PHILOSOPHIE MATHEMATIQUE

celle

. Lorsque Ramus voulut substituer la logique naturelle à e d'Àristote, et simplifier ainsi la science, il vit et signala

(1) Diea est la caitfe nnÏTerselIe efficiente et finale : Omniaproptcr ipsumjacta sunl, et chaque aninrial pourrait juger comme nous que tout a é\é fait pour lui, car tout est relatif dans U création. Lettre à Chiinût,ïl, 36.

(2) C'est ce que fait De&cartes, Médit.t VI, subfn PrinCf I, suijin. — Rêp.

«"* ohj. tPAtmaiid.

Hi MANUEL

dans les matliémaliques un exemple île la méthode universelle que redprit humain suit eu toutes choses. Il semble qu( Descartes, plus mathématicien encore que Ramus, n'ait été ei cela que son continuateur (I).

Descartes se vante en plus d'un endroit d'avoir indiqué pa sa dioptrique et par ses météores, qu'il était en possessioi d'une nouvelle et grande méthode pour les sciences, mais d ravoir démontré par sa géométrie. En effet, sa méthode gé( métrique est, en même temps, sa méthode générale. C'est ce que nous devons prouver ici, et en effet nous le déduiroj avec pleine évidence d'une analyse intime de la géométrie ( Descartes.

2. Dès la plus haute antiquité, l'étude de l'étendue figun qui est l'objet de la géométrie, nous parait soumise à une rè^ fixe : remplacer l'étendue réelle, ligne, point ou surface, p une conception de l'esprit, c'est-à-dire déûnir l'objet de la co naissance tel qu'on veut le considérer, et en abstrayant rig( reusement tout ce qu'on ne soumet pus à la recherche. \o l'origine et le fondement de la certitude géométrique ; les c( cl usions tirées par le raisonnement de ces conceptions mèi et des lois auxquelles nous les croyons invinciblement soumi sont vraies de ces conceptions et ne se réalisent qu'approxin tivement dans les formes sensibles qui nous apparaissent, nous ne connaissions que le sensible, il n'y aurait pas de g métrie possible, de même qu'il n'y aurait pas d^arilhmétiqui nous ne savions distinguer le nombre des objets nombr Ainsi, l'antique géométrie consista en définitions, en axioi et en déductions tirées de leur comparaison par l'esprit perçoit les rapports nécessaires que nos concepts ont ei eux.

(1) Platon et Artstote comme Hippocrate et Galien, et toiui le* artistei, ont seule et même miStbode.... L'usage seul, l'oaage de la logique introduit dans les < en chaasera tous les sopbismes ... C'est la pbilaanphie de Virgile, de TuUius, d'Hor de IMnaottb^e» c'est celle des mathënuticieni, celle que tons les hommes mette usage dans les codmUs et dans les jugenaents, que je veni dans les ëcoles, et non la ph pliie térée par Aristote on par Ramos ! P«tri Ranii seholtt in AristoteL Ltbi dial. phys. et mit. prœjatio.

Ces devi analyms ( géométrie et algkbre^ ae sont autre choee que les fraits «tpontar cette méthode naturelle qne les espriu supérieurs de towt les temps ont dft entn Dfscartes, Règles pour la direct, de l'esprit^ t. XI, page 21S, ^dil. Cousin.

La déduction ne peut manquer d'être bien faite par Tbomme même le inc\a> h. jt raiKonner. Id., pag. 212.

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h<> MANUEL

trouvent ; de sorte qiril suffit de coasidérer ces rapports enxniémes dans les nombres qui les représentent d une manière abstraite et générale. Ainsi les mathématiques furent ramenées à Tunité, c'est-à-dire que Talgëbre, le géométrie, la mécanique, furent embrassées d'un seul point de vue, et tandis que les anciens répugnaient, eu général, à élever leur esprit au*dessus des lignes qui, constamment présentes à leur imagination, suppléaient à ridée générale des grandeurs, les modernes, tout en conservant Futile souvenir de ces lignes, firent un pas définitif vers la constitution purement intellectuelle et symbolique de la science, et purent réaliser avec une sublime grandeur le vieux système des nombres de Pythagore (1).

Ainsi donc, on examine les rapports en général, en les imaginant, si Ton veut, dans les sujets qui en rendent la connaissance plus aisée, comme les lignes qui sont les plus simples de tous (2). Un problème quelconque à résoudre sur des grandeurs et sur les relations qu'elles ont entre elles, se pose ainsi comme un problème de géométrie, et se présente à fimagination à Faide des lignes qui représentent ces grandeurs. Ensuite il se résout parfalgèbre analytiquement, ainsi qu il suit.

4. On nomme chacune des lignes connues ou inconnues qui entrent dans la question, par les lettres de f alphabet; ensuite on examine la liaison qui est entre ces lignes, c est-à-dire les opérations géométriques qu'il faudrait faire pour les déduire les unes des autres ; et il y a toujours des opérations algébriques très-simples qui leur correspondent et peuvent être indiquées avec les lettres. Cela posé, si Ton peut exprimer une ligne de deux manières différentes par des opérations indiquées sur les autres, ces deux expressions égalées donnent une relation où l'inconnue est impliquée, de sorte qu'il n'y a plus qu'à la dégager selon les règles de Talgèbre (3). S'il y a plusieurs incon-

(1) Tontes les sciences qai ont pour but la recherche de l'ordre et de la mesure se reportent aux matbëmatiqties ; il D'imfwrte que ce soit dans les nombres, les figures, les astres, lei sons on tout antre objet, qu'on cherche Cette mesure, il doit j aroir mm science g^ni^'rale qui explique tout ce qu'on peut trouver sur l'ordre et la mesure.... Et cette science est appelée d'un nom propre.... les ma th<fmatiques, parce qu'elle contient tout ce par quoi les autres sciences sont dites faire partie des mathématiques. Dcscarte^, Recherche de la vérité, ëdit. Coann, tnme XI, page 223.

[^) Discours de la méthode, page 21, première édition.

(3) Descartes, Géométrie, prem. cJit., page 300. Règles pour la direction de Pes- /nit, 17, 18, 19, 20.

DE PHILOSOPHIE MODEIUNE. S7

nues, on peut trouver autant de relations ou d'équations qu'il y a d'inconnues, à moins que le problème ne soit indélerminc, auquel cas, un certain nombre dinconnues peut êire assi<;nc arbitrairement, jusqu'à ce qu'il n'y en ait pas plus que d'équations.

5. Maintenant lorsqu'on problème est indéterminé, de telle sorte qu'une seule équation existe entre deux inconnues, une inliuité de valeurs lui satisfont, et cependant il existe entre ces inconnues une proportion constante qui est exprimée par l'équation. Alors !>i on (ixe à volonté l'une d'elles, l'autre est par cela même déterminée, et si le problème consiste à trouver un point qui jouisse d'une certaine propriété, il y en a une infuiité de tels qui se trouvent tous sur une même ligne (1). Ainsi, une équation entre deux inconnues représente algébriquement les lieux géométriques des anciens.

Mais il est une manière générale de considérer les courbes ; c'est de rapporter tous leurs points à deux lignes droites, car alors il y a une proportion constante entre les deux distances d'un même p<»int à ces deux droites, et elle peut être exprimée par une équation, de sorte qu'il sera facile de construire une courbe dont l'équation est donnée, ou de trouver l'écpiation d'une courbe donnée par rapport à deux lignes droites tracées dans le plan de cette courbe (2) .

Viète avait montré la relation des opérations algébriques aux opérations géométrique^s, et découvert le moyen de passer des premières aux secondes (3). De>cartes étendit ce point de vue ù la géométrie entière, et appliquant aux lignes représentées par des signes généraux l'analyse des anciens, et à ces signes, i^algèbre des modernes ()), il fonda le premier une géométrie générale (5), soumise à des règles invariables.