partie renfermera le facteur commun

multiplié

par des facteurs do la forme

( î ^)(y"‘-+yr-+yy'- ! + ■

On pourra donc tirer de cette troisième équation la valeur du rapport — — -, : et si l’on exprime que la secante

devient tafigente à la courbe en faisant x"—x', ÿ'=y’, on trouvera sans difficulté que cette valeur est précisément égale à la dérivée de l’équation par rapport à x, divisée par la dérivée de cette même équation par rapport à y, ce quotient étant pris en signe contraire , et les variables x et y étant remplacées par xf et y’, coordonnées du point de contact. De sorte que si l’on exprime par f(x , y)—0 l’équation d’une courbe algébrique quelconque, et par f'(x), J\y), les dérivées par rapport à chacune des variables, l’équation de la tangente en un point quelconque x y ’ , sera généralement

Lorsque l’équation de la courbe est résolue par rapport à l’une des variables, y par exemple , l’équation de la tangente est de la forme

il ne s’agira donc plus que de savoir déterminer la dérivée d’une fonction quelconque d’une variable.

Si l’on veut déterminer les points pour lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses , il faudra égaler à zéro le coefficient de x dans l’équation de la tangente , et les coordonnées de ces points seront données par la combinaison des équations

Les points pour lesquels la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées seront déterminés par les équations

Lorsque l’équation do la courbe est résolue par rapport à y, les équations

f(x)=zO OU f(x)—CD

détermineront directement l’abscisse des points pour lesquels la tangente est parallèle à l’axe des abscisses ou des ordonnées.

13. Soient 2 y et x la base et la hauteur inconnues du triangle, R le rayon du cercle donné , / la longueur donnée, on aura, d’après l’énoncé ,

équations d’une ligne droite facile à construire , et d’un cercle qui n’est autre chose que le cercle donné. •

De là cette construction : Par un point quelconque A de la circonférence mener un diamètre indéfini et une tangente ; prendre sur le premier une longueur AG égale à l ,

sur la seconde une longueur AH égale à - t j joindre GH, et

le point de rencontre B de cette droite et de la circonférence déterminera le triangle demandé. En effet, il suffira de mener la corde BC perpendiculaire au diamètre , et le triangle ABC satisfera à l’énoncé.

Ou bien encore , ce qui revient au même , construire un triangle isocèle GHK dont la base GK , tangente en A à la circonférence, et la hauteur AH, passant par le centre, soient toutes deux égales à la longueur donnée l ; joindre GH et KH , qui détermineront par leur rencontre avec la circonférence les deux points B et C : le triangle ABC est le triangle isocèle demandé.

13. Soient æ*, y>-, je", y " ; x'". y les coordonnées des trois sommets: en prenant pour base- le côté qui joint les

pointa:", y"; x'", y’", et pour hauteur la perpendiculaire abaissée du point x', y', sur celte base, on aura , en exprimant par S la surface du triangle,

et , toute réduction faite ,

— x" 1 ) — (jf"—y'")(x' — a^')J ,

ou bien

S=i[( y'x’"- x'y'")+ (y"x'"-x”y'") + {y>x"-xy)\

Si l’on savait d’avance que l’expression de la surface est une fonction symétrique des coordonnées des sommets , on aurait pu écrire sur-le-champ la formule précédente , qui doit se réduire à zéro quand les trois sommets se réunissent en un seul et même point.

18. On appelle centre d’une courbe un point tel que toute sécante qui y passe a ses points de rencontre avec la courbe situés deux à deux à égale distance de ce point.

Toute sécante à la courbe ne pouvant avoir avec elle un nombre de points communs plus grand que l’exposant de son degré , il suit de la définition précédente que , quand une courbe de degré impair aura un centre , il sera sur la courbe même, puisque les sécantes donneront généralement un nombre impair de rencontres ; dans la courbe de degré pair, le centre se trouvera hors de la courbe, à moins qu’un nombre pair de ses branches ne vienne passer par ce point.

Il suit encore de la définition précédente du centre que si l’on transporte l’origine des coordonnées à ce point, chaque point de la courbe dont les coordonnées sont x, y , aura pour correspondant celui dont Jes coordonnées sont — x, — y: il faut donc nécessairement que l’équation ne change pas

quand les variables changent en même temps de signe ; et par conséquent tous les termes de l’équation rapportés au centre de la courbe devront être de degré pair par rapport aux deux variables , ou bien tous de degré impair. Réciproquement lorsque cette condition sera remplie la courbe aura un centre.

Donc , pour trouver le centre d’une courbe

/fo y)=°»

après s’être assuré qu’il n’est pas à l’origine , on transportera cette origine en un point quelconque du plan au moyen des formules

et l’on verra si l’on peut déterminer a et p, coordonnées de la nouvelle origine , par la condition que tous les termes de degré impair disparaissent de l’équation transformée , «i la courbe est de degré pair , ou tous les termes de degré pair , si la courbe est de degré impair. On obtiendra ainsi un certain nombre d’équations en « et p , qui devront être satisfaites en même temps.

Si cette condition est remplie , le centre est à la nouvelle origine ; si non , la courbe proposée n’a pas de centre.

On voit facilement qu’il suffira de résoudre deux équations du 1 er degré en « et p ; d’où l’on doit conclure qu’il n’y a qu’un seul centre, ou un nombre infini de centres, situés tous sur une ligne droite ; et dans ce dernier cas l’équation proposée représente un système de droites parallèles.

24. Soit p le poids de la sphère , d la densité de la substance , x le diamètre cherché ; on aura pour déterminer x la relation

Digilizet

d’où

25. Soient S,, S a , S 5 , les trois sphères données. Tout plan tangent aux sphères S, et S 2 sera également tangent au cône enveloppe de ces deux sphères, qui a pour sommet leur centre de similitude C ; de même tout plan tangent aux sphères S, et S 3 sera tangent au cône enveloppe à ces sphères , et dont le sommet est à leur centre de similitude C' ; par conséquent le plan tangent aux trois sphères passera par la droite CC\ et sera tangent à la fois aux deux cônes enveloppes. Donc : cherchez les centres de similitude de . chaque système do deux sphères, et par la droite qui joint deux de ces centres menez un plan tangent à l’une des sphères , ce plan sera à la fois tangent aux trois sphères données.

B 3 — 4AC=0 j parabole passant par l’origine et tangente en de point à l’axe des abscisses : car l’on a

x—y±yi^.

Son diamètre, x=y, partage l’angle des axes en deux parties égales.

Pour avoir un point de la courbe on fera y =1, d’où x=:l±2; et l’on déterminera le paramètre relatif à ce système de diamètres conjugués.

27. On nomme généralement diamètre d’une courbe le lieu géométrique des points milieux d’un système de cordes parallèles. Les diamètres sont des lignes droites ou des courbes, selon le degré des équations qui les représentent.

D’après cette déflnition , pour trouver le lieu géométrique des milieux des cordes parallèles à une direction donnée

y=.ax

menées dans une courbe donnée

si l’on suppose que, x', y', représentant les coordonnées du milieu d’une quelconque de ces cordes, on ait transporté l’origine à ce point , l’équation résultante sera

et l’équation de la corde

y—ax . (3)

Si l’on substitue dans l’équation (2) la valeur de y tirée de l’équation (3), on aura une équation

/!(*“ HA ( a *+y)]= 0 i (4)

laquelle devra avoir au moins deux racines égales et de signe contraire.

Cette condition est facile à trouver. En effet, si l’équation (4) est de la forme

x“4- ÏU ra - > T*4-U=0 ,

m étant un nombre pair , on devra avoir en même temps x m — Px m- '-j- O#'" - ’ — Rar m - 1 Tx-j-UrrO ;

ce qui exige qu’on ait séparément

fU=0, (5)

P* m - , -j-Rx m - î +Tx=0. (6)

On cherchera le commun diviseur entre (8) et (6), après avoir supprimé le facteur x commun à tous les termes de cette dernière, et l’équation finale sera la condition demandée. On opérerait d’une manière tout à fait semblable si n était impair.

Cette équation exprimée en x’, y’ et a, est l’équation générale des diamètres de la courbe f(x, y)=0.

On déterminera les diamètres rectilignes , s’il en existe en cherchant les valeurs de a qui introduiront dans cette

équation des facteurs rationnels du 1 er degré en x r et y'. On verra de plus si parmi ces diamètres il y en a qui soient perpendiculaires sur leurs cordes ; ces diamètres ont reçu le nom d’axes. *