Quant à la raison de la méthode , et nous retrouvons ici

(1) DescartWi Lettres t III, 71.

Leibnitz lai-même avec le caractère particulier de son esprit si porté à ridéalisme, elle consiste en ce qu'il ne peut y avoir erreur à négliger un point mathématique qui n'est qu'une création deTesprit, une forme donnée comme appui aux raisonnements qui engendrent le composé par le simple : Ego philosophice hquendo non magis siatuo magniludines infinité magnas qtiam infinité parvas seu non magis infinitesimas quàm infinituosas; utrasque per modum loquendi compendiosum pro mentis ficiionibiis habeo adcalculum aptas. Et pour prouver la vérité de la méthode à posteriori , on défîe le critique d'assigner un nombre qui- ne soit pas moindre que Terreur que Ton a commise en négligeant TinOniment petit. Toute erreur assignée serait trop grande, donc l'erreur est nulle : In errorem inducere non passe cum pro infinité parvo subsiituere svfficiat tam parvum quàm quis velit ût error sit minor data unde consequitur errorem dari non posse (1). Nous ne voulons pas dire que tel fut le [^ raisonnement de l'inventeur, les méthodes d'invention s'analysent bien difficilement, mais du moins c'est celui de l'esprit qui règle et ordonne. Cette théorie si rigoureuse, dont la compréhension aurait épargné de malheureux efforts à de trèsgrands géomètres, a été tellement méconnue, que, de nos jours encore, on intente presque partout à Leibnitz l'accusation d'avoir comparé les infiniment petits aux grains de sable de la mer (2), malheureuse idée qu'il a pu exprimer avec certaines réserves en la subordonnant à une plus exacte (3), et que Wolf a peut-être trop développée (4).

C. Mais si la doctrine que nous venons d'exposer, doctrine que la critique de Kant a tant généralisée dans la science, et qu'en effet M. Wronski (5) a systématisée avec beaucoup de force, n a pas été celle de l'inventeur, en tant qu'inventeur, est-ce dans les monades que nous devons cherclier la source

(1) Leibnitz, Adprœsid. Desbrosses eplslolœ, — Théodicée , Disc, prêt, 70, — Mémoires de Trévoux, janvier et février 1702. — Recueil de Destnaizeaux, II, 452,

(2) Notamment dans la philosophie positive ie M. Ang. Comte, t. I, page 242.

(3) Leihnitz et Wolf ont même donné un sens très-rationnel ^ cette fâcheuse comparaison en disant cpie l'inflniment petit es^dans les mathématiques (eaëgard 2i leur nature) ce que sont les quantités négligeables dans les mesures terrestres.

(4) Wolf, Principia matheseos universœ, ti I, page 418. Encore n'est-ce qne dans une scbolle toujours sous l'autorité des notions exactes dénuées en définition.

(5) H. Wrooski, Philosophie de l'infini.

da calcul infinitésimal? Sans doute le système des monades témoigne de la tendance généraîe de Leibnitz à remonter an simple pour la connaissance du composé; mais si nous nous rappelons que la monade n'est pas étendue, ou que retendue n'est pas formellement composée de monades, nous reconnaîtrons qu'on ne peut assimiler les infmiment petits aux monades, à moins de considérer celles-ci comme de pures créations de l'esprit et des êtres de raison aussi bien que les premiers. En effet, si rinfiniment petit d'une longueur, par exemple, n'était pas une vraie longueur et pouvait être représenté par o ou {a— a) , il faudrait en conclure qu'aucune longueur ne peut-être, parce que {a-^a) x==a oo — aoo = o. Dans le vrai système de Leibnitz, rétendue finie n'existe pas plus que l'infiniment petite, et la monade n'est pas plus l'une que l'autre en elle-même. II est donc impossible que la monade ait rigoureusement su"-géré ridée dé l'infiniment petit (1 ) ; et il faut plutôt voir dans rinvention du calcul infinitésimal l'application du rationalisme de Leibnitz en général (2) aux vues de ses devancier^ en mathématiques : Suhsidia attulere triumviri illtistres Cartesius^ ostensâ ratione lineas geometriœ communis eœprirnendi per œquaiioneSy Fermatius, ac Gregorius a S. Vinceniio (3).

7. Il nous semble aussi que l'idée de retendue cs^rtésienne cette étendue indéfiniment divisiblCy et que plus tard on distribua en tourbillons indéfiniment plus petits les uns que les autres , |a pu mener tout aussi facilement que le système des monades au calcul infinitésimal (4). Car Tinfiniment petit, à notre point de vue fini, ne peut être que l'indéfiniment petit. Qui sait même si Thypothèse des monades , elle aussi , n'est pas résultée d'une modification introduite dans l'étendue de Bescartes? En effet, Leibnitz, suivant l'opinion commune des savants, les cartésiens seuls exceptés , et suivant celle de Spinosa , répugnait à rétendue morte de Descartes; voulant la douer de vie

(1) M. Barcboa de Penboën a ëmis cette idée qai semble si sp^iense an premier abord et qiii cependant n*est pas admissible après examen. {Histoire de laphiUso» phle altem.^ t. I. )

(2) « Les points matbëmatiques sont lenr point de rne (des monades) pour exprimer l'univers. [Nouveau syst. de la commun» des substances,)

(3) Leibnitz, Act. erud- lips»t 1695.

(4) Ânasi Malebrancbe fnt-il an des premiers prtisani de ce calcul eii France.

et oependant contiauant à la regarder comme indéfiniment divisible et divisée , il a pu être conduit à la composer de monades ; mais comme il ne pouvait comprendre que la division s'arrêtât avant de parvenir au simple , il a posé les monades simples et inétendues, et par là est arrivé à considérer tous les êtres comme immatériels , et l'étendue comme une apparence. Que s'il eût conservé retendue cartésienne telle qu'elle est révélée à notre conscience, sachant le monde infini d'une part, et non pas seulement indéfini, il eût peut-être admis d'autre part rinfinimént petit, et serait arrivé d'une autre manière au calcul différentiel (t). On voit que, dans toutes les supposi lions, la grandeur abstraite, sans qualités ni propriétés essentielles, mais capable d'être multipliée ou divisée à l'infini, telle que Descartes l'établissait dans son monde, était éminemment propre à favoriser l'invention d'un calcul de l'infini abstrait et général, à une époque où la notion de l'infini, un instant écartée, rentrait dans la science. C'est ce^que nous voulions indiquer ici.

8. Cette question de l'essence de la grandeur en général est la base naturelle des mathématiques , et les diverses solutions qui en ont été données suffisent aussi pour caractériser les divers systèmes de philosophie. Depuis qu'elle a été posée d'une manière sophistique en apparence , mais bien profonde dans les arguments de Zenon, toute philosophie a dû nécessairement la résoudre. Or, la réponse qui se fait communément à Y Achille aux pieds légers, à savoir que Zenon , qui porte son attention sur la divisibilité indéfinie de l'espace , devrait aussi la porter sur la divisibilité indéfinie du temps pour comprendre le mouvement, est tout à fait superficielle ; car Zenon, qui posait l'objection sur Tespace comme exemple, aurait pu la poser de môme sur le temps ; et ce qu'il ne peut comprendre, c'était, en général, comment une grandeur pouvait se constituer avec des modes finis en passant par une infinité de modes intermédiaires, c'est-à-dire être à la fois finie et infinie. Les éléates répondaient à l'argument comme le fit plus tard Spinosa, c'est-à-dire en reconnaissant T unité du tout et regardant tout le reste comme pure apparence. La réponse si célèbre

(1) C'est ainsi que le marquis de l'Hdpital l'a enlenda. [Analyse dss infiniment otlilttpour l'inleWgenec det lignes courbes,)

d*Aristote est la même que celle d'Hobbes; et revient à supposer que le fini seul est, et que rien n'est divisé que ce qui Test actuellement , de sorte que Tinfini ne soit pas en acte ou actuellement dans la grandeur, mais seulement ea puissance^ ce qui est bien différent. Les atomistes tranchèrent la difficulté avec leurs atomes. Enfin les idéalis|^s modernes , Malebranche , Leibnitz, Berkeley l'évitèrent entièrement en niant la grandeur sensible. Mais que répondit Descartes?

Là, comme partout, i) répondit par Tindéfini, et refusa d'entrer en considération de Finfîni (1) : il en appela à la sopame finie du nombre infini des termes d'une progression telle que

qui exprime la série des avances de la tortue qu'Achille doit successivement parcourir, A étant l'avance première, et « le rapport de la vitesse d'Achille à celle de la tortue. Cependant la somme des termes s'exprime par la formule (2)

et n'est finie que si on néglige ce dernier terme feint (â)^. Ainsi Descartes néglige ici dans le fond un infiniment petit ; il est au sein du calcul infinitésimal , et en approfondissant sa propre ^solution, il eût aisément reconnu que la* tendance indéfinie de la somme vers un certain nombre ne prouve rien , et qu'il est impossible de se refuser à considérer l'infini pour que la réfutation de V Achille devienne valable.

9. Rapprochons cette solution de celle que Descartes donnait du problème de la liberté humaine en opposition avec la prescience divine. Là il voyait deux faits inconciliables par la raison, il les admettait tous deux cependant, et posait un mystère irréductible ; ici il reconnaît que- notre imagination divise l'étendue en une infinité de parties, il en appelle au fait cependant, pour la regarder comme finie et non comme infinie. Il ne réfléchit pas au mystère renfermé dans cette question, comme

(1) Descartes, Lettres I, 118.

(2) La démonstration, ordinairement avancée dans les éléments de géométrie, snppose et même suppose très-clairement ce qne nous exprimons ici avec ce mot infini et avec ce «igné OD.

dans la première. Or, si Descartes eût admis rigoureusement rinfîni dans le grand et dans le petit, au lieu de poser un indéfini qu'il se refusait à sonder, il eût préparé, ce nous semble, en acceptant ce mystère de l'accord du fini et de Tinfini, la seule explication du calcul différentiel que Ton puisse trouver dans la nature des choses, et lui-mêmf eût été plus attentif à la grande idée renfermée dans les méthodes de Cavalieri et de Fermât.

Nous développerons plus au long , dans notre conclusion, cette théorie du calcul infinitésimal , qui nous semble résulter de la méthode de Descartes, lorsque l'infini prend la place de l'indéfini dans sa physique. Leibnitz qui critiqua, et, suivant nous, comprit mal la doctrine de la liberté de Descartes , qui voulut rendre compte de l'impénétrable mystère, et expliquer l'inexplicable, n'eut garde, dans l'autre question, d'admettre un infini , dont il ne pouvait se rendre compte à son gré, et il tomba dans Tidéalisme absolu en ne voyant , dans ce qui fait la base des notions de continuité dans la substance matérielle, que des fictions ou des lois de l'esprit, bien plus inexplicables que ces faits que Ton rejette sous prétexte de ne les pas comprendre (1).

11 a été rigoureusement établi de nos jours (2) que l'idée de l'indéfini de Descartes, car c'est elle qui a été mise en œuvre dans les essais de systématisation du calcul différentiel par celui des quantités finies et de leurs développements en séries indéfinies (3), est aussi impuissante que cette singulière théorie des petites erreurs successivement introduites et corrigées (4) à rendre un compte philosophique du calcul infinitésimal. £t, bien que ce travail ait été fait dans l'intérêt d une doctrine purement rationnaliste, il peut nous enseigner à accepter franchement , et non sous les dénominations d' évanouissants ou de fluxions, ou sous le masque de limites et de dérivées^ Yinfini-

(1) Quelle que soit au foncl la solution mctapbjsique de ces questions, il nous parait naturel et convenable d'emplojer dans l'enseignement des ma lli<f ma tiques la m^tliode rationnelle de calcul infinitésimal proposée par Leibnitz. En effet, Ton ne fait ainsi qu'ajouter aux données purement rationnelles qui servent de hase a la géométrie ordinaire une donnée du même ordre, pour comprendre la constitution de la quantité. Mais ici il s'agit de philosophie, et il noua semble que l'on ne peut, ontologiqttement parlant te contenter de cette métho«le rigoureuse pour unique explication des infiniment petits.

(2) H. Wronski, Phll. de VinJ. elBê/ut. de La grande. Paris, 1812.

(3) Lagrangc, Théorie des Joncl. analyt. An V.

(4) Carnot, Réjlexions sur U métaphysique du cakul in/iniléûmal , An Y.

iésimal que le réalisme cartésien nous fait conclure de la divir sion indéfinie de la matière, de même qu'il nous conduit à déduire rinfmité du monde de la multiplication indéfmie de son étendue.