SCIENCES SÉPARÉES DE LA PHILOSOPHIE

I. Toutes les sciences sont unies dans la sagesse antique ; elles sont unies encore dans les systèmes de philosophie de la première période, enfin chez les sophistes qui visent à un savoir universel et se font fort d'enseigner tout ce qu'ils savent. Les premières sciences séparées doivent être, ainsi que nous l'avons dit (4), les sciences rationnelles : la géométrie d'abord ; puis l'astronomie , celle des sciences physiques dont l'objet est le plus déterminé, la méthode la plus invariable et qui n'exige que les observations les plus simples. Cependant l'astronomie participe toujours de l'incertitude attachée à toute spéculation qui sort de la pensée pour s'appliquer à la nature, pour s'y étendre, en quelque sorte, et s'y vérifier. Dès le milieu du cinquième siècle avant notre ère, on cite des géomètres à qui nulle philosophie n'est attribuée, de purs géomètres par conséquent; peu après,

(1) Voyez liv. n, § 3, n° 13, sqq. ; et liv. xv, § 1, n°« 6 et 8.

on cite de purs astronomes. Mais, tandis que la géométrie se fixe dès lors définitivement, loin des yeux du vulgaire, l'astronomie hypothétique varie, et ses meilleures doctrines n'acquièrent que tardivement et imparfaitement quelque autorité sur le peuple, qu'elles intéressent davantage. Ainsi, après Thaïes et Anaximandre, on voit Anaximène,Xénophane, Heraclite, Empédocleet les pythagoriciens imaginer des systèmes très-divers. La théorie des éclipses, par exemple, qu'on pourrait s'étonner de trouver encore livrée aux incertitudes après l'époque où l'idée de la matérialité et des occultations des astres eut été émise, avait de grandes difficultés à surmonter pour se constituer, de telle manière que chacun de ces phénomènes pût être expliqué, calculé et prédit. Pour l 1 éclipse de lune, on ignora long-temps l'inclinaison de l'orbite lunaire et le mouvement des nœuds; et, lorsqu'ils eurent été découverts, l'éclipsé horizontale embarrassa les astronomes, qui no tenaient pas compte delà réfraction atmosphérique. Four l'éclipsé solaire, après que la sphéricité de la terre eut été reconnue, on demeura privé de notions suffisamment exactes sur sa grandeur, sur la parallaxe du soleil et sur les distances de cet astre à la terre et à la lune (4). Les corps célestes obscurs des pythagoriciens, et même à la rigueur les roues tournantes d'Anaximandre, demeuraient donc toujours possibles» D'un autre côté, les superstitions populaires des anciens, superstitions qui se retrouvent à l'origine de tous les peuples, persistaient avec ténacité. La terreur et la désolation causées par celte mort de l'astre du jour à laquelle croyait le vieil Homère (2), et vivement exprimées par les plus anciens poètes grecs, Mimnerme, Archiloque, Stésichore et Pindare (3), la croyance au pouvoir surnaturel des magiciennes de la Thessalie (4) et à la descente des dieux

(1) Ces difficultés, dont les historiens n'ont pas tenu compte, ont été signalées par M. Letronne, Journal des Savants, juillet 1838, p. 425 et 438. — Nous empruntons les détails qui suivent au même mémoire. On verra dans le cours de ce chapitre que nous mettons à profit d'autres travaux encore de ce savant, le plus exact et le plus pénétrant des successeurs que la France a donnés à Fréret.

(2) Iliade, vi, 60; xvin, 290 ; et Odyssée, XX, 357 , passages recueillis par M. Letronne : « f,aio; Si Uaie6*wXi, » est-il dit dans le dernier.

(3) Plutarque, de la Face de la lune, 19.

(4J Aristophane, Nuées, v. 748 ; et Platon, Gorgias, p. 377.

h. sa

du ciel (4); enfin, l'usage de conjurer le désastre en troublant par un grand bruit l'opération magique (2) résistèrent durant le cours de l'antiquité à tous les efforts de la science. Les hommes les plus éclairés conservèrent, môme en Grèce , jusqu'au siècle de Platon , la foi dans le caractère merveilleux des éclipses de soleil. Hérodote s'exprime, en plusieurs lieux de son Histoire, comme s'il n'avait aucune idée de la cause de ces phénomènes (3). Thucydide les considère comme des signes de la colère divine; les éclipses lunaires lui semblent cependant plu3 naturelles et moins effrayantes (4).

Anaxagore professa des doctrines nouvelles ; il fut persécuté ; et l'astronomie devint populaire. Après loi Platon contribua puissamment à répandre la croyance de la sphéricité de la terre, et de la vertu des lois mathématiques dans l'univers. Eudoxe en6n, disciple de Platon , petit être regardé comme le premier auteur de la séparation définitive de l'astronomie d'avec la science générale. Cette séparation se consolida bientôt dans l'école mathématique d'Alexandrie, qui, te première, fonda réellement l'étude des astres Sur l'observation. La même école, mais plus tard, porta l'optique et l'acoustique à toute là perfection que ces deux sciences purent obtenir dans l'antiquité. Enfin, durant le plus beau siècle de cette première doctrine alexandrine , si différente de la seconde , au temps d'Eratosthène et d'Apollonius, entre le siècle d'Eudoxe et le siècle d'Hipparque, le grand Archimède créait la mécanique rationnelle, et donnait tte nouveaux développements à la géométrie, sur la dernière Wrre pythagoricienne que Rome allait bientôt soumettre. Un imposant corps de science fut ainsi légué aux siè-

(1) Ménandre, dans Pline, xxx, 2; Virgile, Eglogues, vm, 69; Tibulle, Horace, etc.

(2) 11 en est encore question au cinquième siècle, dans les homélies de Maxime tle Turin.

1S) Clio, 74; Poîyihnie, 37 ; Calliope, 10.

(4) Histoire, I, 23; II, 28. — Alexandre, quelques Jours avant Àrbèles> à l'occasion d'une éclipse, sacrifia à la lune, au soleil et à la terre. Àrrien, Anabasis, ni, 7, 9. Chez les Romains, un siècle et demi après, le tribun militaire SulpiciusGallus annonça, la veille, une éclipse de lune à son armée, et la rassura. Enfin, Claude l'empereur crut encore bon de prévenir le peuple d'une éclipse de lune qui devait avoir lieu le jour anniversaire de sa naissance. (Dion Cassius, lx, 26.)

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des â venir ; mais la physique proprement dite, à plus forte raison la chimie, manquèrent au système général des connaissances. La physique mécanique, dont les pythagoriciens, Démocrite et Platon avaient posé les bases, et qui, dirigée convenablement, aurait pu conduire les anciens à des théories analogues aux théories cartésiennes, fut oubliée pour la physique purement logique d'Aristote ; et celle-ci , comme nous le verrons , détourna long-temps les esprits de la voie des connaissances et des découvertes. La physique expérimentale, qui d'ailleurs eût été nécessaire pour modérer les écarts des théories mécaniques, et pour régler les hypothèses auxquelles elles eussent donné lieu, demeura tout à fait ignorée. Mais l'observation, ainsi b.innie de la physique , après qu elle avait régné dans l'astronomie, qui n'est que la première de ses branches, reparaissait ensuite dans l'histoire naturelle et dans la physiologie. Aristote avait là puissamment servi ses progrès. Elle reparaissait même dans cette partie des lettres qu'on peut regarder comme une science, dans l'histoire et dans la critique littéraire : période aujourd'hui bien obsc :re de la vie des anciens, temps de sagesse et de vrai savoir, d'indépendance et de recherches désintéressées. L'ère qui devait suivre, l'esprit qui devait régner aux mêmes lieux et qui s'y préparait, ont efiacé pour nous les souvenirs précieux de ce moment trop court de la maturité de l'intelligence antique.

II. Parcourons rapidement les principaux termes du développement scientifique des Grecs , et d'abord dans les sciences rationnelles. Malgré la perte, irréparable d'ailleurs, des écrits d'Eudéme, de Théophraste et de Géminus sur l'histoire des mathématiques et de l'astronomie, nous connaissons ceux des traits de cette histoire qui touchent le plus prés à la philosophie; ils sont de deux sortes : les uns consistent dans les grandes découvertes qui étendent le champ de l'intelligence, et, par suite, celui de l'exploration de la nature ; les autres, dans le» tWories qui marquent le passage et fixent les rapports de la philosophie aux sciences (1).

(1) Le commentaire de Proetu sur EacHde, celui d'Eatoch*» tm knbimèée 12— livre do Traité de la ipkere et dm cylindre), tmàu la CoUeeiim mm t h émm tique de Pappw mmX mnymtfuwi les principale* 9omrem pemr Thhtaén de la

3iO MANUEL

Parmi les géomètres qui ont vécu avant le siècle de Platon , outre les pythagoriciens, on cite les deux philosophes Anaxagore et Démocrite, puis Hippocrate et OEnopide, de Chio, et Théodore de Cyrène. Ce 'dernier fut le maîlre de Platon. Hippocraie (i) est connu comme inventeur des lunules, portions de cercle qu'il carra par une construction géométrique très-simple ; OEnopide résolut quelques problèmes élémentaires. La géométrie de ce temps poursuivait la recherche des plus simples rapports des lignes et des surfaces dans les figures, et bientôt elle loucha aux limites de ce que nous nommons aujourd'hui les éléments de la géométrie; c'est-à-dire qu'elle rencontra des problèmes d'un énoncé d'ailleurs très-simple, qu'il n'était plus possible de résoudre avec la ligne droite et le cercle , spéculativement, ou de construire mécaniquement avec la règle et le compas. Anaxagore s'occupa de la quadrature du cercle , qui est un de ces problèmes ; mais nous ne savons ce qu'il en pensa. Les lunules d Hippocrate devaient alors passer pour un acheminement à la découverte désirée , puisque rien à priori ne prouvait que le cercle entier ne pût pas, aussi bien que l'une de ses parties, être équivalent en surface à quelque figure rectiligne aisée à construire. Un second problème fut en quelque sorte posé par Apollon de Délos qui exigeait que les Athéniens remplaçassent le cube de son aulel par un cube d'un volume double.. Réduit par Hippocrate à l'insertion de deux moyennes continues entre deux lignes (2), l'une égale au côté du cube donné, l'autre, au double du même côté, ce problème de la duplication du cube occupa dès lors un grand nombre de géomètres. Archytas, Platon, et ses disciples Eudoxe et Ménechme en donnèrent diverses solutions, mécaniques ou spéculatives. Enfin, le problème de la tri-

géométrie des anciens. Mais nous avons aussi les Eléments cTEuclide et ses Données, un assez grand nombre de livres d'Archimède, les Coniques d'Apollonius, et un autre traité du même géomètre, deSectione ralionis. D'autres traités ont été rétablis aux seizième et dix-septième siècles sur les indications de Pappus.

|l) Voyez, sur l'esprit d'Hippocrate, un des premiers mathématiciens purs de la Grèce, l'Éthique à Eudème d'Aristote, vu, 14. Ce géomètre habile y est nommé sans façon pkàl et àçpwv.

(2) Proclus, Commentaire sur Euclide, 1. ni, p. 1,— Eutocius donne l'histoire du problème des deux moyennes.

6ection de l'angle, qui remonte à peu près à la môme époque que les précédents (I), conduisit aussi les géomètres à la considération de plusieurs courbes et à l'extension des idées et des méthodes. Cette ancienne géométrie ne connaissait que la synthèse. Quelle que fût la loi qu'eût suivi jusque là le génie des inventeurs, car il n'est pas permis de douter que cette voie soit la même en tout temps et dans tous les esprits, la méthode de démonstration et d'établissement de la science consistait à opérer une construction déterminée; puis à faire voir que cette construction servait à résoudre la question proposée en vertu des notions essentielles de la géométrie ou des propositions déjà prouvées. Lorsque le nombre des relations diverses, que certains éléments de 6gure peuvent soutenir entre eux, se fut accru considérablement aux yeux des géomètres, on dut s'habituer à considérer ces relations à posteriori dans une construction donnée ; on remarqua que si des éléments connus et des éléments inconnus sont mêlés dans des rapports déterminés, l'inconnu se trouve nécessairement fixé par le connu, de sorte qu'on l'en puisse déduire en suivant un certain ordre. Tels sont les précédents naturels de la méthode d'analyse, dont la découverte est attribuée à Platon (2). L'analyse, conçue techniquement, se réduit à la règle suivante, qui a pour objet la solution des problèmes : Regarder la chose cherchée comme si elle était donnée; puis marcher de conséquence en conséquence jusqu'à ce qu'on reconnaisse comme vraie la chose connue ou véritablement donnée : à ce point l'invention est accomplie ; car il suffît d'un renversement d'ordre pour obtenir la synthèse et la construction. La synthèse consiste en effet à partir d'une chose donnée pour arriver de conséquence en conséquence à la chose cherchée. Mais, conçue dans un esprit le plus général, l'analyse n'est que la recherche de ce que nous appelons aujourd'hui les fonctions des quantités. Cette recherche est basée sur ce qu'une

(1) La quadratrice, dont nous dirons quelques mots ci-dessous, et qui fut trouvée pour résoudre ce problème, remonte, en effet, au temps de Platon.

.2) Proclus, Commentaire sur Euclide, 1. m, p. 1. Platon, nous dit Proclus, communiqua d'abord son invention au géomètre Laodamas d'Athènes, et, avec son aide, il en fit d'heureuses applications qui furent encore étendues par Théétète et par le pythagoricien Archytas.

fonction subsiste, plus ou moios enveloppée, partout où régnent l'ordre et les lois : et dès que la fonction est déterminée , le problème est résolu.

La généralisation de la méthode en géométrie s'unit, dans l'éeple de Platon, à la doctrine des lieux géométriques, extension nouvelle et très- importante de l'idée première de ces fonctions, qui furent chez les anciens des fondions géométriques et devinrent des fonctions de nombres après la découverte de Descartes. Lorsqu'un problème est indéterminé, tellement qu'une inanité de points ou de lignes puissent être assignés ppur la solution, ces points sont tous situés sur une même ligne, ou ces lignes sur une même surface, et l'on, peut alors regarder cette ligne, ou cette surface, comme des lieux géométriques de tous les points ou de toutes les lignes qui satisfont à la condition proposée (4). Lorsqu'un problème, au contraire, est déterminé, on peut, par la suppression alternative de Tune des deux conditions qui le rendent tel, en faire résulter la solution de celle de deux problèmes indéterminés. Si, par exemple, il s'agit d'un point, on le peut obtenir par l'intersection de deux lignes, qui en sont Tune et l'autre les lieux géométriques. Cette doctrine est, on le voit, la plus haute à laquelle puisse atteindre la géométrie pure : elle ne suffît pas à lever toutes les difficultés qui attendent les géomètres dans leur investigation des rapports des quantités ; mais elle représente , quand on l'envisage unie à la méthode analytique, l'esprit de la géométrie dans son entier développement. Les auteurs de cette admirable doctrine sont la Grèce, la Philosophie et Platon.

Itï. La théorie de l'analyse géométrique et celle des lieux linéaires conduisirent nécessairement les géomètres à l'invention d'un grand nombre de courbes appropriées à la solution des problèmes qu'on recherchait alors. Parmi ces courbes on s'occupa de

(1) Par exemple, les points communs au cûne droit à base circulaire et au plan sécant, sur la surface du cône, forment ce qu'on appelle une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que le plan est simplement incliné a la base ou parallèle à l'arête du cône, ou parallèle à son axe. Les noms de ces trois courbes sont relatifs à certaines de leurs propriétés caractéristiques, et paraissent leur avoir été imposés par Apollonius de Perge. Avant ce géomètre, au lieu de considérer ainsi les sections sur un même cô e, on les considérait sur trois cône*, le rectangle, l'acutangle et l'obtusangle, le plan sécant étant toujours perpendiculaire à l'arête.

celles qui résultent de la section des solides par les plans et qui se composent des points commuas au plan sécant et à la surface contenant le solide proposé. La doctrine de Platon sur la section des corps, car le nom de Platon se présente encore ici le premier, comme celui de l'auteur de la m&hode, fut étendue et développée par Eudoxe, son disciple et le disciple d'Archytas (\ \\. Les sections coniques, si célèbres depuis, et qui ont fait une grande fortune en astronomie, sont les plus importantes de ce$ sections, et furent les plus étudiées. Ménechrae, disciple. d'Eudoxe, est apparemment ici le principal auteur de la théorie : il résolut le problème des deux moyennes géométriques par une double application de la doctrine des lieux et de celle des sections du cône , car il se servit de l'intersection de deux paraboles de même sommet à axes rectangulaires, ou encore, nouvelle solution, de l'intersection d'une parabole avec une hyperbole entre ses asymptotes. Enfin Âristée , autre platonicien, composa, sous le titre de Lieux solides (2), un traité des coniques en cinq livres , qui servit de fondement aux recherches et aux traités des géomètres postérieurs (3). Quant aux courbes, différentes des coniques, qui furent étudiées vers la même époque, il faut citer d'abord la qùadratrice. Dinostrate, frère de Ménechme, n'imagina pas le premier cette courbe; mais il démontra que la quadrature du cercle dépendait de l'exacte détermination de l'un de ses points (*], et cette propriété fut l'origine du nom qu'elle porta depuis. L'inventeur, qui était Hippias d'Élée, le célèbre sophiste, avait destiné la qùadratrice à la solution du problème de la trisection de l'angle (5) ; cette ligne se forme, en effet, des intersections successives d'une droite, qui se meut uniformément sans cesser d'être parallèle au, diamètre d'un

(1) Proclus, Comm. sur Eucl ; Diogène, Vie d'Eudoxe, vm, 86 et 90. Voyez, pour les travaux géométriques d'Eudoxe, Letronne, Journal des Savants, 1840, art. sur les mémoires d'Ideler.

(2) Ce nom de lieux solides était alors donné aux coniques, à cause de la manière dont on les obtenait. On appelait, au contraire, linéaires ou hype*salides d'autres courbes qu'on appelle aujourd'hui transcendantes, eu égard à la nature de leurs équations.

(3) Pappus, Collect. malhemal., 1. vu.

(4) Id., ibid., 1. iv.

l5) Proclus, Comment, sur Eucl., 1. in, p. 9, et 1. îv, au commencement. Nous suivons les conjectures de Montucla sur ces partages, t. I, p. 198.

cercle, et du rayon de ce cercle qui, çarttot de la môme position, exécute une révolution rrriîlWme 1 , et parcourt le quart de cercle dans le temps que la première dfoite parcourt toute rétendue de ce rayon. Deux siècles plus tard, le géomètre Nicomède, contemporain d'Hipparque , imagina la conchoïde pour résoudre le même problème ainsi que celui de la duplication du cube. Cette courbe est telle que toutes les droites, menées d'un point unique à un axe unique, aient des longueurs égales interceptées entre ellemême et cet axe (1). Enfin à cette même époque, ou peut-être antérieurement, deux géomètres, Persée et Geminus, formèrent une théorie des spiriques, lignes obtenues en coupant par un plan îe tore engendré par le mouvement d'un cercle autour d'une droite. Ces dernières courbes sont algébriques, mais du quatrième degré, et les précédentes sont des lignes mécaniques, qui demeurèrent étrangères à la géométrie de Descartes comme elles l'avaient été aux éléments de la géométrie des anciens, et qui n'ont été enfin soumises au calcul qu'au moyen de la méthode infinitésimale.

IV. Environ cinquante ans après la mort de Platon , c'est-àdire au commencement du 3 e siècle avant notre ère, Euclide, le célèbre auteur des Eléments de géométrie, fut appelé à Alexandrie et s'y fixa sous le premier des Ptolémées. Ce fut lui qui mit en ordre les découvertes d'Eudoxe , perfectionna celles de Théétète , et démontra plus rigoureusement ce qui n'avait encore été que mollement démontré avant lui (2)-. L'idée d'un traité élémentaire et rigoureux de géométrie n'était pas nouvelle : sans parler de l'ouvrage qu'on attribue à Anaximandre , Hippocrate de Chio et Eudoxe lui-même avaient écrit des éléments (3). Mais les treize livres d'Euclide (4) firent oublier tous ces traités; et les géomètres

(1) Citons encore ici, quoique inventée par un géomètre qui vivait près de six siècles après Nicomède, la cissoïde de Dioclès, dont l'objet était encore de résoudre le problème des deux moyennes. Nicomède avait imaginé un instrument très-simple pour décrire la conchoïde ; et Newton, dans son Arithmétique universelle, en propose un pour la cissoïde.

(2) Proclus, Comm. sur Eucl., 1. il, c. 4.

(3) Id., ibid. Un manuscrit (Ménage, in Diog. y vin, 88) attribue i Eudoxe le cinquième livre des Éléments d'Euclide.

(4) Ces treize livres sont quelquefois suivis d'un quatorzièmeetd'un quinzième qu'on attribue à Hypsicle d'Alexandrie, et qui traitent des corps réguliers. Gré-

dés âges suivants, T^éorf d'Alexandrie, Proclus, les Arabes et les modernes s'attachèrent à~k$- commenter. Les modernes ont voulu les modifier ou les refaire** mais les nombreuses entreprises de ce genre ont toutes échoué, comme Leibniz, Wolf et les grands géomètres de l'Angleterre Pavaient prédit. Aujourd'hui nous croyons pouvoir affirmer hautement qu'il n'existe pas, parmi les ouvrages qu'on a publiés ou qu'on publie tous les jours, un seul traité destiné à l'enseignement de la géométrie qui ne soit inférieur au livre d'Euclide à la fois en rigueur scientifique et quant à la philosophie impliquée dans l'établissement des notions premières et essentielles (4). Écrit sous l'influence de l'école idéaliste , de l'école en quelque sorte géométrique de Platon , débarrassé cependant de touteconsidérationpurementmétaphysique, ce livre est parfait dans ce qu'il embrasse si toutefois il est bon qu'il exclue ce qu'il exclut; il ne sera surpassé que par un autre livre encore à faire, où le corps entier des mathématiques sera établi sur sa vraie base, où se trouveront résolues philosophiquement toutes les difficultés que soulève la science générale des nombres , des quantités continues et de leur mesure (2). Ces difficultés, Euclide ne voulut* que les éluder, et le fit habilement: de là viennent, dans son ouvrage, certaines lacunes que ses successeurs ont voulu combler; mais les plus puissants d'entre eux n'y sont parvenus qu'à peine. Et tous les maîtres d'éléments qui ont cru qu'il était aisé d'exposer des éléments, puisqu'ils l'ont entrepris, ont renoncé à la rigueur de leur premier maître en même temps qu'à ses démonstrations.

On disputait beaucoup au siècle de Platon sur la nature des essences géométriques, point, ligne, surface; Euclide n'en dispute

gory a publié, en 1703, i Oxford, les œuvres complète» d'Euclide en grec et en latin. Nous avons aussi une édition grecque, latine et française de M.Peyrard. Ce dernier publia, en 180», une traduction littérale, mais malheureusement mutilée, des Éléments : c'est un livre à refaire. On sait combien d'ouvrages portent le titre d'Élémenti d'Euclide, qui n'ont que le nom de commun avec cet admirable traité.

(1) Parmi ces ouvrages il en est qui ne sont que faibles, il en est d'ineptes, il en est même dont les auteurs ont voulu fonder la géométrie sur une doctrine sensualiste. Le vice qui paraît dans tous est une ignorance honteuse des premiers éléments de la philosophie.

(2) Tel eût été, par exemple, l'ouvrage annoncé par Leibniz, de Sdenlia in- Jiniti.

pius , il fait mieux : il explique clairement les idées rigoureuses que l'esprit se fait de ces essences, soit qu'elles aient d'ailleurs ou qu'elles n'aient pas une existence objective. Il définit le point ce dont il n'est pas de partie , la ligne une longueur sans largeur, la surface ce qui n'est que long et large, le solide ce qui est long, large et profond; il affirme que les limites, c'est-à-dire les extrémités de la ligne, sont les points, celles de la surface les lignes, celles du solide les surfaces; il regarde enfin la droite comme une ligne également placée entre ses points^ le plan comme une surface également placée entre ses lignes, et l'angle plan comme Y inclinaison respective de deux lignes qui se touchent sur un plan et qui n'ont pas la même direction (4). Ces définitions sont suivies de quelques autres plus complexes que les géomètres ont généralement adoptées, puis d'axiomes et de postulats d'une grande simplicité , qui sont comme les machines que l'esprit applique au jeu des définitions afin de construire la science (2). Le caractère idéal de la géométrie se trouve ainsi solidement établi , et Euclide se montre le vrai disciple de Platon, qui blâmait Archytas., Eudoxe et Ménechme d'avoir inventé des instruments pour résoudre les problèmes au lieu de laisser à la doctrine de l'ordre divin- toute sa pureté intelligible (3).

L'idée générale de la composition des grandeurs, et de tous les rapports qu'elles peuvent soutenir entre elles, présentait des difficultés d'un autre ordre au génie d'Euclide. Si parmi les anciens quelque philosophe toucha de près à la théorie de l'infini, c'est sans doute Platon , qui proposa la double notion du point, Platon que sa physique corpusculaire mettait sur la voie de concevoir la gé-

(1) Euclide, Éléments, liv. I, def., 1-8 ; et liv. xi, déf. 1 et 2.

(2) Parmi ces postulats indispensables, se trouve celui qui sert de base à la théorie des parallèles : « Si une droite tombant sur deux autres fait avec elles deux angles intérieurs du même coté dont la somme est moindre que deux droit*, ces deux droites prolongées doivent se rencontrer du côté même où l'on envisage les angles. » — «La place de cette demande, dit Montucla (I, p. 221), est très-probablement à la suite de la proposition 28 du liv. I, où il est démontré que si les angles en question sont égaux à deux droits, les lignes ne se rencontrent pas. « Nous regardons ce postulat, ou tout autre équivalent, comme renfermé dans la notion essentielle du parallélisme, de sorte que les efforts de tant de géomètres n'ont été vaius que parce qu'ils voulaient établir des propositions sans fondement, et concevoir des figures sans se servir de l'imagination.

(3) Plutarque, Propos de table, vin, 2.

nération des quantité^par l'infimmcnt petit (1). Cependant ce philosophe lui-môme, en enseignant que tout changement, d'ailleurs inintelligible, devait s'opérer dans Vinstant (2), et Aristole, avec sa doctrine obscure de la puissance et de l'acte, manquèrent l'idée de la continuité dans le mouvement et dans la composition, et, par suite, comme les pythagoriciens, la science de l'infini. Euclide, conduit à étudier les rapports en général , car à peine la science existe-t-elle sans l'universalité de cette notion, ne put parvenir à caractériser nettement leur nature. L'unité étant pour lui a ce en » vertu de quoi chacun des êtres est nommé un , » et le nombre » une multitude composée d'unités (3), » il est clair que le géomètre ne pouvait concevoir de nombres que les nombres entiers, et de vrais rapports que les rapports de ces mêmes nombres. Cependant il essaya d'une définition générale : « la raison est une manière » d'être respective de deux grandeurs du même genre , quant à » la quotuplicité ; la proportion est une similitude de raisons. » Ensuite, réduisant les « grandeurs qui ont entre elles quelque rai- » son »à « celles qui peuvent, étant multipliées, se surpasser mu- » tuellement (4), » il appelle a raisons identiques, entre A et B » d'un côté,C et D de l'autre, celles qui sont telles que des mul- » tiples quelconques d'A et de C soient et demeurent constam- » ment égaux aux mêmes multiples de fi et D , ou constamment » plus grands ou plus petits que ces mêmes multiples (5). » C'est en éludant ainsi la notion directe d'une relation déterminée entre deux quantités quelconques, c'est, si l'on veut, en l'envisageant d'une manière rigoureuse, mais détournée et peu satisfaisante, qu'Euclide , appuyé de ces définitions , démontra que « deux » triangles ou parallélogrammes dont la hauteur est la même ,

(1) Voyes ci-dessus, liv. vi, § 1, n°2.

(2) Liv. v,Sln« 10.

(3) Euclide, Éléments^ liv. vtt, déf. 1 et 2.— Ce livre et les deux suivants contiennent l'arithmétique ; les quatre premiers, la théorie des figures planes ; les Cinquième et sixième, celle des proportions dans les figures ; le dixième, celle des incommensurables; et les onzième, douzième et treizième, celle des plans et des solides.

(41 Leibniz s'est excellemment appuyé sur cette défini- ion pour prouver qn' il est permis de négliger Yincomparable dans le calcul infinitésimal. Acla eruditorum Lips. y 1695; et Opéra, m, 327.

t6) Buclide, Élément», liv. v, déf. 3 et 6.

» sont entre eux dans le même rapport que leurs bases {\). » Cet effort du grand géomètre ancien, admirable, quoique malheureux dans son succès même, a été peu utile aux géomètres récents, dont les traités abondent généralement en paralogismes déguisés quant à ce qui touche aux principes.

La confusion et les longueurs de méthode qu'on reproche au traité d'Euclide, l'absence qu'on y regrette des mesures absolues des surfaces, surtout des surfaces courbes, enfin les difficultés, qu'on peut opposer, à la rigueur, à ceux des rapports de ces surfaces que le géomètre tente de déterminer (2), tiennent principalement à la proscription de l'idée de l'infini dans la science (3). Peut-être aussi doit-on les attribuer en partie à la subordination de l'arithmétique, ou considération des nombres, à la géométrie, ou considération des figures. C'était un ordre conforme aux habitudes d'esprit établies chez les anciens en dehors de l'école pythagoricienne, et qui se sont perpétuées d'âge en âge jusqu'à Descartes.

Euclide n'écrivit pas seulement le livre des Eléments, mais aussi d'autres savants ouvrages, entre lesquels son traité des Données nous est parvenu. La donnée est ce qui résulte, en vertu des propositions des Éléments, des conditions d'une question. Par exemple, si deux droites menées par un point donné comprennent un espace donné dans un angle donné, et si leur somme est donnée, chacune d'elles sera donnée (4). On retrouve ici dans toute sa beauté la méthode analytique. On retrouve la théorie des fonctions telle qu'elle fut connue dans l'antiquité , et l'on com-

(1) Euclide, Éléments, liv. vi, prop. 1.

(2) Ainsi Euclide démontre le théorème de la proportionnalité des cercles aux carrés de leurs diamètres (xii, prop. 2) avec une rigueur que, d'ordinaire, on n'atteint pas maintenant. Mais sa démonstration n'en implique pas moins ce postulat, qui revient i supposer le cercle mensurable : « On peut toujours concevoir une surface qui soit à un cercle donné dans le même rapport qu'un carré à un carré. « Appliquez une remarque semblable aux démonstrations relatives au cylindre, au cône et à la sphère. — Les rapports de la pyramide et du cône au prisme et au cylindre de même base et de même hauteur, exposés dans ce xii' livre, avaient été découverts par Eudoxe. C'est Archimède qui nous l'apprend.

(3) Les cartésiens (Logique de P.-R., 1. iv, c. 3, 5, 9 et 10) ont cherché partout ailleurs l'explication de ces vices de méthode, et ils se sont trompés gravement. Pour eux aussi, comme pour leur maître, l'infini était hors de la science;

-de là vient que dans leurs Nouveaux Éléments, voulant corriger Euclide, ils ont énervé la géométrie.

(4) Chasles, Aperçu sur V origine et le développement des méthodes en géométrie.

prend que Newton ait pensé qu'une étude approfondie de ces données, véritable corps de l'analyse, aurait pu permettre aux modernes de se passer entièrement des secours du calcul , qui leur semblent aujourd'hui si indispensables.

V. Un demi-siécle après Euclide, un siècle après Platon, florissait Archimède (1) , le plus grand géomètre de l'antiquité. La doctrine d'Euclide fut complétée dans ses ouvrages, où se marquèrent fortement et les vices généraux de la méthode des anciens et la prodigieuse dépense d'esprit qu'ils employaient à les couvrir. Personne ne doute que les découvertes d' Archimède n'aient été le résultat de certains puissants moyens d'investigation, dont la trace a disparu de l'exposition régulière qu'il en a donnée et il y a toute apparence, ainsi que l'a pensé Leibniz, que ces moyens impliquaient la science de l'infini. Les démonstrations à la fois détournées et très-complexes, qui conduisent le lecteur fatigué dans l'inextricable dédale de la théorie des spirales, cachent la marche vraie de l'esprit dans la connaissance et dans l'invention plutôt qu'elles ne la découvrent; bien plus, de très-habiles mathématiciens et très-versés dans la géométrie ancienne, Viète et Bouillaud, ont avoué s'être perdus au milieu de ces démonstrations , puisque le premier les a taxées d'inexactitude, et que le second a témoigné qu'il doutait s'il les entendait bien (2). Mais les propositions fondamentales de cette théorie échappent en elles-mêmes à toute incertitude, et la géométrie n'a rien de plus beau (3) : elles sont dignes, par leur simplicité et par l'ouverture qu'elles donnent dans l'étude des lois des figures, de ce puissant génie qui découvrit tant d'autres relations simples et sublimes, telles que la quadrature de la parabole et le rapport de la surface et du volume de la

(1) Il naquit en 287, et mourut en 212.

(2) Voyez la préface que Fontenelle a écrite pour Y Analyse des infiniment petits du marquis de L'Hôpital.— Leibniz a écrit quelque part : u Qui Archimedem et Apollonium intelligit recentiorum scripta mathematicorum parciùs rairabitur. »

(3) La spirale imaginée par Conon, ami d'Archimède, est une courbe engendrée par un point qui se meut dans la direction du rayon d'un cercle, tandis que ce rayon est emporté lui-même par un mouvement circulaire. Archimède dé^, couvrit la tangente de cette courbe, le rapport de son aire à celle du cercle et d'autres propriétés encore.

sphère à ceux du cylindre circonscrit (4), et qui fonda la méc^u nique rationnelle.

L'obscurité qui enveloppe la doctrine d'Archimède dans les spirales se dissipe pour quelques autres traités, où Ton suit mieux la pensée qui guide le géomètre : on devine alors la célèbre méthode iïexhauslion. Cette méthode a pour objet de déduire la théorie des lignes courbes de celle des figures rectilignes; elle consiste à épuiser par la pensée les intervalles en nombre indéfini qui séparent une courbe d'avec une certaine figure, qui, par une variation réglée de ses éléments, tend à se confondre avec elle , un cercle, par exemple, d'avec un polygone régulier, inscrit ou circonscrit, d'un nombre de côtés de plus en plus grand. Si certaine propriété d'une figure rectiligne appartient constamment à cette figure, dans tous les états successifs où la modification du nombre et de la grandeur des côtés et des angles nous la fait envisager, nous concluons par exhaustion que la même propriété convient à la courbe, dont la polygone s'approche continuellement. Archimède pensa qu'en employant les démonstrations par Val>surde , dontEuclide avait donné l'exemple, il éviterait la redoutable extrémité de celte doctrine ; qu'il dissimulerait la nécessité d'envisager le cercle comme le dernier des polygones, ou comme un polygone d'une infinité de côtés. Voici donc comme il présente le théorème de la mesure du cercle , que nous prendrons ici pour le type de ce genre de propositions fondées sur l'exhaustion : Un cercle, dit Archimède, est équivalent à un triangle rectangle dont le périmètre est la base, et dont le rayon est la hauteur (2). Supposons, en effet , que le cercle surpasse le triangle de l'étendue d'une certaine surface Z ; inscrivons à notre cercle un carré, puis un octogone régulier, puis un polygone de seize côtés, etc., jusqu'à ce que la somme des parties comprises entre le cercle et le po-

(1) On sait que Cicéron, questeur en Sicile, retrouva le tombeau d'Archimède, et le reconnut à la sphère inscrite que le grand géomètre avait voulu qu'on y gravât. (Tusculanes, liv. v, 22 et 23.) On a beaucoup disputé sur le mépris que Cicéron, dans ce passage, semble témoigner pour Archimède ; mais on n'a pas vu que le géomètre n'y est déprimé {humilem homunculum à pulvere et radio excitabo) que par rapport aux grands philosophes Platon et Archytas [doclontm hominum et plane sapientium).

(2) Archimède, Mesure du cercle, prop., 4.

lygone soit plus petite que Z (1); le polygone inscrit sera alors plus grand que le triangle, et il est aisé, connaissant la mesure du polygone, de mettre en évidence l'absurdité de ce résultat. De même, si l'on suppose que le triangle surpasse le cercle, on démontrera d'une manière analogue, et à l'aide d'un polygone circonscrit, que cette supposition implique une conséquence absurde. Donc le cercle ne peut être ni plus grand ni plus petit que le triangle : donc il lui est égal. Nous croyons qu'il est permis de conclure de cette démonstration (et en général de toutes celles où l'on fait voir qu'une mesure, en elle-même inconnue, ne peut être plus grande ni plus petite qu'une mesure connue), qu'on ne saurait assigner aucune erreur dans la science du géomètre qui prend l'une de ces mesures pour l'autre, et qu'en conséquence il n'y a pas d'erreur (2) ; mais nous croyons aussi qu'il faut s'entendre soi-même quand on identifie ces deux mesures. Or, quand on dit qu'un cercle est mesuré par le produit de la circonférence et du demi- rayon, on admet que la circonférence est rectifiable, c'est-àdire réductible à la somme d'une infinité d'éléments droits, et que le cercle peut être intelligiblement regardé comme équivalent à quelque carré (3). Ainsi, l'on s'appuie dans le fond sur le même postulat que l'on établit ou que Ton suppose toutes les fois qu'on se permet de mentionner le rapport de deux quantités incommensurables, c'est-à-dire de deux quantités sans rapport. Et soit qu'on em-

(1) La possibilité de ce résultat est prouvée sans difficulté par Archimède.

(2) Leibniz se donnait lui-même comme n'ayant fait que découvrir et simplifier la méthode d' Archimède, dans ce sens que l'emploi du calcul infinitésimal pouvait toujours se justifier à posteriori, en prouvant que l'erreur commise par le géomètre qui regarde une quantité comme composée d'un nombre indéterminé d'éléments et néglige ensuite l'un de ces éléments est aussi petite qu'on veut le supposer, par conséquent inassignable, par conséquent nulle. {Journal de Trévoux. 1707, et Op., p. 369, t. III ; ibid., 1702, et Op., p. 371.) Cette preuve est excellente; mais il n'en est pas moins nécessaire à priori de concevoir l'infini, et Leibniz le voyait bien aussi.

(3) Maurolycus, géomètre sicilien, excellent commentateur d'Archimède, a réuni, en tête du traité de la Sphère et du cylindre, six postulats entre lesquels nous remarquons celui-ci : « Quibuslibet duabus ejusdem generis magnitudinibus esse du as lineas proportionales. » La discussion de cette thèse, beaucoup moins simple qu'elle ne le parait, amènerait bien vite la question de l'infini. Mais il est impossible de donner une meilleure théorie du cercle que celle que Maurolycus fonde sur ce postulat et sur quelques autres qu'il dégage du traité d'Archimède.

ploie le terme de limite, ou tout autre, qui sert à éluder et non à connaître l'objet dernier et nécessaire de la spéculation, il faut inévitablement que Ton conçoive, sans oser l'avouer, des quantités in- -^ tes composées d'éléments infiniment petits, et comparées entre -elles parleur assimilation à des nombres inexprimablement grands, dont l'un de ces éléments est pris pour unité. Mais la fausse objectivité que les savants de l'école sensualiste veulent attribuer aux essences mathématiques les empêche encore aujourd'hui d'entendre le terme infini dans un sens purement idéal et susceptible d'une rigoureuse définition. Ils vivent au jour le jour et sans méthode sur une sorte de terrain intermédiaire entre Vart obscur et enchevêtré (1) d'Archimède, qui exigerait d'eux de très-grands efforts, et la science de Leibniz, qui leur est inconnue.

Ainsi gênée dans sa méthode, la science des anciens marchait néanmoins de découverte en découverte. Du vivant même d'Archimède, Apollonius écrivait son traité des Coniques à Alexandrie. Un siècle plus tard, dans la même école, l'astronome Hipparque fondait les deux trigonométries et composait un traité sur la construction des cordes des arcs. Ptolémée, vers l'an 425 de notre ère, donnait aussi à la géométrie un ouvrage sur les dimensions des corps, où les trois axes rectangulaires, devenus depuis d'un si grand usage, paraissaient pour la première fois (2). Platon, cependant, et Aristote, avaient conçu le principe de cette découverte en remarquant que tout mouvement, à partir d'un point donné, pouvait avoir lieu dans six directions différentes (3). Enfin, aux quatrième et cinquième siècles, époque des géomètres commentateurs ou collecteurs, Pappus, Marinus, Proclus, Eutocius, une mathématique toute nouvelle dont les premiers essais nous sont inconnus avait dû commencer à s'établir : c'est l'algèbre. Quelques livres du traité de Diophante nous ont seuls été transmis. Nous y voyons la science des relations des nombres et l'art de rechercher ceux qui sont propres à satisfaire à de certaines conditions arithmétiques déterminées ou indéterminées, dégagés de la géométrie et parvenus déjà à un notable développe-

(1) Involutissimas Cononis el Archimedis artes, Leibniz, Op., m, p. 192.

(2) Théon, Comment, de V Aima geste.

(31 Platon, Timét; Aristote, Physique, iv, 2.

ment. Ce n'est pas encore là cette doctrine abstraite des fonctions de nombres que la spécieuse de Viète a fondée chez les modernes, et dont la découverte de Descartes a rendu la géométrie même tributaire , mais c'est une collection d'ingénieux procédés susœç* %■** tibles de généralisation, et qui ont ouvert une large voie art»-* géomètres du seizième et'du dix-septième siècle (1).

VI. Les pythagoriciens avaient cherché les premiers à découvrir la loi générale des mouvements des astres. Leur doctrine, contraire aux apparences et arbitraire en plusieurs points, était sans doute peu goûtée des astronomes de profession, quand Platon posa cette question : a Comment les phénomènes peuvent-ils être représentés par des mouvements circulaires, uniformes, concentriques à la terre (2) ? » Eudoxe résolut ce problème en supposant que chacun des astres participât des divers mouvements de plusieurs sphères concentriques engagées les unes dans les autres. Vingt-sept sphères lui suffirent pour expliquer tous les mouvements célestes qui lui étaient connus, savoir : une pour la révolution diurne des fixes (la précession des équihoxes étant encore ignorée) ; trois pour le soleil, propres à en représenter le mouvement diuçne, le mouvement annuel de 365 jours et 4/4 en sens contraire du premier, et un autre à pôles différents des deux premiers, qu'Eudoxe avait cru remarquer (3) ; trois pour la lune, relatives à trois mouvements, le diurne, celui qui a lieu en longitude dans l'écliplique, et celui qui se fait hors de ce plan; quatre enfin pour chacune des cinq planètes, deux desquels expliquaient, comme pour la lune, le mou vement diurne et le mouvement dans l'écliplique, tandis que le troisième représentait la révolution synodique ou intervalle de deux conjonctions, et le quatrième une révolution qu'on ne saurait aujourd'hui déterminer avec certitude. On voit que chacun des cieux était conçu comme formé de plusieurs sphères en partie creuses et rigoureusement emboîtées

(1) Il existe une édition de Diophante, commentée par Bachet de Méziriac et annotée par Fermât, publiée parle fils de celui-ci en 1670.

(2) Sosigène, dans Simplicius, de Cœlo, h, comm. 46.

(3) Bailly [Histoire de l'astronomie ancienne, p. 241), accuse à tort d'absurdité cette hypothèse, qui est très-ingénieuse et mathématiqudpent irréprochable. Mon tu cl a la comprend mieux, et ne la combat qu'en tant atftvidemment contraire aux apparences [H\st. des math., i, p. 200). *■

de telle sorte que la plus intérieure pût glisser sur la suivante, de plus grand rayon qu'elle, tout en obéissant d'ailleurs au mouvement de cette dernière ; que celle-ci eût son mouvement propre et obéît de même à celui de la suivante, et ainsi de suite. Par conséquent, un astre placé dans la sphère la plus intérieure avait un mouvement composé du mouvement de cette sphère et de ceux des diverses sphères enveloppantes. Mais on ignore ce que pensait Eudoxe de la nature de ces sphères, de leurs distances et des causes de leurs mouvements. Peut-être n'envisageait-il son hypothèse que comme purement mathématique. Mais le philosophe, le physicien Aristote, qui l'adopta, La modifia, et qui, comme on sait, croyait à la solidité des deux, dut nécessairement l'entendre à La lettre. Quoi qu'il en soft , Le succès de ce nouveau système fut éclatant : le géomètre Ménecbme et L'astronome Callippe l'approuvèrent ; mais ce dernier imagina sept autres sphères nouvelles afin d'approcher phis près des phénomènes, et Aristote approuva Callippe, et, par des raisous métaphysiques, porta jusqu'à cinquante-six Le nombre total des sphères célestes (4). La réforme apportée par Aristote au système astronomique d'Eudoxe et de Callippe est très-importante au point de, vue physique : elle a pour objet de ramener le monde à l'unité. Chacun des cieux imaginés par ces astronomes était considéré en effet comme indépendant de tous les autres cieux ; il fallait, par exemple, que le mouvement des quatre sphères de Saturne ne se communiquât en aucune manière aux sphères des planètes inférieures. Aristote voulut, sans doute, que l'univers fût homogène et continu , et que tout mouvement s'y transmît sans altération depuis la sphère universelle enveloppante jusqu'à toutes les sphères enveloppées. Mais s'il en est ainsi, que faut-il pour que les sphères de Saturne entraînent les sphères de Jupiter , et que celles-ci cependant ne soient pas modifiées dans leurs révolutions apparentes pour nous? Il faut qu'entre les deux

(1) Simplicius, loc. cit. ; et Aristote, Métaphysique, xn, 8. Callippe ajoutait deux sphères au soleil, deux i la lune, et une i chacune des planètes, Mars, Vénus et Mercure. — Voyez, pour les sphères d'Eudoxe, Fréret , Alèm. acad. 4es Jnacr., t. XVIII ; et Letronne, Journal des Savants, 1840. Fréret attribue la réforme d'Aristote à l'intention d'éviter les frottements des sphères, raison puérile et inintelligible. Nous donnons ci-des*ous la vraie raison.

cieux on interpose trois sphères douées de mouvements inverses respectivement de ceux des trois sphères propres de Saturne. De même entre Jupiter et Mars on placera trois sphères, puis succès* sivement quatre autres au-dessous de Mars, au-dessous de Mercure, au-dessous de Vénus et au-dessous du soleil (4). Toute in* ter position relative aux divers mouvements qui concordent avec celui des fixes est inutile, puisque ce mouvement doit s'étendre au monde entier; au-dessous de la lune toute interposition est encore inutile, puisqu'il n'y a là aucun astre dont la révolution apparente soit à conserver. \\ y a donc en tout vingt-deux sphères à ajouter, qui, unies aux trente-quatre de Callippe, composent les cinquante-six d'Aristole (2). Que l'on suppose maintenant toutes ces sphères solides et transparentes , la terre immobile au centre, un moteur immobile, immatériel, unique, cause première de la révolution constante des fixes, enfin une cause de diversité dans les mouvements des autres sphères, c'est la puissance, la matière, et Ton connaîtra l'astronomie d'Aristote. Ce beau système, après avoir vaincu celui des pythagoriciens, disparut lui-même devant l'observation, et donna place au système des alexandrins. Celui-ci fit oublier pour long-temps l'hypothèse d'Aristarque.

VU. L'observation astronomique faisait de notables progrès dans la Grèce. Cependant elle ne s'était pas encore élevée à la hauteur d'une méthode ; l'objet qu'elle se proposait était plutôt civil que scientifique. Une longue série d'observations , depuis Thaïes jusqu'à Eudoxe et Callippe , avait eu pour objet la réforme du calendrier : les Grecs, qui se servaient d'un calendrier lunaire, et qui se faisaient un point de religion de le conserver, parce que les fêtes étaient déterminées par la lune, voulaient cependant connaître les rapports de la révolution lunaire à la révo-

(1) Ces nombres sont relatifs au système de Callippe dont il est question dans la note précédente.

(2) Aristote, loc. cit. Notre interprétation, conforme au texte, bien que trèsconcis, donne d'ailleurs les résultats qu'aristote énonce lui-mèVe. Tout ce que les traducteurs et annotateurs récents ont dit à ce sujet est inintelligible. Par exemple, il est imposable que M. Cousin ait compris ce qu'il a écrit (trad. du XII* livre de la Métaph., p. 209) d'après tous les commentateurs, dit-il, et ce que MM. Pierron et Zérort ont religieusement reproduit, p. 230 de leur traduction.

lution solaire, et, par le moyen des intercatations , faire accorder, autant qu'il se pouvait , les divisions du temps avec les positions des deux astres (4). Après quelques essais malheureux de ses prédécesseurs, l'astronome Méton, connu par une observation du solstice d'été de l'an 432, faite avec Euctémon, proposa aux Athéniens et à la Grèce le célèbre nombre d'or ou cycle de 49 ans et de 235 lunaisons, à l'expiration desquels la lune et le soleil devaient se rencontrer au même point du ciel où ils se trouvaient à l'origine. Douze de ces années étaient de douze mois et sept étaient de treize; et, parmi ces mois, 440 étaient de 29 Jours et 425 de 30 (2). Ce système, qui revenait à supposer l'année de 365 jours, 6 heures et 49', était par conséquent fautif, et ne tarda pas à être reconnu tel par l'expérience. Un demi-siècle après (3) , Platon et Eudoxe apprirent des prêtres d'Héliopolis une valeur plus exacte de l'année, celle de 365 {; non que les Égyptiens réglassent leur calendrier sur cette connaissance , car ils se servaient d'une année solaire vague de 360 jours , grâce à laquelle tous les jours possibles se trouvaient successivement sanctifiés par la même fête (•£) ; mais ils connaissaient le rapport de l'année vague à l'année fixe (5). Eudoxe imagina donc un cycle de 2922 jours ou de huit années de 365 { , une octaétéride, ainsi qu'il la nommait (6), équivalente à deux de nos tétraétérides juliennes, et il l'employa comme une période climatérique propre à ramener toutes les circonstances météorologiques dans le même ordre, Callippe, possesseur des mêmes connaissances, engagea les Grecs à quadrupler le cycle de Méton et à retrancher un jour de chacune des nouvelles périodes ainsi obtenues. Cette réforme, adoptée en 334 et conservée par la suite, malgré la correction meilleure

(1) Geminus, Isagoge aslronomica, c. 6. — Le fondement du calendrier, depuis Solon, était dans le mois de 29 1/2 jours, c'est-à-dire, pour l'usage, tantôt de 29 et tantôt de 30, tantôt cave et tantôt plein. Le plus ancien essai de conciliation de la lune et du soleil était, au rapport de Censorin, d'un très- ancien astronome, Cléostrate de TVnédos.

|2) Laplace, Exposition du système du monde, t. II, p. 382.

(3) Platon voyageait en Egypte en 399; Eudoxe, en 362.

(4) Hérodote, Euterpe.

(5) Pline et Columelle, cités par Letronne, loc. cit.

(6) Eudoxe écrivit en Egypte même un livre sous ce titre, Diogène, vin, 87 ; et Ménage, p. 391.

propagée par Hipparque (1), supposait la durée de Tannée de 365 jours et 6 heures^ suivant l'opinion des Égyptiens et d'Eudoxe. La même opinion, plus tard, servit de base à l'institution de Tannée solaire civile dont Jules César chargea Sosigène (2). L'erreur ainsi commise passa du calendrier de Rome au calendrier chrétien, et, combinée avec celle que fit aussi le concile de'Nicée, en admettant , d'après le cycle de Méton , que 49 années équivalaient à 235 lunaisons, elle produisit dans le compte dos temps les désordres auxquels vint enfin remédier la réforme grégorienne, en 4 582.

Eudoxe ne connaissait encore aucun des instruments qui furent employés au Musée d'Alexandrie, si toutefois Ton excepte le gnomon. II manquait donc de moyens précis d'observation. Nulle part, cet astronome, cité par Hipparque, ne parle de déclinaison ou d'ascension droite, de longitude ou de latitude; mais il désigne les positions des astres d'une façon vague par rapport aux constellations; il croit le pôle marqué par une étoile immobile, ce qui n'était pas de son temps, et Ton doit en conclure qu'il no connaissait aucun moyen d'en mesurer la hauteur même grossièrement; enfin, au lieu de diviser le cercle en degrés, comme le firent les astronomes d'Alexandrie , il essaie d'estimer, dans chaque cas particulier, le rapport d'un arc donné à la circonférence. Quant au temps, Eudoxe le mesure à Taide de la clepsydre et d'un cadran solaire horizontal, Yarachné, perfectionné plus lard par Apollonius (3).

VIII. C'est à Alexandrie qu'on trouve pour la première fois un système combiné d'observations, d'instruments et de méthodes trigonométriques. Les positions des étoiles se déterminent, et les inégalités des mouvements des astres sont enfin observées. Arislille et Timocharis commencèrent pendant la sixième année du troisième siècle, et poursuivirent pendant vingt-six ans,

(1) Hipparque voulait encore quadrupler le cycle de Callippe, et retrancher un nouveau jour à l'ensemble de la période.

(2) La réforme julienne fut certainement en arrière des connaissances acquises, et il y a apparence qu'on ne voulut pas renoncer à la facilité de ce quart de jour en consacrant des nombres moins simples et plus fâcheux, quoique plus exacts.

(3) Letronne, Journal des Savants, 1840.

d'exactes observations, qui servirentde fondementaux découvertes et aux théories d'Hipparque et de Ptolémée. Ces observations furent les premières, les plus anciennes, auxquelles les deux grands astronomes osèrent comparer les leurs : ils les jugèrent seules dignes de confiance, au mépris des recueils, si vantés depuis, des Égyptiens et des Ghaldéens (4). Ératosthène et Aristarque vivaient vers la mètie époque. Érathoslène fit construire, avec l'appui de Ptolémée, et placer dans le portique du Musée , les fameuses armilles qui servirent aux principales observations de l'astronomie grecque; il calcula la longueur de la circonférence terrestre en mesurant l'arc du ciel compris entre le zénith de Syène et celui d'Alexandrie, deux villes dont il connaissait la distance, et qu'il supposait situées sous le même méridien (2); enfin il détermina, par une méthode inconnue à la vérité, la valeur de l'obliquité de l'écliptiqw, ou la distance angulaire du tropique à l'équateur (3). Aristarque, dont la doctrine astronomique nous est déjà connue (4), inventa une méthode ingénieuse et très-simple de calculer les dis.ances relatives de la lerre au soleil et à la lune : il mesura l'angle compris entre ces deux astres au moment où il jugea l'exacte moitié du disque lunaire éclairée; à cet instant le triangle mené par l'œil de l'observateur et par les centres des deux astres est rectangle à celui de ses sommets qui occupe le centre de la lune , et les trois angles de ce triangle étant alors déterminés et connus , les rapports de ses côtés le sont nécessairement. Mais Aristarque vicia les résultats de sa spéculation en employant des valeurs angulaires mal mesurées et entièrement fautives : il trouva pour le rapport cherché un nombre trop petit , quoique supérieur à celui qu'on avait supposé avant lui ; et il se trompa de même au sujet des grandeurs relatives des trois astres qu'il

(1) I a pi ace, Exposition du système du monde, t. Il, p. 392.

(2) Syène était regardée comme placée sous le tropique, c'est-à-dire que le soleil s*y montrait sensiblement au zénith à midi, le jour du solstice d'été. L'observation d'Eratosthène se réduisit donc à celle de la hauteur méridienne du soleil à Alexandrie, le même jour, à la même hauteur. Il trouva que l'arc à mesurer était le 1/50 de la circonférence; d'où il conclut, la distance de Syène i Alexandrie étant de 5,000 stades, que la longueur du méridien devait être de 250,000 (9,450 lieues anciennes de France).

(3) Montucla, Hist. desmatkém., I, p. 264.

(4) Ci-dessus, liv. m, § 4, n° 10.

essaya de déterminer. Le traité qu'Aristarque écrivit, et qui nous est parvenu, s'appuie sur la géométrie et sur les phénomènes; on n'y trouve aucune mention du système du monde adopté par l'auteur, mais on y doit remarquer avec intérêt une forme rigoureusement synthétique toute semblable à celle de la géométrie d'Euclide (<). Hipparque, un siècle après Aristarque, et Ptolémée, près de trois siècles après Hipparque, corrigèrent les calculs de l'astronome de Samos , en se fondant sur des observations plus exactes, et ils parvinrent à des résultats moins éloignés de ceux que nous obtenons aujourd'hui (2).

Hipparque, de Nicée en Bithynie, fut le premier grand observateur de l'antiquité. Les travaux d'Aristylle et de Timocharis, dont il était en possession et qui dataient déjà d'un siècle et demi , étendirent sa vue dans le passé : il comprit que l'astronomie devait être l'œuvre des générations successives, et il voulut léguer aux astronomes à venir un ensemble arrêté d'observations dont il lui était à lui-même interdit de se servir. Les principaux travaux d'Hipparque consistent dans les observations et dans les découvertes qui suivent : Il mesura la longueur de l'année en comparant l'une de ses observations du solstice d'été avec cette qu'avait faite Aristanque en Tannée 284 ; pois il vérifia oe calcul, qui l'avait conduit à une durée moindre de 5 minutes environ que celle qui était généralement adoptée, par trente-trois années d'observations sur les équinoxes.Ce dernier travail le conduisit à reconnaître que les intervalles d'un équinoxe à l'autre sont inégaux et inégalement partagés par les solstices, ce qui. l'obligea à déplacer la terre du centre de la révolution solaire (3). Hipparque reconnut aussi quelques-unes des inégalités *du mouvement de 4a lune, et il observa les planètes, sans chercher encore à expliquer leurs mouvements. Il essaya de dresser un catalogue des principales

(1) Aristarque, des Grandeurs et des distances du soleil et de la lune y dans les œuvres de Wallis. Il a paru, eu 1810, une édition française de cet ouvrage, greclatin, avec de nombreuses scholies, et l'abrégé de Pappus, sons ce titre : Histoire d" Aristarque de Samos y par M. de F.

(2) Pappus, Collect. malhém., vi, prop. 38, analyse le livre d'Aristarque, et en corrige les erreurs d'après les astronomes d'Alexandrie. Cependant Lapl ace croit qu'Aristarque avait dû lui-même revenir sur ses premières observations, t. II, p. 387.

(3) Il la déplaça de 1/24 de son rayon.

étoiles et de représenter leurs positions respectives sur une sphère, qu'ensuite il projeta sur un plan , afin que les changements qui pourraient un jour se produire dans le ciel fussent connus. Déjà Eudoxe avait indiqué grossièrement la place des constellations sur une sphère solide dont l'idée première appartenait à Thaïes. Aratus, qui n'était pas astronome, avait mis en vers la description qu'Eudoxe avait d'ailleurs laissée par écrit (i). Hipparque commenta l'ouvrage d'Aralus. Mais , en comparant ses observations sur les étoiles à celles des premiers astronomes d'Alexandrie, il remarqua que toutes avaient égalementchangé, quoique fort peu, par rapport à l'équateur, tandis qu'elles avaient conservé les mêmes places par rapport à l'écliptique. Sans oser se prononcer encore absolument sur la réalilé de ce phénomène, aujourd'hui connu sous le nom de précession des équinoxes, Hipparque supposa cependant que la sphère céleste pouvait être douée d'un mouvement direct autour des pôles de l'écliptique. C'est Ptolémée qui , 267 ans plus tard, mit cette observation hors de doute en rapprochant ses propres mesures de celles d'Hipparque. Mais la cause du phénomène restait un mystère et la mesure n'en était pas trèsexacte (2).

Ptolémée, né à Ptolémaïs en Egypte, porta l'a9tronomie des anciens au dernier état qu'elle devait atteindre. Si l'imperfection de son système du monde est extrême, soit qu'on envisage ce système en lui-même ou qu'on le compare au système d'Aristarque,cetteimperfection est au moins rachetée par l'exactitude des connaissances. Ainsi ce grand astronome, le vrai successeur d'Hipparque malgré l'intervalle des temps, mérita de léguer aux âges suivants, dans sa Grande Composition (3) , que les Arabes nommèrent Almageste,

(1) Ces détails nous sont donnés parCicéron, qui nous apprend en même teirps qu'Archimède avait construit une sphère mobile où les principaux mouvements du ciel étaient représentés, et que Marcellus l'avait portée de Syracuse à Rome. Sulpicius Gallus expliquait cette sphère aux Romains [République, i, 14;. — Eudoxe avait consacré deux ouvrages à la description du ciel, le Miroir et Us Pkénomhies. Ce dernier titre est celui du poème d'Aratus que Cicéron traduisit.

(2) Hipparque est encore cité comme le premier qui ait mesuré les distances géographiques par la longitude et la latitude, et employé les éclipses de lune à déterminer les longitudes.

(3). >!:■,'« atj <rJvTa;i;. Le mot hybride grec-arabe Almagcsle signifie le tris-grand- Cet ouvrage en xiu livres, dont il n'a\ ait été fait, depuis la renaissance, qu'une

presque tout ce qui leur parvint des connaissances mathématiques de l'antiquité. Outre cet important ouvrage , l'astronome écrivit plusieurs traités, entre lesquels il faut citer son Harmonique et son Optique : ce dernier a été perdu.

Ptolémée découvrit une nouvelle inégalité du mouvement de la lune, Yévection, et, pour, en rendre compte, il fut conduit à supposer dans la révolution de cet astre une modification analogue à celle qu'Hipparque avait proposée pour le soleil, mais plus complexe encore. Ensuite, appliquant la même hypothèse à l'explication des perturbations qu'il connaissait dans le mouvement des planètes, il produisit un nouveau système général du monde, auquel on peut croire pourtant qu'il n'attribua qu'une valeur mathématique : du moins il parut penser qu'il n'y a pas lieu de se préoccuper de la nature physique des mouvements, pourvu que l'ordre que leur impose le calcul soit aussi confirmé par les phénomènes (4). Aussi ce système est-il, physiquement parlant , inférieur, non-seulement à celui d'Aristarque, mais même à celui d'Eudoxe et d'Aristote. Mais la découverte des désordres apparents que l'observation introduisait dans l'ancien système des sphères concentriques obligeait les astronomes de renoncer à cette ancienne loi , qui n'avait pour elle que sa simplicité et les plus grossières apparences, et d'adopter une loi moins simple, ou même variable de jour en jour, jusqu'à ce qu'un ordre nouveau se révélât , que le cercle fût remplacé par une courbe aussi belle et plus approchée de la vraie , et que le centre du monde planétaire fût transporté au soleil, non plus hypothétiquement , mais selon toutes les vraisemblances et du consentement de tous les astronomes (2).

Dès les premiers temps où les observateurs d'Alexandrie reconnurent les perturbations des mouvements des astres , ils durent nécessairement abandonner les sphères d'Aristote : mais il

mauvaise traduction latine, a été publié par l'abbé Halma, accompagné d'une traduction française non moins mauvaise, 1816, 2 vol. in-4°.

(1) Ptolémée, Almageste, xni, 2.

(2) Aristarque, lui-même, n'avait prétendu faire qu'une hypothèse; un seul astronome , Séleucus, prétendit que cette hypothèse était, entre toutes, la plu» conforme à la réalité. Plutarque, Questions platoniques, 8.

eût été plus pénible de renoncer à l'uniformité des révolutions, qui était comme un article de foi pour les anciens. On se demanda si, en supposant cette uniformité, il ne serait |>as possible de trouver en dehors du centre de la révolution uniforme un point duquel elle dût paraître irrégulière. En effet, il suffit à Hipparque de déranger la terre du centre exact et de faire de l'orbe solaire un excentrique, c'est-à-dire un cercle dont le centre fût placé à quelque distance de celui de la terre, pour expliquer les inégalités du mouvement du soleil. Mais l'idée de l'excentrique était plus difficile à appliquer aux autres astres dont les perturbations sont plus complexes. Cependant Apollonius le géomètre imagina bientôt de faire tourner uniformément une planète dans un petit cercle (épicycle) , et le centre de celui-ci dans un autre {déférent) concentrique à la terre. Il expliqua de la sorte les stations et les rétrogradations des planètes (4). Ptolémée soumit le mouvement de la lune au même système avec certaines modifications. Il fit mouvoir cet astre sur un épicycle , porté toimême sur un excentrique à la terre, mais en même temps il fit exécuter une révolution à cet excentrique, et il fixa tout ce qui est indéterminé dans cette hypothèse de manière à représenter exactement les apparences. A l'égard des planètes , il imagina qu'elles étaient portées sur des épicycles dont les centres se mouvaient sur des excentriques immobiles ; mais diverses irrégularités observées l'obligèrent à modifier quelquefois ou cet excentrique lui-même ou l'uniformité des révolutions du centre de l'épicycle à son égard (2). On peut, en général, se représenter comme il suit la théorie des excentriques et des épicycles : Qu'on imagine en mouvement sur une première circonférence dont la terre occupe le centre, le centre d'une seconde circonférence sur laquelle se meut le centre d'une troisième, et ainsi de suite, jus* qu'à la dernière , que l'astre décrit uniformément. Si le rayon d'une de ces circonférences surpasse la somme des autres rayous, le mouvement apparent de l'astre autour de la terre sera composé d'un moyen mouvement uniforme et de plusieurs inégalités

(1) Letroune, Journal des Savants. 1840.

(2) Montucla, Hist. du mathém., i, p. 292-298.

dépendantes des rapports qu'ont entre eux les rayons des diverses circonférences et les mouvements de leurs centres et de l'astre ; on peut donc , en multipliant et en déterminant convenablement ces quantités, représenter toutes les inégalités de ce mouvement apparent. L'excentrique est alors considéré comme un cercle dont le centre se meut autour de la terre avec une certaine vitesse, qui devient nulle s'il est immobile (4).

Ce système général embrasse à la fois et le système de Ptolémée et toutes les modifications que les astronomes ses successeurs imaginèrent pour le rendre conforme aux nouvelles observations. Ceux-ci parvinrent, nonobstant une extrême complication, à mettre l'hypothèse en état de représenter pendant long-temps les faits connus. La découverte des inégalités de distance des planètes amena seule des difficultés qu'il était impossible de surmonter. Mais après Kepler, Galilée, Descartes et Newton, après les perfectionnements de l'optique et les connaissances nouvelles qui s'ensuivirent, après les nouvelles hypothèses enfin , la théorie des épicycles put encore être employée comme un moyen de calcul pour représenter les portions des astres et construire les tables de leurs mouvements.

ÎX. De toutes les parties des mathématiques appliquées, la plus générale et la plus simple est la mécanique rationnelle. Les éléments dont elle se compose sont ceux mêmes de la géométrie 1 auxquels on ajoute seulement la notion du temps et celle de la force abstraite. Grâce à cette extension , la spéculation pénètre un pas plus avant dans la nature : elle en trace le plan tout entier, du moins pour tout ce qui se peut ramener d'elle au nombre et à la mesure. Nous avons parlé ailleurs des essais de physique

(1) Laplace, Exposition du système du monde, h, pag. 401. Ce système , dit Laplace, aurait pu, moyennant une détermination convenable des arbitraires, se confondre avec celui de Tycho-Brahé; et Ptolémée aurait tracé lui-même cette direction aux réformes futures, s'il eût pris pour Vénus et Mercure des excentriques égaux à l'orbe solaire ; mais il se contentait de déterminer les rapports des rayons de ses cercles et les temps des révolutions du centre et de l'astre. (V. ibid. , p. 402, sqq.) — Ptolémée ne fait aucune mention de la doctrine attribuée quelquefois aux Égyptiens, suivant laquelle Vénus et Mercure circuleraient autour du soleil , et celui-ci, de même que les autres planètes , autour de la terre. C'est cette doctrine qui, suivant Laplace, aurait pu le mettre sur la voie du système de Tycho.

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mécanique qui lurent faits chez les anciens (4) ; si ces essais demeurèrent infructueux, même quand ils appartinrent à Platon, on doit penser qu'indépendamment des croyances vitalistes, communes à la plupart des philosophes de l'antiquité, l'infériorité de la mécanique pure aux autres parties du savoir , s'opposa d'une manière décisive à leurs progrès. Les savants et les historiens s'accordent à nommer Archimède comme le premier des anciens qui ait conçu et traité la mécanique ainsi qu'une science séparée ; encore ne fonda-t-ii que la statique, c'est-à-dire la science de l'état des corps, relativement aux forces qui leur sont appliquées, dans le cas seul où ces forces les maintiennent en équilibre. La dynamique appartient aux modernes, et Galilée, entre tous, en est le créateur ("2). On trouve, il est vrai, dans les œuvres d'Aristote un livre de problèmes mécaniques; mais, quoique cet ouvrage, que personne probablement n'a bien lu, ne mérite pas le mépris avec lequel on l'a traité quelquefois, il est certain qu'il ne contient rien de semblable à la science d' Archimède. Ce grand homme qui recueillit sans doute les travaux de l'école pythagoricienne (3) et qui les accrut, composa de la statique un corps de doctrine semblable à celui que formait depuis long-temps la géométrie. Il fonda la statique des solides sur le principe du levier, en vertu duquel une droite rigide chargée de deux poids également distants du point d'appui, doit demeurer en équilibre ; et, par la méthode d'exhauslion , à l'aide d'une division de la droite etdes poids, il ramena à ce cas simple le cas général de l'équilibre d'un levier quelconque : il montra que les poids devaient être en raison inverse de leurs distances au point d'appui. Puis Archimède s'occupa de la recherche des centres de gravité des figures géométriques, et détermina par exemple celui de la parabole. Ce traité suppose implicitement l'idée de l'inertie de la matière, celle de l'homogénéité et de la gravité de toutes ses parties, et la considération de la pesanteur comme d'une force de direction constante appliquée à tous les points d'un corps, en telle sorte que le centre de gravité soit celui de ces points

(1) Liv. iv, § I, 6; liv. v, § iv, 4, 7 et 8; et liv. vi, g n, 7.

(2) Lagrange, Mécanique analytique, t. I, p. 2 et 158; Montucla, I, p. 240.

(3) Archytas avait le premier appliqué la géométrie à la mécanique, au rapport de Diogènc [Vie d Archytas, vin, 83'.

auquel une force unique peut remplacer dans leur effet toutes les autres. Tels sont en effet les principes généraux de la mécanique élémentaire (4).

A l'égard de l'hydrostatique , statique des liquides , Archimède posa deux principes : 4° la nature des fluides est telle, que les parties moins pressées sont chassées par celles qui le sont davantage, et que chaque partie est toujours pressée par le poids de la colonne qui la surmonte verticalement; 2° tout ce qui est pressé de bas en haut par un fluide est toujours poussé suivant la perpendiculaire qui passe par son centre de gravité. Du premier principe on déduit les conditions d'équilibre des corps plongés dans le fluide : ce sont les propositions célèbres d'Archimède pour déterminer les relations des forces qui sollicitent un corps plongé, en tout ou en partie , avec les poids des volumes fluides déplacés par ce corps. Du second principe, la géométrie fait sortir les lois de l'équilibre des corps géométriques déterminés qui flottent sur un liquide plus pesant (2). On sait qu'Archimède appliqua la mécanique rationnelle à la construction des machines. Parmi ces inventions admirables il en est de perdues, il en est qu'on imagina sans doute plus tard ou dont on exagéra la description. Quelques-unes nous ont été transmises, telles que les poulies multipliées, la vis sans fin, et la vis inclinée qui porte lo nom de son inventeur.

X. Si la physique avait pu dans l'antiquité se constituer comme science générale et à la manière d'une doctrine vraiment rationnelle, elle aurait pris pour base la mécanique d'Archimède. C'est ainsi que Descartes chez nous établit son système de physique sur les notions abstraites de l'étendue et du mouvement. Mais la science d'Archimède, tout admirée qu'elle fut , demeura chez les anciens isolée et stérile. Quanta la physique expérimentale, une seule école, celle d'Aristote, aurait pu la créer. Mais Aristole, en rétablissant des opinions que ses prédécesseurs avaient déjà abandonnées , par exemple , la réalité de la génération, en imaginant

(1) Archimède, Isorropica (deuEquiponderaniibus).Ce traité nous est parvenu.

(2) Nous empruntons cette exposition abrégée à Lag range, en la réduisant encore un peu toutefois (loc. cit., pag. 123 et 124). Le livre d'Archimède, sur lequel elle a été faite, ne nous est plus connu que par la version latine de Commandin, De Us quec vrhuntur in humido, 1566. Le texte grec est perdu.

pour chaque être une forme particulière , en regardant les qualités comme réelles dans les corps , en définissant le mouvement par une notion purement logique, fit reculer la science d'Empédocle, de Démocrite et de Platon. Son système, qui fut trouvé précieux au moyen âge, et dont la nature invariable, et qui n'amenait aucune découverte , devait en effet plaire à la théologie, exerça sur la philosophie naturelle une influence funeste. Nous avons vu que, malgré tous ses efforts, Straton ne put parvenir à refaire une physique aussi mal fondée (4). En présence de cette science arbitraire qui variait de génération en génération , il nous est impossible aujourd'hui d'attacher une importance philosophique aux explications que les anciens ont données de certains faits naturels, par cela seuj qu'elles sont conformes à celles que nous donnons. Les quelques vérités de physique à recueillir dans les ouvrages d'Arytfote , dans Iqs Questions naturelles de Sénèque, et dans l'Histoire de Pline où elles sont disséminées (2), ont et conserveront toujours uqe yqIquj comme observations ; mais pour celles qui ont trait à la théorie, leur isolement les rend vaines, aussi bien que les hypothèses maintenant confirmées que nous avons signalées chez les philosophes plus anciens, tels qu'Empédocle ou Ânaxagore. Que les savants de nos jours cherchent dans l'histoire de cette vieille scienoe des faits oubliés, des vues heureuses et nouvelles, peut-être encore méconnues ! Mais il serait sans intérêt pour eux de marquer une rencontre fortuite entre des doctrines qui font routes diverses, et ne s'arrêtent que rarement dans les mêmes stations pour des motifs identiques.

Cependant il y eut deux branches de la physique des anciens qui participèrent du progrès des sciences mathématiques ; et ce fut parce qu'elles y étaient liées. L'acoustique d'abord, en ce qui concerne la théorie des sons, la construction des instruments, et l'alliance à établir entre le calcul et l'observation des consonnances, donna lieu à de nombreuses recherches. Euclide et Pto- Iémée, entre autres, écrivirent des traités d'harmonie (3). L'école

(1) Ci-dessus, liv. vï, § il, 2.

12) Voyez une énumération de ce genre et qu'il serait aisé d'étendre dans V Histoire des mathématiques en Italie, 1. 1, p. 55, et 100, sqq. (Voyez aussi ci-dessous, n* 12.)

(3) Ces deux ouvrages nous sont parvenus. — Les anciens ne connurent pas

des mathématiciens finit par l'emporter sur les aveugles théories d'Aristoxène et de ses élèves, qui prétendaient s'appuyer sur l'expérience et qui consacraient l'arbitraire. On ^«fforça d'aecorder les principes de Pythagore avec les données de l'observation : jamais cependant la théorie de l'acoustique ne dépassa la connaissance du rapport de la hauteur des sons à la longueur dçs cordes vibrantes; et le rapport de ces deux éléments au nombre des vibrations ne devint pas. un principe universellement reconnu ni dont on s'attachât à tirer des conséquences (1).

L'optique, aussitôt que la propagation de la lumière en ligne droite et l'égajjté (tes angles d'incidence et de réflexion eurent été reconnus^), put s'enrichir de nombreux problèmes el «efqrmer scientifiquement comm,eune dépendance de |a, géométrie ej,a> l'astronomie. A la théorie de |a réflexion, Archimède ajouta celle fle, la réfraction, mais ses recherches ne npus sont pas connues ; il expliqua par la réfraction le grossissement des objets da^s l'eau et celui de la lune et du soleil à l'horizon, hypothèse adoptée par Ptolémée (3). Ce dernier, qui connut également et qui finit peut être par préférer une explication de la lune horizontale, plus exacte et assez conforme à celle que Malebraqche a proposée, découvrit ensuite les changements apparents que la réfraction apporte à la hauteur des astres voisins de l'horizon (4). Quant à la partie purement physique ou physiologique de l'optique, elle demeura inhérente aux divers systèmes de philosophie, et ne forma pas, un corps de doctrine assuré, autant qu'on en peut juger à l'imperfection des théories qui noi» sont, parvenues (5). On expliquait généralement les phénomènes

l'harmonie proprement dite ou contrepoint. Il ne s'agit que de l'harmonie de succession des sons ou mélodie. (Voyez, sur la musique des anciens, Montucla, t. I, p. 122, sqq., de VHist. des mathèm.; et M. Th.-H. Martin, Études sur le Timee, t. I, p. 389.1

(1) Aristote varie à ce sujet; il connaît cependant la vraie théorie. Boëce l'expose nettement d'après Nicomaque. Les pythagoriciens, en général, et Platon, en professent une autre qui esc fausse. (Th. H. Martin, loc. cit., p. 393.)

(2) Ces deux principes sont manife>tement supposés dans le Timée.

(3) Libri, Hist. des math, en Ital , t. I, note 3. M. Ideler, cité par M. Libri, a recueilli plusieurs textes où la Catopirique d'Archimède est relatée.

(4) Roger Bacon, dans Montucla, t. I, p. 308. L'optique de Ptolémée est aujourd'hui perdue.

'6) Euclide, Optique et Caloptrique. Cet ouvrage est peut-être supposé ou interpolé (Montucla, p. 226). Mais il ne paratt pas que le traité de Ptolémée valût mieux quant à la physique (id.. p. 808).

de la vue, -conformément aux idées d'Empédocte et de Platon, par lff rencontre du rayon de l'œil et du rayon de l'objet : ainsi !à*teture de la lumière était confondue avec celle de la vision, et ce mélange de foptiqne mécanique avec les considérations relatives aux ^fipnk M à la vie dut nuire essentiellement à ses -^ progrès.

■ • ^ 4 •*? JH. Dans l'encyclopédie des connaissances modernes, la physi- 1 ^ v jbI* et la chimie comblent l'intervalle qui sépdre les sciences ma- /. f înématiques de celles qui ont pour objet l'homme ou la nature ^** aartaée. La physique et la chimie appartiennent, par leur but et ' par letyr'mèlhode, à la fois à l'ordre des choses rationnelles et à *? l'ordre des çboees vivantes. Les anciens, qui manquèrent ces deux sciences* et qui ne connurent pas la vraie méthode expérimentale, ne prirent donc appliquer l'observation qu'à l'histoire naturelle, et, ce qui présentait des difficultés plus grandes, à la physiologie et è la médecine.

Parmi les anciens philosophes , Empédocle , Anaxagore , Diogène d'Apollonie , s'étaient fait remarquer par des essais dans les sciences d'observation, où l'hypothèse, il est vrai, jouait un grand rôle , mais où la connaissance régulier* des faits cherchait à se dégager. Les pythagoriciens , surtout Àlcméon de Crotone , c'étaient livrés à l'étude de l'anatomie et de la physiologie. Alc- >, '.îpéon avait disséqué des animaux (4). Philolaiis était parvenu à nne* doctrine générale de la vie, à une classification des êtres, dont ••'.' le temps et les travaux les plus récents parmi nous ont confirmé la valeur philosophique (2). Avant Aristote, enfin, un philosophe • universel comme lui par ses connaissances, Démocrite, avait consacré de grands travaux à l'histoire naturelle , et fait de nombreuses anatomies d'animaux dans le but- de fonder la pathologie (3). Mais le génie propre de l'observateur parut dans Aristole.

|1) Aristote, de la Génération des animaux, ni, 2.

(2) V., ci-dessus, 1. ni, § iv, n° 13. Cf. Littré, OEuvres d'Bippocrale, introduction, p. 15 : u II serait facile de voir, dans ce fragment de Philolaûi (theologumcna arithmetices, 4), un germe de la grande idée des anatomistes modernes qui cherchent à démontrer l'uniformité d'un plan dans le règne animal. »

(3) Parmi les livres de Démocrite cités dans le catalogue deDiogène {Vies, ix. 43-50) , nous en trouvons sur les plantes, sur les animaux, sur l'aimant. M. Littré, loc. rit., pag. 20 et 21, a relevé ceux qui ont trait à la médecine. Toutes les s icnncfi, snns exc »pt : oi\, et tous \es W.s avaient occupé ce prodigieux génie, et

Cette histoire des animaux, encore aujourd'hui si admirée (4), et tous ces traités des Parties, du Mouvement, de la Marche^ de la Génération des animaux, qui lui servent de complément , et qu} représentent, comme on l'a dit (2), des essais d'anatomie comparée, de physiologie comparée , ce traité dê& Plantes, dont le texte original est perdu, la Météorologie, les frébléme^ enfin, sont des recueils où les faits sont étudiés, présentée en eux-mêmes , pour ..■ eux-mêmes, quelquefois avec ce mélange d'hypothèse qui ne peut jamais être proscrit rigoureusement , toujours avec l'esprit de la science. Ce furent les premiers efforts de l'esprit pour écrire une histoire en quelque sorte impartiale et désintéressée delà nature. L'antiquité, peu patiente en science, n'imita pas assez ces heureux , # . efforts. Les méthodes d'observation firent un progrès encore, un grand progrès, dans l'école d'Alexandrie, un siècle après Aristote; des résultats furent obtenus en anatomie comme en astronomie. Plus tard , on ne songea plus qu'à compiler.

Nous devons présenter en quelques mots les faits les plus saillants de l'histoire de l'anatomie, de la physiologie et de la médecine dans l'antiquité. Mais il suffira de les connaître en général et pour ce qui concerne la philosophie. Quoiqu'il paraisse assuré qu'Aristote et les médecins de l'école hippocratique ont disséqué des corps humains (3), aucun des systèmes spéciaux de l'organisme ne fut parfaitement connu de leur temps. D'abord, pour ce qui est du système nerveux, du rôle de l'encéphale dfltra l'économie et de la question du siège de l'intelligence qui s'y rattache, nul résultat définitif ne fut obtenu. Nous avons vu quelle divergence d'opinions s'était produite entre les philosophes anciens. La plupart des hippocratiques placèrent dans la tête l'origine de l'intelligence et de la sensation . Les pythagoriciens et Platon conçurent la même idée ou s'en éloignèrent peu , mais la nature.

de tout cela rien ne reste. Nous avons vu quelles difficultés il fallait vaincre pour retrouver les traces d'un certain système de métaphysique, qui appartient à Démocrite aussi et qui est nécessaire à l'achèvement du cycle de la philosophie grecque.

(1) Cuvier, Cours d'histoire des sciences naturelles, l r « partie, p. 137-187.

(2) Barthélémy Saint-Hilaire, art. Aristote, dans le Dictionnaire des sciences philosophiques, i, p. 199.

(3) Littré, loc. cit., p. 237. Cependant il est au moins certain que les dissections étaient rares du temps d'Aristote (Hist. des anim., i, 15).

et les fonctions distinctes des nerfs leur furent inconnues à tous (4). Platon confondit les nerfs, les muscles tenseurs et les ligaments (2). Aristote après lui alla jusqu'à nier que le cerveau fût le centre de l'intelligence et de la sensibilité ; il plaça ce centre au cœur (3) , où déjà il avait voulu, le premier, dit-il, placer celui de la circulation (i). La' tête ne fut, selon son système , que la glacière qui rafraîchit le corps, l'intermédiaire du cœur et des organes des sens. Les premiers enfin , les anatomistes d'Alexandrie reconnurent les véritables nerfs et les relations des nerfs avec la moelle épinière et le cerveau : Héropbile et Érasistrate, trois siècles avant notre ère, se livrèrent à celte étude , et ce dernier distingua même les nerfs qui servent à la motilité de ceux qui transmettent le sentiment (5). On sait que les alexandrins ne parvinrent pas à la connaissance distincte du système sanguin , comme ils étaient parvenus à celle du système nerveux , et que la circulation du sang fut toujours ignorée dans l'antiquité. Seuls quelques hippocratiques méconnus se rapprochaient de cette doctrine en soutenant que les organes qui portent le sang forment dans l'économie du corps un cercle sans fin ni commencement. Mais la plupart des philosophes ou des médecins cherchaient un centre au système sanguin. Après avoir à peu près parcouru tous les organes, ils se fixèrent au cœur avec Aristote, et Érasistrate regarda les artères et les veines comme y aboutissant toutes, de telle sorte que chacun des systèmes commençât où commence l'autre et s'abouchât à un ventricule propre. Mais cet habile anatomiste partagea l'erreur d'une grande partie de l'antiquité , qui consistait à affecter les veines au transport du sang et les artères au transport de l'air. Cette doctrine , en elle-même très remarquable , avait été celle d'Hippocrate , de Diogène d'Apollonie , d'Aristote et de Théophrasle ; elle se rattachait de près à la distinction très-ancienne entre les artères et les veines, que le nom commun de veines, donné en grec à tous les vaisseaux, a fait jusqu'ici méconnaître aux histo-

(l) Voyez M. Th.-H. Martin, Éludes sur le Timée, t. II, notes 140 et 147. (2j Id., ibid., 152 ; et Littré, loc. cit., p. 235.

(3) Id., ibid., 167. Voyez surtout Aristote, de Seneclute etjuvenlute, c. 3.

(4) Littré, loc. cit., p. 218; et Aristote, Hist. des anim. y m, 2 et 3; des Parties, m, 4.

(5) Id, ibid., p. 236.

riens ; et si Ton remarque qu'Hippocrate donnait à l'air la fonction d'alimenter la chaleur innée , si Ton se rappelle que l'hypothèse de la circulation de l'air servait de base à la théorie de la respiration d'Empédocle et de plusieurs autres philosophes, on reconnaîtra que cette hypothèse était nécessaire pour systématiser de certains faits que des découvertes récentes ont pu seules éclairer d'une véritable lumière (4).

Quoi qu'il en soit, les théories de la circulation et de la respiration demeurèrent incertaines dans l'antiquité, et Galien pensa, comme l'avait pensé Platon , que le foie était le point de départ des veines ; mais il ne les confondit pas comme lui avec les artères , qu'il centralisa au cœur ; il ne leur donna pas les fonctions des nerfs , qu'il centralisa au cerveau ; et il ne crut pas tout à fait que les aliments pussent traverser les poumons, erreur depuis long-temps réfutée (2). Galien , qui vivait au milieu du second siècle de notre ère, représente le dernier état de la science dans l'antiquité, et, plus qu'aucun autre écrivain, il en fait connaître l'état antérieur à son temps. Ce temps est au surplus celui des commentateurs, et non plus celui des savants.

La médecine ancienne a , comme la philosophie , son origine dans l'ordre sacerdotal. Les prêtres d'Esculape recevaient les malades dans leurs temples ; après un jeûne de purification, ils les soumettaient la nuit à l'inspiration divine ; ils les traitaient conformément aux conseils du dieu, dans ces lieux admirablement situés, entourés de bois sacrés, où la sainteté et la santé devaient se rencontrer à la fois. Des tablettes, suspendues aux voûtes de ces temples, faisaient mention des malades, indiquaient tes maladies et les traitements ; ainsi ces prêtres, qui d'ailleurs parcou-

(1) Littré, ibid., p. 201-223. — Platon confondait les artères et les veines, et faisait circuler l'air dans les unes et dans les autres {Étude* sur le Timée, t. H, notes 140, 163, 167). Le savant auteur pense quefraxagore, qui Virait vers la In du quatrième siècle avant notre ère, et qui, en observant de plus près les pulsations des artères, avait achevé de les distinguer des veines* fut le premier qni affecta les artères au transport unique de l'air, tandis qu'avant lui on le faisait aussi porter dans les veines. Nous devons préférer l'opinion si bien déduite et en elle-même si lumineuse de M. Littré. Elle a été suivie aussi par le docteur Daremberg, auteur d'une traduction d'oeuvres choisies dHippocrate (Charp. 1843, p. 468).

(2) T.-H. Martin, Éludes §ur U Timée, notes 140, 142, 14t.

raient les contrées et ne demeuraient point enfermés dans leurs sanctuaires (4), avaient dû rassembler des faits nombreux et compiler quelques règles. Vers le temps d'Hippocrate , deux méthodes se partageaient cette médecine sacerdotale , déjà libre et douée de l'esprit de la science, qui s'enseignait dans les temples devenus écoles. A Gnide , on reconnaissait un très-grand nombre de maladies, on les multipliait à peu près selon les symptômes (2). A Cos , on voulait plus particulièrement les réduire à de grandes classes, en observant la marche du mal et celle de la nature qui guérit. C'est de Cos , c'est de la famille même des asclépiades que sortit Hippocrate, contemporain de Démocrite et de Socrate, dont l'immense renommée, publiée dans la Grèce et dans le monde, dont la florissante école et, bientôt, l'autorité presque divine consacrèrent pour la postérité l'une des grandes tentatives du génie grec : soustraire la science du corps humain et l'art de le conduire , à la fois aux prêtres , aux castes et à l'empirisme (3).

Pour ce qui est des prêtres et des castes , cette tentative fut couronnée d'un plein succès ; mais elle était l'œuvre de la Grèce entière (4). Si du même coup la connaissance de l'homme physique échappa à l'empirisme , elle gagna sans doute , en devenant une science, ce qu'elle perdit comme art en se séparant de la religion; mais devint-elle une science en effet, c'est ce que nous

(1) Les asclépiades formaient, du reste, une corporation dans la Grèce, mais non pas une seule famille, une caste. (Littré, Introduction, p. 10 et 11.)

(2) Cette école produisit les Sentences gnidiennes, recueil aujourd'hui perdu, qu'Hippocrate réfute et dont il cite une seconde édition en progrès sur la première. (Hippocrate, du Régime dans les maladies aiguës, init.)

(3) Il en fut de l 'autorité d'Hippocrate dans l'occident à peu près comme de celle d'Aristote, sauf qu'elle s'établit plus tôt, au moins en ce qu'elle avait de raisonnable (Platon, Protagore, pag. 15; et Phèdre, pag. 110; Aristote, Politique, vu, 4; Cf. Aristophane, Thesmophories, v. 270). Entre Platon et Aristote, M. Littré (p. 70) trouve encore deux témoins qui concourent à fixer l'âge et la personnalité d'Hippocrate : à savoir, Ctésias et Dioclès de Caryste. — Après l'ère si longue des commentateurs, l'autorité d'Hippocrate devint une infaillibilité déclarée; du moins l'un d'entre eux, Théophile, qui vivait sous Héraclius, regarde comme assuré que le père de la médecine ne s'est jamais trompé. (Lit* tré, p. 129.)

(4) La médecine de l'ancien Orient est peu connue ; mais on peut voir dans Hérodote (Euterpe, 84) un détail de l'organisation médicale de l'Egypte, qui certainement était empirique et fondée sur le principe des castes.

devons nous demander. Ici la lenlalive paraît surtout appartenir à Hippocrate , qui voulut établir la médecine non-seulement audessus de l'expérience incertaine et vulgaire , mais encore audessus de l'hypothèse, et la fonder dans une indépendance parfaite delà philosophie, science générale, et loin de ses variations et de ses erreurs. C'était au siècle des sophistes, au siècle de Socrate : l'école pythagoricienne , qui déjà dans l'antiquité avait fondé plusieurs sciences , inspira à Hippocrate la pensée de fonder celle rie la médecine par la recherche des éléments et des lois du corps humain dans la santé et dans la maladie. Déjà Alcméon de Crotone s'était fait un système médical fondé sur le principe des qualités contraires, froid et chaud, sec et humide , amer et doux , dont l'équilibre constitue le corps sain , dont les excès engendrent les maladies (4).. Comme lui, Hippocrate chercha la cause immédiate des désordres du corps dans les qualités des humeurs et dans l'inégalité de leur mélange, en même temps qu'il l'envisagea quelquefois dans les figures ( formes ou dispositions des organes) (2). Mais il combattit ceux qui pensaient que les qualités isolées pouvaient être administrées comme remèdes aux corps qui s'en trouvaient dépourvus. Toutes les qualités, dit-il , s'accompagnent les unes les autres, et dans ce sens il n'existe pas de remède simple (3). Que faire alors? S'en rapporter à l'observation pour la connaissance des remèdes ; étudier , et quant à l'hygiène et quant à la pathologie, l'effet des saisons, des climats, des localités, des circonstances , l'effet des divers exercices et des diverses nourritures; puis demander encore à l'observation la détermination mathématique des signes et des temps, celle des lois qui règlent le cours des maladies et permettent de le prévoir. De là, cette fameuse prognose d'Hippocrate, qu'on a si bien définie : une connaissance de l'unité de la maladie, dans le passé, dans le présent et dans l'avenir (4).

(1) Ps-Plutarque, Opin. desphil., v, 30.

(2) Figures, «rç^aTa, c'est le mot pythagoricien. M. Littré remarque cependant qn'Hippocrate s'attache pi is particulièrement aux humeurs {Inlr., p. 446).

(3) Hippocrate, de V Ancienne médecine, pag. 604, $06. Littré. (V. la belle démonstration de l'authenticité de ce traité, Intr., p. 294-320.)

(4) Littré, Intr., 453, sqq.

Connaître la variété dans l'unité, en fixer les lois, ramener par là même toutes les maladies à un seul état de désordre, savoir par expérience quel traitement convient à chacune des périodes de cet état, ou quelle en doit être l'issue, c'est là toute la science; et Ton voit, ce qui pouvait être prévu, que cette science n'existera qu'à la condition que les nombres de la maladie, pour ainsi parler , soient tous déterminés , que tous les passages du mal soient réduits en série, et qu'à la série connue de la nature pathologique le médecin puisse substituer une série nouvelle également connue en modifiant l'état du corps à un instant donné. Voilà donc ce qu'Hippocrate essaya : il fut pythagoricien en théorie, c'est-à-dire croyant aux nombres, aux lois, à l'ordre en un mot, jusqu'au sein du désordre ; il fut observateur en pratique, c'est-àdire qu'il demanda aux faits plutôt qu'à la science générale, toutes les notions de détail qui s'ont requises pour l'art médical. Cet admirable génie comprit ce que la doctrine médicale serait si jamais elle devenait doctrine : l'étude des crises , c'est-à-dire des efforts que fait la nature pour expulser le mal, celle des dépôts et de la coction des humeurs auxquelles ces crises se rapportent, celle enfin des jours critiques où se prononce l'intervention du nombre dans la maladie , furent les moyens qu'il employa pour obtenir cette doctrine. Mais il ne se fit pas illusion sur les difficultés qu'elle présentait, puisqu'il écrivit cet aphorisme qu'on ne saurait trop citer ni admirer : « La vie est courte, l'art est long, l'occasion fugitive, l'expérience trompeuse, le jugement difficile (4), » et qu'il donna à ses successeurs un conseil dont se scandalisait Galien encore jeune: Soyez utile au malade, ou du moins tâchez de ne pas lui nuire (2). Pour qu'elle échappât à l'empirisme, il faudrait que la science du corps humain parvînt à déterminer la loi des maladies, suivant l'esprit d'Hippocrate. Au défaut de cette loi qu'Hippocrate chercha

(1) Hippocrate, Aphorismes, î, 1. Le dernier traducteur, M. Daremberg, a traduit i«tp& ocauçi par empirisme dangereux. Outre que l'unité de la pensée est rompue pur l'introduction de l'idée d'un système là où il n'est d'ailleurs question que de la vie et des facultés humaines, nous ne pensons pas que ni?* soit l'empirisme, pas plus que xfwnç n'est le raisonnement. M. Littré et MM Lallemand et Pappas, qui ont publié, en 1839 (Montpellier et Paris), une excellente traduction des Aphorismes, nous servent ici de guides.

(2) Hippocrate, Épidémies, liv. î ; et Galien, t. V, p. 370, Basil.

lui-même, qu'il crut trouver peut-être, et que ses successeurs n'ont point reconnue, le médecin a dû se livrer à une étude de plus en plus attentive et divisée des organes et de leurs lésions : un désordre à peu près illimité s'est introduit dans les classifications et dans les traitements , de même qu'il est demeuré dans les maladies et dans leur marche irrégulière et variable; et la médecine, dans une situation intermédiaire entre Fart toujours si difficile, et la science imparfaite et peu mathématique, est, dans un grand nombre de cas, plutôt l'œuvre de la personne que celle du savant. D'un autre côté , pour échapper à la philosophie , l'étude du corps devrait avoir un objet propre et parfaitement défini ; elle devrait suivre une méthode invariable. Il n'en est pas encore ainsi de nos jours : la cause et la nature essentielle des maladies, la nature du corps lui-même et des relations du corps avec le monde extérieur, et avec la pensée, dépendent encore de l'hypothèse ; et comment l'hypothèse changerait-elle sans que la thérapeutique changeât? Et la méthode expérimentale, en supposant qu'elle fût reconnue de tous en médecine, est sujette à de nombreuses et graves difficultés : l'expérience tentée sur les corps vivants ne peut jamais ni se répéter deux fois dans des circonstances identiques , ni permettre de conclure rigoureusement d'un fait à une cause nécessaire. À plus forte raison, et malgré l'autorité d'Hippocrate (4), la médecine ne se sépara pas entièrement de la philosophie chez les anciens. Avant Hippocrate, des philosophes l'avaient fondée sur leurs hypothèses (2), après lui, des sectaires la fondèrent sur leurs opinions. C'est en vain que ce créateur de la médecine dogmatique voulut établir un système immuable entre l'empirisme des prêtres et les suppositions aventurées des sages

(1) Celse, deMedicina, prœmium : « Primus... ab studio sapientiœ disciplinant hanc separavit. »

(2) Ànaxagore regardait la bile comme la cause des maladies aiguës (Aristote, de Part, anim., iv, 2). Empédocle voulait déduire la médecine de la connaissance de l'homme, de sa nature et de sa composition (Hippocrate, de l'Ancienne médecine, p. 621); et la plupart des philosophes, réduisant le principe de la nature à un seul agent ou à deux, voulaient y réduire aussi le principe des maladies (id., ibid., 570). — Enfin, tandis que les philosophes et les asclépiades traitaient les maladies aiguës, les maîtres de gymnase se firent aussi médecins, et s'occupèrent surtout des maladies chroniques. Hérodicus et d'autres cherchèrent dans les exercices du corps des moyens thérapeutiques, et se mirent dans une grande vogue. (V. ci-dessus, t. T, V, vi, 6.)

ou sophistes. Il reprocha à ces derniers de s'attacher moins à un art réel qu'à une sorte de médecine graphique, en voulant déduire la science médicale de la théorie de l'homme, au lieu de déduire la connaissance de l'homme de celle de toutes les relations qui constituent la médecine et qui sont plus aisées à découvrir (4 ). Mais l'élude de ces relations fut plus difficile encore qu'Hippocrate ne l'avait pensé et l'empirisme reparut, élevé à l'état de système; et les hypothèses reparurent aussi. Au commencement du troisième siècle avant notre ère , Sérapion d'Alexandrie et Philinus, disciple d'Hérophile, enseignèrent que le raisonnement était dangereux et prescrivirent l'empirisme au médecin. De ce jour exista et se propagea V empirisme , que ses partisans voulurent même faire remonter à Acron, un contemporain d'Empédocle. De son côté, le dogmatisme se modifia et il eut ses variations. Le célèbre Asclépiade, ami et médecin de Cicéron, qui restitua la médecine d'Archagatus (2), combattit quelquefois Hippocrale : il admit les pores et les atomes (3). Thémison de Laodicée , son disciple , fonda la grande secte des méthodistes, qui, à l'inverse d'Hippocrate, disaient Vart court et la vie longue[£). Ceux-ci s'accordaient avec les dogmatiques à permettre le raisonnement, avec les empiriques à nier les causes occultes. Sans tenir compte de

(1) Hippocrate, de l'Ancienne médecine, p. 621, sqq. C'est à ce passage, suivant M. Littré, que Platon fait allusion, Phèdre, p. UO (Cousin), u Socrate. Penses-tu qu'on puisse connaître jusqu'à un certain point la nature de l'âme sans étudier la nature de l'ensemble des choses! Phèdre. Si Ton en croit Hippocrate, le fils des asclépiades, on ne peut comprendre même la nature du corps sans cette méthode. Socrate. C'est très-bien, mon ami, qu'Hippocrate s'exprime ainsi; mais, outre Hippocrate, il faut interroger la raison et examiner si elle s'accorde avec lui. Phèdre. Sans doute. Socrate. Vois donc ce qu'Hippocrate et la raison pourraient dire sur la nature. Quel que soit l'objet dont on s'occupe, n'est-ce pas de la manière suivante qu'il faut procéder : examiner d'abord si l'objet sur lequel nous voulons nous instruire et instruire les autres est simple ou composé ; ensuite, dans le cas où il serait simple, considérer quelles sont ses propriétés, quelle action il exerce ou subit; enfin, dans le cas où il serait composé, en compter les éléments, et faire pour chacun de ces éléments ce qui avait été fait pour l'objet simple, c'est-à-dire l'étudier à l'état actif et à l'état passif.» (Trad. de M. Littré.)

(2) Archagatus vivait un siècle avant Asclépiade, et fut le premier médecin non empirique qui s'établit à Rome.

(3) Sextus, Adversus geometras, 5.

(4) Ce mot est de Thessalus de Tralles, qui réfuta les Aphorisme* (premier siècle de notre ère).

DE PHILOSOPHIE ABCUOUfE. 377

l'âge, des habitudes, de la saison ou de l'organe malade, ils ramenaient tous les états du corps à deux états généraux qu'ils avaient leur manière de traiter (4). Ensuite les méthodistes et les dogmatiques se divisèrent en d'autres sectes : il y eut, par exemple, des éclectiques et des épisynthétiques ; il y eut des pneumatiques , qui reprenaient l'ancienne hypothèse de l'air vital : enfin , la réalité de la médecine put être contestée comme celle de la philosophie (2), et jamais cette science ne causa d'embarras aux sceptiques dont un si grand nombre, au contraire, et de tout temps , fut élevé dans son sein et put se partager entre ses systèmes (3).

XII. On voit que les méthodes d'observation suivirent une marche réellement progressive dans l'antiquité , mais que pour aucune des parties de la science elles ne purent obtenir une constitution définitive. On peut marquer trois époques dans ce progrès, dont le but final ne fut ni atteint, ni même connu, mais le long duquel, pour ainsi dire, certains résultats très-heureux furent acquis. La première époque est celle des anciens naturalistes, surtout d'Empédocle et des pythagoriciens , d'Anaxagofe et de Démocrile.; la seconde est celle d'Aristote; la troisième, celle de l'école d'Alexandrie. Il est bien vrai que les meilleures hypothèses, celles qui eussent été le plus propres à favoriser le classe- 1 ment des faits observés , appartinrent souvent aux physiciens les plus anciens et furent abandonnées par leurs successeurs (4) ; ce-

(1) Ces deux états sont le relâchement et le resserrement. Les méthodiques agissaient surtout en modifiant l'air atmosphérique ambiant.

(2) Déjà du temps d'Hippocrate on niait cette réalité {de V Art, passim). Hippocrate, qui cherche à l'établir, considère la médecine comme un art, et cela non pas de nom seulement, mais au fond, ainsi que le fait assez voir l'ensemble de ce petit traité. C'st dans le Pronostic et dans les Aphorûmes particulièrement qu'il touche aux points par lesquels l'art pourrait devenir une science rationnelle.

(3) Sextus, Hy pot y poses, i, 236. On doit regretter, pour l'histoire de la philosophie et des sciences, la perte des écrits des médecins des diverses écoles de l'antiquité non-seulement avant Hippocrate, mais après lui, et de ceux même de l'école d'Alexandrie. Celse et Galien ne sauraient suppléer à tout ce que ces ouvrages nous eussent fait connaître. Quant à la collection hippocratique, bien que les livres authentiques d'Hippocrate s'y trouvent mêlés à ceux de ses disciples, et quelquefois à des recueils très-imparfaits de notes, M. Littré a montré qu'elle ne devait pas être attribuée à des faussaires et qu'aucune partie n'en était postérieure à Àristote et à Praxagore (Intr., p. 262, sqq.).

(4) On trouvera, dans la table alphabétique de ce Manuel, Vtad\£«.\Sa < & &%%.

pendant l'esprit d'observation s'étendit, et les découvertes indépendantes de toute hypothèse se multiplièrent. Aristote, en cela» surpassa les anciens philosophes dont il ne réfuta souvent les opinions très-fondées que par attachement pour l'observation qui semblait les contredire (4); et lui-même fut surpassé par l'école d'Alexandrie. Nous avons dit par quelles inventions cette école se signala dans l'astronomie , dont elle fixa la vraie méthode à la fois expérimentale et mathématique, et dans la connaissance du corps humain dont les (ois malheureusement sont bien plus rebelles à la science. Nous avons dit aussi que la critique et l'archéologie rationnelle naquirent et moururent dans l'antiquité avec ces quelques générations de savants alexandrins. De toute cette science des lettres qu'ils entreprirent de fonder, presque rien ne nous est parvenu. Cependant ils nous ont conservé des livres, et l'on ne peut douter que le zèle des Ptolémées n'ait sauvé de l'oubli des œuvres anciennes et rares pour lesquelles le monde nouveau devenait tous les jours plus indifférent (2). L'Alexandrie des Juifs, des Phéniciens, de l'Orient, envahissait rapidement l'Alexandrie grecque ; à l'éclectisme succédait le syncrétisme : la critique et les méthodes furent débordées et bientôt disparurent.

En l'absence de toute idée d'un développement graduel et ordonné du savoir , dans cette sorte de dispersion de la doctrine et des savants, comment les anciens pouvaient-ils juger la science? Envisagée chez les philosophes, elle se présentait comme incohérente ou contradictoire ; et les sciences séparées n'avaient pas encore été reconnues pour appartenir à des corps, en quelque sorte sacerdotaux, qui eussent leur religion, leur culte, leurs traditions

principales conceptions d'histoire naturelle ou de physique aujourd'hui adoptées ou confirmées par la science moderne. Nous avons dit ci-dessus que ces idées, en quelque sorte fugitives, des anciens ne nous semblaient pas avoir toute l'impor ance qu'on leur a quelquefois accordée. Elles sont curieuses néanmoins et bonnes à signaler.

(Il Citons, par exemple, la respiration des poissons, le transfert de la lumière, le mouvement libre des astres, etc., etc.

(2) Voyez, dans G al i en, OEuvres, Basle, t. V, pag. 412, une anecdote concernant l'exemplaire authentique unique des tragédies d'Eschyle, de Sophocle et d'Euripide, que Ptolémée Evergète emprunta sur gage aux Athéniens, et dont il se borna à leur renvoyer une copie, leur disant qu'ils n'eussent qu'à garder le dépôt qu'il avait mis entre leurs mains.

propres , qui se recrutassent par eux-mêmes , et qui obtinssent au moyen d'un succès continu dans les applications, une sanction pour la vérité de leur? théories. Ainsi donc, à juger d'une ma-' nière absolue la science des anciens, on pouvait en contester la valeur. Un esprit sévère, difficile, impartial, pouvait aisément arriver jusqu'au scepticisme en cherchant le repos de la pensée : « Et moi aussi, dit Galien, je serais tombé dans le doute a des pyrrhoniens, si je n'eusse possédé la géométrie , l'arith- » métique, la logistique, dont tout enfant, j'appris de mon père » et de mon aïeul les éléments et la théorie (1). » Ces paroles du grand médecin, sont remarquables ; l'exception qu'il établit pour la logique et les mathématiques semblerait bien fondée , et môme les sceptique^ pourraient nous paraître inexcusables à l'égard de ces deux sciences, si les mathématiciens avaient pu, se débarrasser de la discussion des principes, et les logiciens se borner au syllogisme, en abandonnant le problème de l'origine et de la nature des connaissances.

Toute la question du scepticisme est dans les principes ; c'est donc aux principes que doit s'attacher Sextus dans ses livres contre les savants, critique des sciences encycliques, J-e reste de la science lui importe peu, puisqu'il prétend de deux choses l'une, *

ou atteindre à la certitude, ou se confirmer dans le doute sur la possibilité d'y parvenir. Ainsi que les mathématicien» ne s'étonnent pas si Sextus n'examine que les fondements de leur doc- à trine. A-t-il affaire à ceux d'entr'eux qui s'occupent de la quantité continue, aux géomètres (2) , il dirige tous ses efforts contre l'idée i même de la continuité, en supposant, comme eux, que cette idée peut avoir un fondement réel dans les choses, ou tout au moins présenter à l'esprit des vérités intelligibles qui n'aient rien de contradictoire , et il fait voir aisément qu'une telle supposition n'est pas légitime. Sextus s'en prend d'abord à Yhypolhé»e que les mathématiciens placent à l'entrée de la science, et, à l'exemple de Timon, il se demande s'il est bien permis de faire des hypothèses : Ou l'hypothèse, dit-il , est bonne en elle-même et en tant qu'hypothèse , ou elle est vicieuse ; dans le premier cas ,

(1 . Galien, de Librig propriis, cité par Mémage, NoUs aur Diogeme, ix, 106. (2) Advrrsut wuitkrmolico*, 1. in : advenu* geometra».

l'hypothèse qui consiste à demander le contraire est également bonne; dans le second, il ne faut s'en permettre aucune. De plus, ou le sujet de la demande est évident en soi comme la lumière du jour, que personne ne sera tentédft poser par hypothèse; ou il ne l'est pas, et l'hypothèse alora qa'apporte-t-elle? Maison dit que les conséquences vérifient les hypothèses; en ce cas, les conséquences mêmes, qui les vérifiera ? N'accorde- t-on pas d'ailleurs que des conclusions vraies peuvent se tirer de principes faux (4)?

Passant à l'examen de la quantité continue, Sextus ramène toutes les difficultés à celles que présente la notion du point : il suffit du moins de les généraliser pour les appliquer aux notions de . la ligne et de la surface. Le corps, disent les géomètres , est ce qui a trois dimensions, longueur, largeur et profondeur; le point est ce qui est sans parties , et la fluxion du point engendre la ligne, la fluxion de la ligne engendre la surface ; la fluxion de la surface engendre le solide. Le point est-il corps ou incorporel? Incorporel, dit-on. Comment donc peut-il engendrer quelque chose? L'inapparent doit être révélé par les phénomènes; or, il est aisé de montrer que , pour les sens, il n'est rien d'indivisible et sans parties. Si le point, produit la ligne , peut-il bien n'avoir pas de longueur? L'extrémité du rayon dont le mouvement décrit la circonférence, les points d'une sphère qui roule sur un plan, engendrent des lignes. Ératosthène prétend que le point n'occupe ou ne mesure aucun lieu sur la ligne, mais qu'il flue seulement.

. Qu'est-ce donc que le flux , si ce n'est une propriété de l'eau (2)?

Maintenant, quel est le rôle du point dans la ligne? La ligne con-

£jste-t-elle en un seul point étendu ou en plusieurs points espa-

*.. êés? Les pointe se touchent-ils? et, s'ils se touchent, est-ce par V.^-fes parties ou dans leur entier? Tout cela abonde en contradic-

• tions : mais surtout si les points se pénètrent, la ligne n'existe

(1) Sextus, Adv. geom., 1-17.

(2) Td., ibid., 17-28 : « Est tamen et animo cemitur, >» dit Chalcidius en parlant du point, du otijjuïov àjitçi;, in Tim., p. 105, éd. Meursius. On trouvera peutêtre ici Sextus un peu sensualiste; mais il met l'imagination aux prises avec elle-même dans l'entendement. Nous ne connaissons pas de géométrie sans imagination.

plus; s'ils sont séparés, de même; et, s'ils ne se touchent qu'en partie, ce ne sont plus des points (4). La ligne en elle-même, longueur sans largeur, n'est ni sensible ni intelligible : je puis bien imaginer une largeur de plue en plus petite , mais la faire nulle , jamais. Ainsi l'analogie, qui es* le seul moyen que les géomètres puissent employer pour établir l'existence de la ligne, leur fait défaut : il cesse d'y avoir analogie quand le rapport essentiel est supprimé , et d'une longueur large à une longueur sans largeur, il n'y a pas d'assimilation possible. On parle aussi d'extension, on dit que, diminuant de plus en plus la largeur, on est amené à la poser nulle ; mais le genre est changé ; l'esprit ne suit plus (2). Aristote , qui commence par porter le trouble dans les rangs des géomètres en prouvant de mille manières Yimpensabilité de la chose , cherche à faire voir ensuite qu'on « peut penser la largeur d'une muraille sans en penser la profondeur : en quoi il se trompe ou veut nous tromper, car tout ce que nous pouvons faire , c'est de penser cette profondeur quelconque, et aussi petite que nous le voulons. La composition des surfaces et des solides est aussi difficile à imaginer que celle des lignes; la continuité des circonférences décrites par les points d'un rayon qui tourne autour du centre, celle des génératrices d'un cylindre, sont du même genre que celle des points d'une ligne, et !e contact des corps ou de leurs parties est absolument inintelligible. En résumé, les essences géométriques ne sauraient se déduire les unes des autres (3).

De nouvelles difficultés se présentent en général sur le rapport du corps à ses dimensions. Les dimensions se distinguent-elles du corps, se confondent elles avec le corps? Ni avant ni après leur combinaison, le vrai corps ne peut être imaginé ; et aucune d'elles n'apportant le corps avec soi, le corps n'existe donc pas (4). Enfki f

(1) Id., ibid., 29-37.

(2) Id., ibid., 37-57. —Cet argument s'applique sans difficulté à toutes les méthodes d'exhaustion ou de limites. L'extension, ItAtcwiç, dont parle Stxtus, est même une véritable exhaustion, comme le montrent les développements du texte.

13) Id., ibid., 57-83.

(4) Id., ibid., 83-92. On peut rapprocher de ce passage les inextricables discussions de l'école platonicienne sur les essences mathématiques. (Voyez ci-dessus p. 43, 204 et 206.)

si Ton voulait passer aux géomètres leurs principes et leurs hypothèses, on se trouverait encore arrêté aux définitions (i), puis aux constructions qui ne sauraient se rapporter à la ligne sensible tracée sur l'abacus, et qui, rapportées aux lignes intelligibles, exigent qu'on explique la nature des sections et le rôle du point de renqpntre dans la ligne sécante et dans la ligne coupée (2).

La réfutation des arithméticiens par Sextus est dirigée contre Platon et les pythagoriciens. Le critique n'a qu'un but, celui de renverser l'existence objective de l'unité et des nombres : et ses arguments n'ont de portée que contre une théorie aujourd'hui inconnue, plutôt encore qu'oubliée en arithnlétique. Si je supprime l'unité, dit-il, je supprimerai du même coup le nombre. Or, en soi, l'unité ne peut pas être pensée ; et, dans les choses que l'on dit en participer, cette pensée soulève beaucoup de doutes. Si , par exemple, du bois, que l'on dit participer de l'un, est tin luimême, alors- l'un sera du bois, et jamais autre chose. Si plusieurs participent de l'un, l'idée de l'un n'est donc pas une; l'un a des parties ; et alors je demanderai si ce qui est ainsi dans l'un, susceptible d'êlre nombre, participe de l'un ou n'en participe pas : dans le premier cas, la pluralité participe de l'unité , et l'on peut dire que deux est un; dans le second, les idées existent dans l'un indépendamment de toute participation , ce qu'on ne voudra pas admettre (3). Mais la composition du nombre n'est pas en ellemême plus claire que l'existence de l'unité. Platon déjà en avait remarqué les difficultés dans son traité de l'Âme (4) : placez l'un à côté de l'un, vous n'obtenez le deux ni en supposant qu'il se vient ajouter à ces deux unités, ni en supposant qu'elles demeurent dans leur état ou que quelque chose leur est enlevé. Et, en général, l'addition et la soustraction sont des opérations inintel-

(1) Sextus examine (ibid., 93-108) les deux définitions essentielles qu'on a proposées pour la ligne droite, puis celle de l'angle, puis celle du cercle; et il fait de curieuses remarques et des objections qui ne peuvent être levées que par la théorie des idées en excluant toute prétention à la certitude objective.

(2) Ici le sceptique paraît avoir la confiance qu'il a trouvé des arguments tout nouveaux (ibid., n.° 108); mais, en réalité, ils n'ont de valeur que celle qu'ils empruntent aux objections générales déjà exposées. (108-116.)

(3) Sextus, Adv. arithmeticos, 14-20.

(4) C'est le Phrdon, p. 275 et 276. Cousin, V. ci -dessus, p. 16.

ligibles. Pense-t-on opérer sur le tout proposé? cela ne se peut faire, car il cesserait d'exister alors même : et ce n'est pas de dix qu'on aurait retranché un , puisque dix ne serait plus. Estce sur une partie? le tout ne changera pas. Est-ce sur toutes? it ne changera pas de la manière attendue. Ainsi, ni l'unité nécessaire au nombre, ni le nombre formé d'unités ne sont choses intelligibles (4).

La science de Tordre et des mouvements des astres portait le nom d'astrologie dans la haute antiquité grecque , et encore du temps de Platon et d'Aristote, d'après lesquels nous avons employé quelquefois ce mot dans notre exposition. Sextus ne rapporte pas son traité contre les astrologues à celte doctrine, déjà implicitement réfutée , dit-il , avec l'arithmétique et la géométrie auxquelles elle peut se ramener tout à fait. Il n'a pas en vue non plus V astronomie d'Eudoxe et d'Hipparque [\) : tel est le nom qu'on donne quelquefois à une sorte de puissance prorrhétique, appliquée aux arts de l'agriculture et de la navigation , et fondée sur l'observation des phénomènes. Sextus reconnaît ce pouvoir de l'empirisme ; mais il veut montrer la vanité de la science généthliaque, de cette funeste superstition que les mathématiciens et les astrologues, ainsi que les Chaldéens s'appellent eux-mêmes, ont décorée de noms magnifiques. Nous ne suivrons pas le sceptique dans la réfutation d'une science qui n'appartient pas au cycle des sciences anciennes, selon !e plan que nous nous sommes tracé, si tant est qu'on ait jamais pu légitimement appeler

(1) 8extus, Adv. arithm., 20, jusqu'à la Un. — Le début de ce petit traité est consacré à une exposition rapide du système des nombres des pythagoriciens et de la théorie des idées de Platon. — Fabricius pense que les livres contre les géomètres et contre les arithméticiens ne formaient qu'un seul ouvrage dans la pensée de l'auteur (p. 33S).

i2) Sextus, Adv. astrologos, 1 et 2. — On sait que le nom d'astrologie demeura définitivement attaché à la doctrine des Chaldéens, et celui d'astronomie à la science d'Hipparque. Les prédictions dont parle ici Sextus sont des prédictions météorologiques. Hésiode, Eudoxe, Aratus et Virgile même s'en étaient occupés. C'étaient là des essais très -permis alors, dont les résu'tats, quoique illusoires, prirent à jamais possession des calendriers. Sextus fait ici preuve d'une crédulité doublement condamnable en un sceptique : il paraît croire à la possibilité de prédire des pestes et des tremblements de terre, tandis qu'il ne fait aucune mention des prédictions astronomiques très-légitimes de l'école d'Alexandrie. Cellesci aussi étaient fondées sur l'observation, et l'on pouvait les adopter sans renoncer à la qualité d'empirique.

science un amas de règles incohérentes établies sur des principes

spécieux , mais imaginaires.

Parmi les six arts ou sciences que Sextus attaque dans leurs fondements, nous devons compter la musique, dont les pythagoriciens ou platoniciens soumettaient les règles au nombre. Ici l'objet du sceptique est de faire voir qu'il n'y a de réel dans la musique que ce qui est phénoménal : les sensations qu'elle procure, les passions qu'elle excite. Il invoque l'idéalisme sensualiste des cyrénaïques ; il s'appuie même sur Platon et sur Démocrite pour nier l'existence réelle , objective , des choses sensibles ; il admet avec Aristole que la voix n'est pas corporelle, avec les stoïciens qu'elle n'est pas incorporelle, et il en conclut qu'elle n'est rien. Ainsi, dit-il, la voix, le sensible propre à Vouie n'existe pas, ni, par conséquent , le son , ni l'intervalle , ni la symphonie , ni la mélodie , ni la musique. Le rhythme ne soutient pas davantage l'examen : les rhythmes sont composés de pieds; les pieds, qui se marquent dans la danse , sont composés de temps ; et il est aisé de prouver, sans s'éloigner des dogmatiques eux-mêmes, que le temps n'existe pas plus que la voix. Il n'y a donc ni rhythme ni modulé dans les choses , et la musique disparaît du nombre des réalités à la suite des deux parties qui la composent (4). On voit que l'existence empirique de la musique n'est pas atteinte par cette argumentation ; mais comme science des réalités, la science des modes et des rhythmes ne pourrait subsister sans les nombres, que Sextus a déjà rejetés; et comme art, il faudrait, pour la reconnaître, lui accorder une fin certaine et des procédés constants en rapport avec cette fin. Or, cette question, selon Sextus, soulève beaucoup de doutes.

Ici l'argumentation du pyrrhonien se rapproche beaucoup de celle qu'il a dirigée contre les grammairiens et les rhéteurs. Il s'en réfère même à ce qu'il a dit de la poésie, que certains voudraient faire servir à la défense de la musique. Il sépare les causes de ces deux arts sans accorder pour cela que les poètes vaillent miejpx que les musiciens. Sextus expose l'histoire des opinions et des faits allégués sur l'utilité de la musique : il les

(1) là.,Adv. musicos, 38-59. On trouve là, conformément à l'usage de Sextus, les définitions et l'exposé des principaux éléments de la musique théorique des anciens.

réfute; il réduit toutes les causes de Fart à l'opinion, à l'imagination des hommes, tous le3 effets à des distractions passagères, et il déclare que l'utilité de la musique n'est pas plus évidente que les hypothèses des musiciens ne sont recevables (4). C'est en suivant la même marche, mais avec des développements plus étendus, que Sextus expose tout ce qu'il y a d'indéterminé dans le but, dans la méthode et dans la division de la grammaire, et tout ce qu'il y a de difficultés, de doutes, d'arbitraire attachés aux principaux éléments qu'elle envisage, noms, mesure, orthographe, héllénismes, étymologies ; qu'il met en évidence l'incertitude des témoignages, l'incertitude de l'histoire, tantôt humaine, tantôt mythique, les mensonges et l'immoralité des poètes, et l'inutilité des grammairiens, qui ne savent pas même expliquer Heraclite ou Platon. Il réduit ainsi l'art de la grammaire à un simple usage, à une routine ; puis il place la rhétorique à côté de la grammaire : il fait voir quelles sont les vanités de cet art prétendu de persuader, quels en sont les dangers, et qu'aucune sorte de persuasion ne saurait être atteinte au moyen de la parole, pas même quand on met la démonstration en usage, parce qu'il n'existe pas de démonstration (2) .

Après avoir ainsi parcouru les sciences encycliques , nous savons à peu près tout ce que le scepticisme pouvait opposer à l'ensemble des connaissances des anciens, hors de la philosophie. Les principes seuls ont été discutés , encore est-ce uniquement en tant que certains ou que réels : s'ils ne sont ni l'un ni l'autre, un sceptique les méprise, ainsi que toutes les conséquences prétendues rationnelles qui s'en peuvent déduire. La méthode est en effet frappée du même coup que les principes, quant à sa certitude , à sa vraie valeur. Ces questions sont examinées dans les traités contre les philosophes, et particulièrement contre les logiciens. Puisqu'il ne s'agit ici que de la science, nous ne pouvons revenir sur la réfutation des physiciens philosophes par les sceptiques , mais nous examinerons les arguments déjà mention-

(1) Id., ibid., i, 39.

(2) Id., ibid., Advenus grammaticot tt Adversui rhelores. Ces deux livres sont le* premiers de l'ouvrage Adttrtus nuitfiemolicos; puis rient la géométrie, pais l'arithmétique, puis l'astro'ogie ou mathématique proprement dite, enfin U manque.