Discuter et construire la courbe

3sinu

P sin 2 6> — cos 2 w *

807* Déterminer la relation qui existe dans tout triangle rectiligne entre les rayons des cercles inscrit et circoncrit et la distance des centres.

S08*. Connaissant la somme des termes d’une proportion

EXAMEN ÉCRIT

continue par quotient et la somme des carrés de ces termes , déterminer la proportion.

#09*. Discuter et construire la courbe

#10. Trouver quatre nombres en proportion, connaissant leur somme , celle de leurs carrés et celle de leurs quatrièmes puissances.

Sti*. Déterminer un triangle, connaissant le contour, un côté et le rayon du cercle circonscrit.

#12*. Trouver le centre de gravité d’une sphère formée de deux hémisphères de densités différentes.

Au lieu de deux hémisphères on pourra considérer le cas de deux segments inégaux.

815. Trouver les conditions pour qu’une équation d’un degré m ait n racines qui forment une progression par différence dont la raison r soit un nombre donné, et déterminer ces racines.

#14*. Discuter et construire la courbe

V Vx'— 2x 2 — Zuf+8 '

SIS*. Déterminer la courbe que décrit le centre de gravité d’un triangle assujetti à s’appuyer constamment par deux de ses sommets sur deux droites fixes perpendiculaires, .

EXAMENS

816*. Etant donné les angles, le périmètre et la surface d’un trapèze, calculer scs côtés.

817*. Etant donné le sommet de la parabole et deux points de la courbe , déterminer la parabole.

818*. Entre deux droites fixes convergentes, OX, OY, on a placé de toutes les manières possibles une droite MN d’une longueur donnée : trouver le lieu géométrique des points d’intersections successives de ces droites MN ,

1° Les droites fixes faisant entre elles un angle donné, 2° Les droites fixes étant perpendiculaires.

819*. Discuter et construire la courbe

x^y 1 — 2 xy — ar 2 — 1 = 0-

* 820*. On donne une ellipse et une hyperbole ayant même centre et mêmes foyers : on demande l’angle que font les tangentes à ces courbes à leurs points d’iutersection.

Examiner le cas particulier où les deux courbes auraient un même axe.

821*. Déterminer le centre du cercle osculateur en un point donné de l’ellipse.

Trouver l’équation de la développée, et le rayon de courbure en un point quelconque de cette courbe.

Appliquer le même calcul à l’hyperbole et à la parabole, et trouver les équations des développées de ces courbes et les rayons de courbure en un point quelcon-

% que* etc. »

EXAMEÏI ÉCRIT. 461

822*. Discuter et construire la courbe

xY-f^y — **yrH*=0.

52g*. Trouver les quantités dont le cube est

824*. Connaissant un système de diamètres conjugués de l’ellipse , de grandeur et direction , déterminer les axes , les Foyers, la normale à l’extrémité de ces diamètres, etc.

828*. Déterminer le lieu des points de rencontre des nor* males à la parabole perpendiculaires entre elles ; et par quel point du plan de la courbe ne peut-on mener que deux normales perpendiculaires?

826*. Discuter et construire la courbe

— (/ 2 ax |/a 2 — x ~ l -

827*. Par le sommet A d’une parabole on mène des cordes infiniment rapprochées, telles que AM' , AM", et par les points d’intersection M r , M", des perpendiculaires à ces cordes, M'P, M"P: déterminer le lieu géométrique des points d’intersection P de ces perpendiculaires (fig. 72).

828*. De toutes les ellipses qu’on peut circonscrire à un trapèze , quelle est la plus grande ou la plus petite ?