C'est avec raison, sans doute, qu'on a nommé la géométrie

(1) Géomélriet page 313.

f2) Id , pages 320. 321, 322.

(3) Les géomètres Hii seizième »iècle avaient résolu numcfriquement des problèmes de gêcMnëtrie, mais saas construire les solutions que d'ailleurs ils n'obtenaient pas gëne'ralenient sons le synil)olisaie des lettres, comme Viète. y oyezM.ontnch, Hist. des math.^ t. I, 49*2, première édition.

(4) « L'algèbre a pour but d'opérer sur les nombres ce que les anciens opéraient sur les fignres. » Dekcartes, Règles pour la direct, de V esprit.

(5) Cette dénomination de géométrie générale a été beurensemer.t proposée par M. Au^ittte Comtv. Voy, Philosophie positive, tome I.

de Descaries, analytique. Elle est analyli(|ue, en effet, quant au mode de résolution de ses problèmes intérieurs, s*il est permis de s'exprimer ainsi, et comparee à la (;éométrie purement synthétique, simple d'ailleurs et encore concentrée des anciens avant Tâge de Platon, mais non pas eu tant qu'elle reçoit Tapplicatiou de Talgèbre. L'algèbre n'est pas l'analyse, bien que ces deux mots soient quelquefois misérablement confondus (I). L'algèbre a ses règles propres dont la source se trouve aussi bien que celle de la plus ancienne géométrie dans des conceptions à priori. Ces conceptions, au lieu de porter sur la figure, portent sur le nombre, mais ni les unes ni les autres ne ressortissent d'une analyse de conscience, ni d'expérience, à plus forte raison. Elles tiennent à la constitution même de l'esprit humain et résultent de la nature des choses telle que nous la trouvons immédiatement en nous.

Il y a plus : si Ton fait dominer le côté algèbre dans la géométrie de Descartes (et c'est ce que Ton fait aujourd'hui presque partout, dans l'enseignement), si l'on considère les équations avant les courbes , traçant celles-ci d'après celles-là , déduisant leurs propriétés des harmonies numériques et ne les construisant qu'à l'aide des valeurs en nombre ou des instruments qui se déduisent de ces propriétés, ainsi qu'(m peut le faire absolument, alors la géométrie devient éminemment synthétique, non plus comme celle des anciens, mais avec un degré d'abstraction de plus.

7. C'est précisément à ce degré d'abstraction et de synthèse que l'esprit de l'antiquité ne put s'élever; on voit avec curiosité, du pomt où l'on est aujourd'hui parvenu, les anciens ne pouvoir se détacher des images sensibles que la géométrie permet d'employer, pour se représenter son objet ; tous les mois dont ils se servent en arithmétique se ressentent de cette préoccupation exclusivement géométrique, et leurs problèmes de nombres, même les plus simples, sont compliqués dans leur énoncé par cette volonté de suivre pas à pas la figure; ils faisaient donc constamment l'inverse de ce que Descartes put faire uuand l'algèbre pure eut été développée par ses devanciers (2).

(f ) Cette véritë, sur laquelle nn a depuis discute sans s'entendre, a été reconnue et développée par Laurange et Lacroix dan» un rapport fait à l'Institut, 15 octobre 1810. (2) Les origim» de Tal^èbrr »ont et resteront fort ohscure^ tant qu'elle» dé|>endroa(

D'un aulre côté, Pylbagore et Platon, dans leurs spéculations iiur les nombres, les considéraient comme des essences, comme des types qui existeraient réellement hors de Tintelligence, et c'est à celte double école que se réduisirent à peu près toutes maihématiques dans la période connue de 1 antiquité. Descartes, un contraire, ne re/arda les nombres que comme de simples rapports sous lesquels se groupent, en ijénéral, nos idées de ;:randeur et de quantité ; dès lors il put être conduit à les employer pour exprinier les proportions de figure, c'est-à-dire à les porter dans la ;j;éométrie. Une équation est essentiellement une création de l'esprit ; c'est une façon d'apercevoir et de forum 1er les rapports des choses comme nous les pensons, et il ne seuible pas que les anciens, sauf peut-être Aristole, dont le ^renie rationaliste n'eut pas, hors de son école ni dans son école elle-même, un grand développement, se soient beaucoup approchés de ce point de vue. Mais le génie de Descartes consiste avant tout à avoir été fortement rationaliste et réaliste à la fois. Le monde de la raison était immense pour lui, mais le monde réel s'en échappait pour le dominer à sun tour.

«l'une question dVnidition pnre. Mais quand on aura bien détcrmintJ pl/tlosopliiqueinent la nature de l'algèlire, on verra aiscment que, sons le double rapport d\ine conception siifii^anmenl eiacte et large de son objet général, et d'iln symbolisme de langage approprié à l'inTestigation de cet objet, la formation de cette science n'est accomplie que définis peu d'années, on peut le dire ; qu'elle a été knte et graduelle ; que beaucoup y «Mit travaillé, et que le dii^septième siècle seul a pu se fermer sur elle et la contempler tout entière. Les points saillants de ce mouvement des esprits paraîtront toujours, quoi qu'on en puisse dire, et quelques manuscrits nouveani qu'on poisse découvrir, Viète, Descar- It», Newton et Leibnitz. 11 est clair que l'algèbre n'est pas dans Diophante. M. Libria féc^mé contre ce vieux préjugé (Hiiloîredes math, en Italie, tome 1, page 118 ) ; il est çfair que Ira traités indiens nouvellement découverts appartiennent à l'ère moderne et n'ont eu d'ailleurs aucune influence sur le développement de l'et-prit mathématique en P<;cident (les Indous ont pu savoir l'algèbre et ne pas nous l'apprendre) ; il est clair evcore qu'on ne trouve dans les mathématiciens italiens du seizième et du quiniième siède aucune méthode générale et aucune notation symbolique constante. A plus forte raiaoa rien de pareil ne se rencontre dans le traité de Léonard de Pi!«, si longtemps <lt:siré, et mis au jour par M. Libri. 11 est vrai que les lettres de l'alpbabet y sont prises comme signes généraux, ainsi qu'Arislote et Cicéion l'avaient su faire ; mais de lli à \9 méthode générale et \ la notation spéciale que M. Libri veut trouver dans l'algèbre il y a bien loin encore. Aussi Viète nous paralt-il toujours le premier initiateur, initiateur après d'antres sans doute, car l'homme ne crée rien, mais il trouve la création toute faite dans l'esprit encore vivant de ses devanciers et dans le sien propre. Avant Viète, les fragmenU de l'algèbre sont partout et l'algèbre n'est nulle part. Apr^ lui, la science dtiborde de plus en plus ses faibles origines, et le véritable créateur, c'est l'esprit moderne.

8. L'algèbre dut, par un retour nécessaire, participer aux proférés de la géométrie qui lui était ainsi liée ; et même certaines découvertes résultèrent nécessairement du mode, plus concret d'envisager les solutions que produisait Talgèbre dans sa plus rigoureuse généralité. Ainsi, avant Descartes, les racines négatives des équations étaient regardées comme inutiles et fausses par suite de la préoccupation purement arithmétique des algébristes. Mais quand les racines eurent une signification géométrique, il devint plus facile de les interpréter dans tous les cas où elles sont réelles. Enfin, conduit à Talgèbre par la géométrie. Descartes en améliora la notation et en étendit le terrain, notamment par son théorème sur les signes extérieurs auxquels on peut, dans certains cas, reconnaître le nombre des racines positives ou négatives d'une équation proposée.

9. Remaniuons maintenant que l'étendue étant Fessence de la matière, la mécanique et la physique, qui ont pour objet les mouvements et les propriétés des corps, doivent se réduire à la simple considération de retendue fîguréeet mobile. Ainsi, la mécanique présuppose la géométrie pour ce qui est des figures, et pour ce qui est des forces et des mouvements, elle se ramène à lalgèbre, aux rapports en général, aux lois des nombres. Ce progrès était accompli ou plutôt s'accomplissait pendant la vie de Descartes; mais sa philosophie le comprit et contribua sans doute beaucoup à Tachever. Quant a la physique, elle devient mécanique, et par suite se soumet aussi à Taigèbre aussitôt que la matière n est envisagée que comme le sujet d'un attribut, rétendue douée de deux modes principaux : la figure, le mouvement. Descartes put donc se glorifier d'avoir ramené toute la philosophie naturelle aux mathématiques (1), ou plutôt à la

(1) De»cartes eût fait peu d<; cas des matliëmatiqaes, si ellas se fu>seut bornées dan» yen esprit li la solution de quelques problèmes »ur les nombres ou sur les lignes * • Dans ce cas que ferais-je autre cboseque de m'occuper de bagatelles avec pins de snhtilitë peutêtre que d'autres? Mais il n'en est pas ainsi; je n'embra&se ici rien moins que les utalbematiqnes ordinaires, mais j'expose une méthode dont elles sont pliildt t'enveloppe que le fond. En effet, elle doit contenir les premiers rudiments de la raison bnmaine et aider à faire sortir de tout sujet les Tcfritës qu'il renferme ; et, pour parler libreiaent, je suis persuada qu'elle est supérieure li tout autre mojen humain de connaître, parce qu'elle est l'origine et la source de toutes les vérités. Or j« dis que les mathématiques sont l'cnvi— loppe de cette méthode, non que je veuille la cacher et l'envelopper pour en éloigner le vulgaire, au coalraire,-ie veux la vêtir et l'Ornerde manière qu'elle soilplw» » la |Jorlcc de l'opiil. » (Descartesi Règles jn^tr la direct, de VgSfjrii, 218. )

DE PHILOSOPHIE MODERNE. d\

science mathématique, puisque le premier il lui donna runilé.

^0. Disons enlin, pour en revenir au point de départ de celle analyse des mathématiques selon Fesprit de Descartes, que la philosophie naturelle ne fut pas seule à reconnaître la méthode mathématique, mais que cette méthode fut aussi regardée comme ïtnveloppe de la méthode universelle. De noaihreux {»assages des écrits de Descartes en font foi : les un$ le montrent {)longé dans le doute, au sortir des écoles, parce qu il n existe pas de méthode en philosophie (-11, puis, renaissant à Tespoir par la considération de la soUdiié des mathématiques (2), affirmant enfin qu'il existe une méthode fondamentale dont ces mêmes mathémati(iues sont Tenveloppe (3). Les autres, et ce sont, on peut le dire, ses écrits tout entiers, nous le font voir a lanivre, prenant pour base de son immense construction la notion à priori, claire, immédiate, intuitive, comme celles qui soutiennent les mathématiipies : je pense et je suis; ensuite, établissant pour matériaux les délinitions, conceptions intellectuelles, idées claires et distinctes : Dieu, L^être parfait ; le triangle, figure à trois côtés rectil ignés ; la matière y substance conçue sous la uoiion détendue, etc., etc. Enfin, se servant d'un levier, d'une machine unique qui est rinfaillible procédé de déduction, et n'obéissant qu'à ces préceptes invariables de la raison humaine que nul n'a mieux formulés que lui : ne rien recevoir pour vrai sans une connaissance évidente, diviser les diflicultés, faire des dénombrements et des revues, et marcher du simple au composé, suivant Tordre éternel que l'esprit suppose dans les choses (4). Oui, c'est bien là la méthode des médUationSy et c'est celle des géomètres. Il ne sert de rien de dire, avec quelques passages de Descartes, que nous ne pouvons être certains de tout cela tant que nous ignorons si Dieu existe ou non, car, d'abord, ce doute enveloppe et les mathématiques, et la philosopbie tout entière ; et puis que fait cela à la méthode? La méthode doit être posée avant Têtre, parce que nous ne pouvons partir logiquement que de notre pensée ?

C'est ainsi que la méthode de Descartès est éclairée par sa

(1) DLcours de la méllwde^ P*S^s ^ ^^ ^- R*:cherche dt la vcrilé, édition Cou.>in, lotne XI, page 336.

(2) Discours de la méthode, page 21

(3) Règles pour la direct, de l'efpiil, loc. cil. yt) Diicotirs de la méthode, pigns 20 el 'il.

géométrie; et sa géométrie n*e>l une géométrie générale que parce que sa méthode est universelle, et qu'en rappliquant, il a pu la manier plus habilement que celui qui n'en possède pas Tensemble; éviter de spécialiser les notions dès labord ; en un mot, fonder sur elle plutôt les mathématiques mêmes qu'aucune de leurs branches.

1 1 . Que manque- til donc à la géométrie de Descartes? Rien en apparence : elle donne un système complet des courbes, et im moyen général d explorer leurs propriétés. Elle laisse une méthode des tangentes qui peut s'étendre aux maxima et aux iniuima, d'après la condition du parallélisme de la tangente à Taxe, et en général à la détermination des points singuliers i\vs courbes. Et puis avec quelle étonnante facilité il résolvait les problèmes de défi de ses antagonistes ! (Cependant, et(iuoique Descartes fut bien éloigné de penser qu'une nouvelle théorie mathématique à bases toutes différentes de la sienne fût possible, quoiqu'il se figurât n'avoir laissé de côté qu'une infinité de déductions faciles que ses descendants auraient le plaisir de faire , sa géométrie n'était encore que superficielle pour ainsi dire. Elle ne pénétrait pas dans l'essence de la quantité ou de la notion que nous avons des grandeurs et de leur génération. Elle ne se les représentait que comme finies, d ailleurs indéfiniment ajoulahles et divisibles. Enfin , un profond mystère couvrait encore des questions importantes sur la nature de la quantité et du plus grand nombre des opérations algébriques, des incommensurables, des séries, etc., etc. Jusqu'à quel point prépara -t-elle les découvertes postérieures , c'est ce qui nou^ restera à examiner plus tard.

PHILOSOPHIE PIIYSIQU6.

La inaUére.

1. Il existe une substance étendue, figurée mobile, qui est l'objet de la sensation et de l'imagination. Entre tons les corps auxquels nous rapportons les qualités sensibles^ dureté, couleur, etc., etc., il en est un qui nous est particulièrement uni, et c'est en tant que cette union existe que nous recevons ou formons en nous -mêmes certains sentiments qui ne pourraient

DE PHILOSOPHIE MODEUNË. i)**)

nous appartenir, en tant seulement que nous pensons. C'est en partie aux modifications de notre corps et des corps extérieurs, en partie à notre pensée même, que se rapportent les désirs, les aiïeclions, les douleurs, la faim et la soif qui, de la sorte, résultent de notre état de mélange^ et ne sont que des façons confuses de penser^ desquelles nous ne pouvons véritablement conclure ce que sont en eux-mêmes l,es objets qui nous apparaissent par Tintermédiaire des sens.

La nature, cVst-à-dire Dieu considéré dans Tordre qu'il a établi entre les choses, nous enseigne, à Taide des qualités sensibles que nous percevons et des idées ({Ui s'y joignent inévitablement, ce que nous devons fuir ou appéter; mais ce n'est point ainsi qu'elle nous fait connaître Fessence des choses, car nous avons pu remarquer que les jugements fondés sur la perception des sens sont quelquefois, et en certaines matières toujours, trompeurs. C'est donc à l'entendement seul, c'est aux conceptions claires et distinctes qui nous ont servi déjà à fonder la méthode et la philosophie première, que nous devons demander la vérité physique (1).

•i. Cherchons d'abord €e qu'est le corps en lui-même ; et puisque la sensation ne peut nous l'apprendre, et que nous ne pouvons conclure de ce que nous sentons à ce qui est dans la chose même ; puisque l'imagination, en nous représentant un corps comme plus ou moins dur, ou odorant, ou froid, ou doué de telle ou telle ligure, ou mu de certaine façon, ou enfin d'une certaine grandeur, ne nous donne rien que nous ne puissions supprimer ou changer en lui sans qu'il cesse pour cela d'être corps, nous devons encore une fois considérer le corps par I entendement. Or, la couleur n'est pas de son essence, car il pourrait se trouver parfaitement transparent et invisible ; la dureté ou la résistance non plus, car une pierre est un corps aussi bien quand elle est en poudre que quand ses parties sont bien liées ; en un mot, aucune des qualités sensibles ne doit nous arrêter ici, car un corps peui être tout à fait insensible.

L'étendue est enfin le seul attribut sans lequel un corps ne peut être conçu ; et, comme modes de cet attribut, il faut reconnaître la grandeur, la figure et le mouvement ; car on ne peut les concevoir sans une étendue qui en soit le sujet, tan-

(1) nféilil. met., VI, 26, 34 — Principes, II, 2 et .3.

(lis que retendue peut être conçue sans figure, {grandeur ou mouvement. C'est donc Tclendue qui est l'essence du corps en général ou de la matière (1).

3. L'objet de la physique est la connaisi^ance du monde matériel, de ses lois et de ses modifications, soit qu'on l'envisage en lui-même ou dans ses rapports avec Fhomipe. Nous pouvons la diviser en trois parties : l'étendue en général et les principes du mouvement (ici se trouve compris tout ce qu'on a appelé depuis mécanique et propriétés générales des corps) ^ puis le monde, enfin l'homme.

Les lois de la matière.

i. L'essence du corps étant l'étendue, il s'ensuit que, partout où il y a étendue, il y a corps, et que, par conséquent, ce qu'on appelle vide est une chimère. Le néant ne peut avoir d'attribut, et, par conséquent, ce qui a de Textension est nécessairement une substance. Le préjugé du vide tire son origine de ce que nous concevons très-bien qu'un vase existe sans que tel ou tel corps occupes» concavité, et aussi de ce que le corps qui l'occupe actuellement peut être insensible ou fort peu sensible poiir nous. Mais, en réalité, la concavité d'un vase suppose l'extension, et l'extension ne peut pas plus être conçue sans quelque chose d'étendu qu'une montagne sans vallée. Si donc l'on demandait ce qui arriverait au cas où Dieu anéantirait tout le corps contenu dans un vase, il faudrait répondre que les parois s'entre-toucheraienl, parce que la distance est une propriété de l'étendue qui ne peut exister sans quelque chose d'étendu (2).

5. Il suit de là que toutes les fois qu'un corps semble se ra-

(1) Lettre à H. MeruSt I, 67, 69. Nulla est (materia) qnae non sit plane insensibîlis •i, etc.Médil. mé/., II, 1 1, Mond% chap. 1, et Principes^ 1, 53, 1, 68 et II. 4. L'ëtendne conçue absolument sans figure, grandeur ni mouvement, ne peut être que l'ëtendue infinie de Spinosa. Descartes entendait an fond sausjiguret grandeur, ni mout>emeni détermlnét, on si l'on veut sans telle on telle figure , etc. Cet 'indéterminé s'accorde très bien avec Vindéfini t^u^H adoptait ailleurs. L'un et l'autre évitent ou cherchent à éviter la considération d'une matière infinie.

(2) Principes , II, 16, IQ. Lettres à Morus^ I, 67, art. 2.' Ceux qui se représentent de l'étendue une idée réelle (celte idée impliquant la conception d'un corps), s'ils disent que l'étendue ainsi conçue n'est pas un corp, ils s'embarrassent ."«ans le savoir dans cette proposition que la même chose est & la fois nn corps et n'en est pas un. lii-gles pour in direct, de l'esprit, page 302.

réfier OU se condenser, nous ne devons pas croire qu'un même corps occupe successivement un plus grand ou un moindre espace, mais bien (|ue les parties qui constituent un cor[is sensible, pour nous ,d'une certaine façon, se rapprochent ou s'éloignent, de sorte que leurs intervalles ou pores laissent plus ou moins d'accès à d'autres corps. En effet, l'étendue ne peut être augmentée ou diminuée que par l'étendue.

Nous avons sans doute une idée claire de l'espace et du lien des corps, mais seulement en tant que ces mois expriment leur grandeur, leur figure, ou leur situation. L'espace que nous concevons demeurer invariablement là où plusieurs corps différents d'une même étendue peuvent se succéder, ne diffère de ces étendues que comme le genre de Tespèce. Nous formons ces concepts à l'aide de l'idée de retendue en général. Et pour le lieu, il exprime plus particulièrement la situation des corps, laquelle est purement relative, et ne se juge qu'en tant que nqus les comparons les uns aux autres (4).