COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES

Avant le dernier règlement de 1837 sur les examens d’admission à l’Ecole polytechnique , les épreuves du concours se bornaient , à proprement parler , à l’examen oral • de mathématiques. La plupart des candidats qui se présentaient aux examens avaient terminé toutes les études classiques; les épreuves écrites de littérature française et latine n’étaient par conséquent qu’une simple formalité , propre à constater l’instruction acquise dans les classes. Nous avons expliqué précédemment les raisons qui ont fait attacher une plus grande importance à ces épreuves et qui en ont fait une des conditions indispensables du concours.

Mais il y avait encore à réparer une omission dans l’ancien règlement du concours, et c’est ce qu’a fait le nouveau règlement avec autant de sagesse que de prévoyance. On a compris que la seule épreuve de l’examen oral ne pouvait suffire pour décider du mérite relatif des candidats. Tel élève capable de répondre avec assurance , et avec une précision suffisante pour l’improvisation, pourrait n’ètre pas en état de développer, avec tous les détails nécessaires, une question écrite; tel autre, au contraire, timide et embarrassé dans un examen oral, pourrait reprendre tous ses avantages par la méditation, et donner dans une composition écrite la véritable mesure de son instruction , de son aptitude et de sa capacité. L’épreuve orale et l’épreuve écrite ne sauraient donc être séparées.

L’épreuve de la composition de mathématiques est une

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des plus importantes de l’examen ; et si l’épreuve orale est sans contredit la plus importante , c’est que la publicité sert ici de sanction au jugement de l’examinateur.

Les candidats ne sauraient donc apporter trop d’attention à cette partie de l’examen , à la composition de mathématiques.

Le sujet de composition écrite renferme deux , ou plus généralement trois questions : 1° une question de théorie j 2° un problème à résoudre ; 3° une équation de courbe à discuter et construire.

Les questions de théorie ne sont autre chose que la démonstration des points les plus importants de l’algèbre ou de la géométrie. C’est plutôt affaire de mémoire que d’intelligence. Les candidats exposeront les théorèmes avec ordre et exactitude , et s’attacheront à rédiger le6 démonstrations avec toute la clarté et la précision désirables. Cette partie de la composition écrite devant servir à constater l’instruction mathématique du candidat, il est de toute importance que les principes invoqués dans les démonstrations soient placés, chacun à son rang, dans l’ordre de l’enseignement. Ainsi pour la démonstration d’un théorème qui 6e rapporterait à une proposition du III e livre de la géométrie de Legendre , par exemple , il ne se servira pas d’un théorème démontré dans les livres suivants. En général celte question de théorie ne peut offrir de difficulté aux candidats déjà préparés par le travail de rédaction.

Le problème à résoudre offre un peu plus de difficulté, comme toute question de ce genre. Toutefois les exercices nombreux qu’ils n’auront pas manqué de faire dans le cours des études de 2 e année de mathématiques donneront aux candidats les moyens de sortir avec avantage de cette épreuve difficile. Nous n’avons pas besoin de leur recommander de nouveau d’exposer avec tous les développements nécessaires les calculs qui peuvent se présenter dans la solution du problème, d’effectuer les constructions avec

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sain , de discuter et de construire les courbes auxquelles solution peut donner lieu. Cette partie de la composition écrite est, à notre avis, la plus difficile ; mais nous devons prévenir les candidats contre les dangers du découragement. Lors même qu’ils n’auraient pu parvenir à trouver la solution du problème , ils se garderont bien de renoncer à la composition : car la nullité, dans une épreuve quelconque, est une cause immédiate de rejet. Ils n’oublieront pas que le problème n’est pas à lui seul toute la composition écrite , et que la manière satisfaisante dont ils auront traité les deux autres questions peut racheter jusqu’à un certain point la faiblesse de cette partie de l’épreuve écrite. Du reste, il est presque impossible que le candidat ne fasse pas quelques tentatives pour résoudre le problème proposé ; et il peut, par ces efforts même, donner une preuve suffisante d’intelligence et de capacité.

La troisième question, l’équation de courbe à discuter et à construire ne saurait embarrasser les candidats. Ils ont été exercés , sans aucun doute , à ce genre de discussion ; ils connaissent la méthode générale; il ne leur reste qu’à appliquer la théorie à un exemple particulier (1).

Quant à l’ordre qu’ils doivent suivre dans la discussion du lieu géométrique , il nous semble qu’ils doivent s’attacher d’abord à reconnaître , d’une manière approchée , la forme et l’étendue de la courbe, en se servant des diamètres, des points d’intersection avec les axes, et des valeurs de l’ordonnée correspondantes aux valeurs de l’abscisse entre x — — ce , jusqu’à et ar=-J-ao .

La recherche de la tangente , des asymptotes , et enfin

(t) Les candidats consulteront avec fruit l’ouvrage de M. Manchet , intitulé: Compléments de mathématiques spéciales , Méthode pour la discussion des courbes algébriques de -degrés supérieurs données par des équations résolues, etc.

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des points singuliers de la courbe , en fera reconnaître plus particulièrement la forme et les propriétés.

Nous ne saurions mettre les candidats trop en garde contre les fautes de calcul dans la discussion des équations des lieux géométriques. Si la discussion donne lieu à la résolution d’équations, ils auront soin de déterminer les inconnues avec une approximation suffisante , à 0,01 près par exemple. Les développements des puissances fractionnaires seront donnes , soit par le binôme de Newton , soit , et nous croyons ce moyen préférable dans le cas présent , par l’extraction directe de la racine indiquée , les candidats ne devant faire usage des connaissances en dehors du programme qu’après avoir épuisé toutes les ressources de l’enseignement prescrit dans les classes de mathématiques de l ra et de 2 e année.

Le travail préparatoire de la composition écrite nécessite quelques précautions que nous recommandons aux candidats. Quel que soit l’ordre dans lequel les questions sont présentées par l’examinateur , ‘ils feront bien de commencer par la question la plus facile à traiter. De cette manière il leur restera assez de temps pour le problème, qui pourrait bien dans certaines circonstances exiger tout le temps accordé par le règlement. Ainsi dans le travail préparatoire les questions se présenteront dans l’ordre suivant : la question de théorie, l’équation du lieu géométrique à discuter , le problème , sauf à rétablir ensuite dans la copie, qui devra être remise dans les formes prescrites , l’ordre primitif des questions proposées.

Enfin nous recommandons aux candidats l’observation de l’article du règlement qui exige que l’écriture soit lisible. Cette remarque est plus importante qu’on ne serait tenté de le croire au premier abord. Une mauvaise écriture jette toujours une certaine défaveur sur le fond de la composition. Ici surtout, la nature de la composition elle-même nécessite une attention particulière : les calculs doivent être

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présentés d’une manière nette et détachée ; les figures doivent être faites avec soin : car , au seul aspect du dessin du lieu géométrique on ne manquera pas de juger si la question a été parfaitement traitée , si la discussion a été com- * plète.

. Les candidats pourront s’exercer à traiter les questions suivantes comme sujets de composition mathématique.

501. Démontrer que le cercle est la limite des polygones réguliers isopérimètres.

502. Trouver les conditions d’équilibre d’une tige cylindrique homogène s’appuyant sur deux plans inclinés.

303. Former une équation dont les racines soient les rapports par quotient des carrés des racines d’une équation proposée.

304*. Déterminer le centre de gravité d’un segment de sphère à une base.

SOS. Connaissant sina, déterminer sin^aj démontrer la réalité des 5 valeurs.