A = KP=F
Eliminant x entre ces deux équations, on trouvera d’abord, en élevant au carré les équations (2) et (3) , et retranchant l’une de l’autre ,
fl 2 +i 2 c 2 X — 2a ’
d’où
et, toute rédaction faite,
h— ■^y' \ar\-b'?—? V c l ~(a—bfi
d’où
A = ^ V (a-f A-f-oX«+ A — cX°+ c — *
Et, si l’on fait a-\-b-\-c—2p,
d’où
S = — = KpO> — «)(/»—*)(/>— «9*
57. B 2 — 4 AC =0; parabole passant par l’origine j de l’équation on tire y=3x±.[/Yx.
Diamètre y — 3x; l’axe des ordonnées est tangent à la courbe.
Il suffira de connaître un seul point de la courbe pour construire le paramètre relatif à ce système; et, afin de rendre la valeur de y rationnelle, on prendra x=2, ce qui donne j/=6±2.
58. Etant donné une équation f(x, y)=0, si l’on peut la résoudre par rapport à l’une des variables , y par exemple, on obtiendra une valeur y=?(x), dans laquelle le 2 e membre sera une certaine fonction de la seconde variable, entière , fractionnaire , renfermant des radicaux , etc. ; ce qui annonce l’existence de plusieurs branches, que l’on discutera séparément.
En faisant passer la variable x par toutes les valeurs possibles depuis a:=0 jusqu’à x — ± <x > , on obtiendra pour y des valeurs correspondantes , et chaque couple de valeurs déterminera un point de la courbe proposée. On pourra s’assurer par ce moyen si la courbe est finie ou infinie ; continue ou composée de plusieurs branches séparées ; si ses points vont en s’éloignant ou en s’approchant des axes coordonnés , et l’on aura ainsi une idée approximative du cours général de la courbe.
Si l’équation no peut être résolue par rapport à l’une des variables , on donnera pareillement à x toutes les valeurs depuis x=0 jusqu’à x—±cc, et l’on obtiendra par la substitution de chaque valeur, x—a, par exemple, dans l’équation proposée, une équation /(a, y)=0, à laquelle on appliquera les méthodes connues pour la résolution des équations numériques à une seule inconnue. Soient b, b ' , b", etc. , les racines réelles de cette équation; les couples de valeurs
xx=za x—a x
y— b y— b' y— b" etc.,
détermineront autant de points de la courbe.
On voit déjà combien cette méthode est longue et pénible , combien, surtout , elle est insuffisante pour faire connaître d’une manière approfondie Ja nature de la courbe , la direction de son cours , ses inflexions , sa courbure , etc. Aussi doit-on avoir recours à d’autres moyens qui puissent donner une idée nette et exacte de son étendue , de sa forme et de ses propriétés.
.Parmi ces moyens , le plus simple consiste à comparer la courbe proposée à d’autres lignes, droites ou courbes, dont la direction bien connue peut faire apprécier la direction de la première : ces lignes sont les tangentes et les asymptotes.
On sait que la tangente en un point quelconque x ' , y* ; d’une courbe f{x , y)=0, a pour équation
. fKx 1 ) , , .
*-*=■ ÎW) (a -^'
P ( x )> P (y)> désignant les dérivées de l’équation par rapport à ces variables. On pourra, en chaque point de la courbe , déterminer la direction de cette droite , et s’assurer si la courbe , dans les environs du point de contact , passe au dessus ou au dessous de la tangente.
Si l’on représente par t le coefficient de x dans l’équatiou
WM
SOLUTIONS DEVELOPPKBS,
Tle la tangente , on cherchera les valets de x et do y pour® lesquelles 1=0 ou t= oo , c’est-à-dire les points où la tangente est parallèle aux axes, ce qui se fera en combinant successivement les équations
Lorsque l’équation peut être résolue par rapport à chacune des variables, le calcul est évidemment très simple, car toute la difficulté se réduit à la résolulion de l’équation
son étendue ; mais il reste toujours un peu d’incertitude sur sa courbure , même en se servant de la tangente , surtout quand la courbe a des branches infinies. Dans ce cas , on aura recours aux asymptotes , qu’il sera toujours facile de déterminer lorsque l’équation est résolue.
En effet, si la valeur de la variable dépendante est une fonction fractionnaire et rationnelle de l’autre , de la forme
P et Q étant des fonctions de x , après avoir simplifié la Traction s’il y a lieu , on obtiendra une valeur
de laquelle on voit qu’à toutes les valeurs de x tirées de Q=0 correspondront des valeurs Infinies de y, et que pour x= oo on aura y=G.
f(x)=0 ou f'(y)—0.
Quand on a déterminé un assez grand nombre de points
de la courbe , on peut déterminer à peu près sa forme et
fe=G+îr
■194 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
• >«■ j.flk
Si la valeur de ij renferme des radicaux, on extraira la
racine indiquée , d’après la méthode algébrique connue ; il ï suffira de pousser l’approximation jusqu’aux premiers ter- ; mes qui contiendront la variable x en dénominateur , et l’on retombera dans le cas précédent.
Enfin on déterminera les points multiples, c’est-à-dire les points ou deux ou plusieurs branches de la courbe viennent se croiser; ce qui ne présentera aucune difficulté , , lorsque l’équation proposée sera résolue : car il suffira d’égaler entre elles les diverses déterminations algébriques que fournit l’expression générale de l’ordonnée quand on met le signe ± devant les radicaux pairs; ou de prendre successivement les diverses déterminations imaginaires des radicaux simples , d’égaler à zéro le coefficient de dans le résultat imaginaire de leur combinaison, et de cher- J cher les racines réelles des équations irrationnelles ainsi obtenues.
Si l’équation ne peut être résolue , on cherchera la condition pour que l’équation proposée ait des racines égales de ij ; l’équation finale en x déterminera les abscisses des points multiples.
Dans tous les cas , on s’assurera de la nature des points singuliers ainsi trouvés, points isolés, rebroussements des diverses espèces / inflexions, par la discussion de la courbe et de la tangente aux environs de ce point.
La détermination du centre et des diamètres offrira aussi le moyen de vérifier la forme de la courbe , ainsi que ce principe général , qu’on ne manquera pas d’appliquer dans chaque cas particulier : une courbe quelconque ne peut avoir avec une ligne droite un nombre de points communs plus grand que le degré de son équation (1).
(t)La méthode générale que nous venons d’exposer suffit en général pour la discussion et la construction des courbes de la nature de celles que l’on
‘ ■ -«rf- -
JP
42. Réduisant les nombres fractionnaires donnés au même dénominateur, on pourra les remplacer par les fractions équivalentes
et la question revient à partager le nombre 690 en trois parties qui soient entre elles dans le rapport des nombres
30, 40, 45, dont la somme = 115.
donne à discuter à l’examen d’admission. Toutefois nous croyons devoir îyouter quelques développements, à l’usage des élèves qui connaissent la théorie des dérivées.
On démontre d’après cette théorie que, si l’on remplace « par x -f h dans uue équation résolue de la forme
la valeur de y prend la forme
+ ç & ah-
f’(x), f"{x), fw{x), etc., étant les dérivées première, seconde, troisième, etc., du deuxième membre de l’équation proposée.
En outre , la tangente en un point otf, y', de la courbe , ayant pour équation
y—y’^fQe’Xx—x^, (2)
si l’on fait x=x'-\-h, on aura , pour la tangente ,
y—y'—Mh,
et pour la courbe,
y~y<z=f[x'+h) — f{x')=zp(pe , )h ;
d’où l’on voit que l’accroissement de l’ordonnée sera plus graud pour la courbe que pour la tangente , quel que soit le signe de h, si l’on a
Or, si l’on observe que 090=115X6, on trouvera sur le champ que les trois parties demandées sont
On trouvera les mêmes valeurs par la méthode générale ; en effet désignant par x, y, s, les trois parties cherchées , on aura la suite de rapports égaux
f"(x’)> 0. L’inverse aura lieu si f"( acO<0. Si donc f(x’) est positif, les points de la courbe seront plus éloignés de l’axe des x que les points de la tangente correspondants à la même abscisse dans le cas où l’on aura f"( x')<0, et la courbe sera convexe vers l’axe des x- elle sera concave vers cet axe dans le cas de f"(x')<0. Si, au contraire, f(sc) était négatif, il y anrait convexité pour / ,,l (x')< 0, et concavité pour /'"(x')>0.
Maintenant si la convexité se change en concavité et réciproquement,' ou , autrement dit, s’il y a inflexion, la fonction f’[x ) passera du positif au négatif et réciproquement , ce qui ne peut se faire qu’en passant par zéro ou par l’infini : il faudra donc qu’on ait f’{x) = 0 ou /*(*) = co , équations qui détermineront les abscisses des points d’inflexion.
Si la courbe n’était pas résolue par rapport à l’une des variables , comme on sait trouver les dérivées successives d’une équation
on obtiendra les coordonnées des points d’inflexion par la combinaison des équations
F(x,y) == 0 F(ar,y) = 0
ou
F’{x,yy= 0 F»(ar,y)=oo. -I
Au surplus , la discussion des courbes étant une des applications importantes dn calcul différentiel , c’est là qu’il faut étudier la méthode générale. Tout ce que l’on pourrait ajouter ù la méthode que nous avons exposée ne serait autre chose que du calcul différentiel plus on moins habilement déguisé.
r,r, liai • l]"l T 'J.!
Dans une suito de fractions égales, la somme des numérateurs divisée par la somme des dénominateurs donuant une fraction égale aux proposées, on aura, en ayant égard à x-\-y-\-z=6dQ ,
30 ïTj>
d’où 180.
43. Deux conditions: car !en désignant par A, B, C, a, b,c j A', B f , C f , a', b', c' , les angles et les côtés de deux triangles semblables, on ne peut avoir que les trois cas de
similitude
ce qui ne fait jamais que denx conditions.
Si deux triangles sont tels que leurs surfaces soient dans le rapport des carrés de deux de leurs côtés , les triangles ne sont pas semblables.
il faut nécessairement que les angles compris par ces côtés soient égaux, ou que les surfaces soient dans le rapport des carrés des trois côtés.
48. B* — 4A c=ô a — 4 ; donc la courbe 6era une ellipse , une hyperbole ou une parabole, selon que
ô<±2, b>±2, b—zt 2,’
Solutions développées.
et dans ce dernier cas l’équation représente le système de deux droites parallèles.
Dans ce dernier cas encore, ainsi que dans le premier cas, si a<0, la courbe est imaginaire.
o3. Aigu: car ( 20 ) 2 <( 15 )s-f (18)2,
“ 7 : l0 , S ° U ’ cn P renant ,es fixes pour axes coordonnés , les équations de deux droites consécutives
et les relations
Des équations (1) et (2) on tire
et des équations (3) et (4),
d’où
Faisant «=«'
diate des deux droites
» ,^ = ^» P° ur exprimer la succession immé-
on a
Digilized by Goqgle
<jS“
Combinant entre elles les équations (1) , (3) et (5) , on en conclut facilement
équation de la parabole entre ses tangentes égales.
2 U Pour le cas de la différence donnée , on trouvera
65. Soit M (lig. 1) le point demandé; de ce point et du centre C menez MP et CD perpendiculaires sur AB , et joignez AC , AM , MB.
Cela fait , soit AB=2a, CD=0, AC=MC=r, MP=i/. On aura :
