonicienne marqua le second, la géométrie de Descartes le troisième , Talgorithme de Leibniz le quatrième, et Jusqu'à lions le dernier. Dans cette recherche persévérante des lois^ le génie pythagoricien découvrit les cinq solides réguliers de la géométrie, la propriété t]u'ont certaines figures ^ le cercle et la sphère, d'einbrasser â péhimètre égal la plus grande éten^ due, là célèbre relation entre les carrés des côtés du triangle rectangle^ que nous avons déjà rapportée, suivant la tradition^ à Pythagore lui-même , enfin rincommensurabllité de cerlëiries H- 'gnest telles que le côté et la diagorlalé d'un carré. Cette dernière découverte était en quelque sorte une première protestation de Yobjet de Isi science contre un ordre trop simple auquel l'effort subjectif des premiers géomètres abrait voulu le réduire. Cet ihfitii, que l'école pythagoricienne avait en vëin rejeté hors de ses lois, niais qu'elle Savait bien exister nécessairement dans le nofaft* brë etdanâ l'éteîidué, betinBnt devait faire durant de longs siècleti le tourment des géomètres. Leur unique préoccupation fut d'élu^ der une face de la connaissance qu'ils ne se sentaient pias la force de soumettre directement à leuhs spéculations. Seuls, les modernes ont calculé l'inBni. Ils ont fait appairaftre enfin dans le con«> tiuu ) qui est de l'essence de la quantité, cet ordre mathématique autrefois réduit par les pythagoriciens ait nombre discret, c'està-dire à certains intervalles déterminés des monades, que sépare les unes des autres un vide impossible à Combler (1).