DESCARTES

4 . La géométrie de Descartes apporta, comme nous l'avons tu , un principe qui servit à systématiser le corps entier des mathématiques en soumettant toutes les quantités au nombre, mais elle n'enseigna;rien touchant la nature même de la quantité en générai, les lois de sa formation , et les mystères attaches à la continuité des grandeurs. C'est de là qu'une nouvelle lumière devait jaillir.

Archimède était en possession d'une méthode qui enseignait à déduire les propriétés des figures courbes de celles de certaines autres figures, qui', par des modifications réglées de leurs éléments rectilignes, tendent indéfiniment vers les pre-

mières. C'était là la méthode âl'exhaustion que les anciens n'employaient que pour rinvention, et qu'ils remplaçaient dans la démonstration par ces doubles réductions à l'absurde qui se sont conservées jusqu'à nos jours dans l'enseignement de la géométrie. Lorsque, après le moyen âge et la renaissance, la considération de l'infini devint moins effrayante pour les esprits modernes qu'elle ne l'avait été pour ceux des Grecs, Cavalieri tenta d'appliquer systématiquement cette méthode à la géométrie.

C'est en 1633 que parut la géométrie des indivisibles (4), c'est-à-dire qu'elle fut à peu près contemporaine de celle de Descartes. Les lignes y étaient considérées comme composées de points, les surfaces de lignes, et les volumes de surfaces en nombre infini. Les problèmes étaient alors résolus par la recherche des rapports suivant lesquels ces éléments intégrants se succèdent en croissant ou en décroissant pour engendrer les figures. 11 y avait un immense défaut dans cette méthode : c'est que le point, dans la géométrie, étant considéré comme un zéro d^ étendue, et les éléments géométriques, ligne et surface, étant posés par la négation des dimensions qui;n'entrent pas dans la définition : la ligne sans largeur , la surface sans profondeur, il était absurde de composer ce qui est de ce qui n'est pas. La méthode réussissait cependaiâ.

Tous les géomètres de ce temps partaient naturellement du point auquel les théories des anciens en étaient demeurées, de sorte qu'ils devaient employer des méthodes analogues à celle de Cavalieri. Ainsi Roberval considérait les courbes comme engendrées par un mouvement continu, et, à l'aide de la décomposition de ce mouvement en deux autres plus simples , ii trouvait la direction de chaque élément de la courbe et par suite la tangente ; et Fermât, par sa méthode de maximis et minimisa touchait au même ordre de considérations. Certainement ces grands géomètres pressentaient les progrès de la géométrie dans cette voie; et, comme on l'a remarqué, contents d'arriver avec les procédés des anciens aux mêmes résultats que Descartes , ils étaient indifférents à sa méthode , ce qui

(I) CaTaliêri, Geometria indhîsibilibat contînuorum no0U quadam raiione promota. Kepler avait âé^ introduit la notioo de rinfini dans sa Slereometria doUorum et fait usage d'une méthode d'indivisibles.

explique réloignement que Pascal et Roberval eurent toujours pour elle (I). *

En effet, le génie de Descartes et une grande habitude de l'analyse pouvaient lui faire croire sa méthode suftisante à l'exclusion de tout autre, et cependant il lui arrivait non-sealement de ne pas reconnaître, mais même de nier d'abord certaines propriétés à Tinfini des courbes qu'il avait-lui-même découvertes. C'est encore ainsi qu'il fut injuste envers la méthode de Fermât et qu'il voulut croire que lui seul avait pu la corriger, et qu'elle n'ajoutait absolument rien à sa géométrie (2). On voit cependant, par l'analyse de la solution que donna Fermat, du problème de la réfraction lumineuse, que son procédé revient exactement dans le fond à celui du calcul différentiel : faire subir un accroissement indéterminé à l'un des nombres de la question, et, par suite, à la quantité dont on veut exprimer la condition du maximum, égaler la quantité même à la quantité accrue, opérer les réductions, diviser tous les termes par l'accroissement simple indéterminé, supprimer ceux qui le contiennent encore en facteur, enfin égaler ce qui reste à zéro. Il est vrai que la méthode n'était pas si clairement exposée dans les exemples qui furent envoyés à Descartes , et que nulle part Fermât n'a indiqué sur quelles considérations se fondait l'esprit de sa rè^e (3).

2. Quoi qu'il en soit , cet aperçu ne pouvait s'étendre bien loin dans les premiers temps , et il fallait que la géométrie de Descartes, en se répandant, familiarisât d'abord tout à fait les esprits avec l'application du calcul numérique aux problèmes d'étendue et de figure. Cette œuvre de popularisation ne fut pas due aux géomètres de premier ordre , qui tous, ainsi que nous venons de le voir , étaient attachés à leurs propres vues et s'inquiétaient plutôt des questions résolues que des méthodes suivies parles autres. Schooten , dans les Pays-Bas, de Beaune, en France , furent les premiers qui s'y attachèrent et en publièrent des expositions et des commentaires: de Beaune même résolut, par son application, des problèmes très-difficiles sur la

(1) A. Comte, Philosophie positive i 1. 1.

(2) Descartes, Lettres^ III, 6t.

(3) Ce procède n'est pas tout à fait exactement exposé dans l'histoire dans de Montncla. Suivant lui, Fermât, avant de diviser par l'accroissement, supprimerait tous les teraies ^u contiennent ises puissances supe'rienresi el cela sans motif apparentt

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détermination des courbes , par les propriétés de leurs tangentes (I).

Ce fut Wallîs qui opéra la réunion de la géométrie de Descartes et de la tendance des géomètres à s'occuper des grandeurs sous le point de vue de leur génération. Il appliqua le calcul à la géométrie des indivisibles , et par là rectifia des courbes et exprima des quantités incommensurables par des séries indéfinies.

3. Enfin la considération du mouvement continu, que Koberval avait employée pour la génération des courbes, et celle de la vitesse de ce mouvement à chaque instant estimée dans deux directions différentes , conduisit Newton au calcul des fluxions , qui , ainsi sorti de la mécanique , acquit cependant une pleine généralité dans les mathématiques par la considération des seconds termes des développements des fonctions en série. Mais cette méthode peu métaphysique ne portait pas sur Tessence de la grandeur en général , et il est si vrai que Newton était peu éclairé lui-même sur le fond de son procédé qu'il se trompa d'abord sur la partie de la série qui devait être prise pour la fluxion de la quantité développée. Au contraire , Leibnitz, qui découvrit le calcul infinitésimal un peu plus tard, et le publia plus tôt, fondait du premier coup une méthode nette, rapide, dont la suprême simplicité portait le caractère du vrai.

4. Leibnitz tient à Descartes de tant de façons , qu'il suffit de se demander s'il ne se rattache pas encore à lui comme inventeur du calcul infinitésimal pour trouver immédiatement la réponse à faire.

Avant Descartes, on connaissait la méthode d'exhausion des anciens , puis la méthode des indivisibles de Cavalieri ; en un mot, dans une partie des mathématiques, dans la géométrie pure, des lois et des considératious infinitésimales. Que fit Descartes ? il ramena la géométrie à l'algèbre , tellement, qu'une équation représenta familièrement une courbe dans l'esprit des géomètres j il était dès lors naturel de considérer une série de valeurs infiniment petites dans les coordonnées de l'équation, en même temps qu'une infinité de points dans sa courbe.