Soit

l’équation de la parabole.

Py=p (*- M C 2 )

l’équation de la tangente en un point quelconque x, y , et enfin

l’équation de la perpendiculaire menée du sommet sur la tangente.

Eliminant x et y entre les équations (1) , (2) et (3) , on obtiendra l’équation finale du lieu géométrique demandé. L’équation (3) donne

et par conséquent l’équation (2) ,

substituant ces deux valeurs dans l’équation (1), et réduisant, on trouve

équation d’une eissoïde renversée, qui a pour pôle le sommet de la parabole, et pour diamètre du cercle générateur la distance du sommet à la directrice : la directrice est par conséquent asymptote à la courbe.

136. Prenant pour axe des abscisses la droite CA et pour axe des ordonnées une droite perpendiculaire à CA élevée par le centre C , d’après la construction on aura BD=DM. Or, à cause de la tangente DA et de la sécante DC, on a

DÂ 2 =DB (DB-f-2r)=DM(2r4-DM),

en désignant par r le rayon du cercle.

Si donc on' fait CP=£ , MP=DA=i/, d’où I)M— u — r, on aura sur-le-champ

et, toute réduction faite ,

équation d’une hyperbole équilatère dont l’axe transverse est égal au diamètre du centre donné.

On peut en conclure une construction très simple de l’hyperbole équilatère.

157. Du foyer F menez FP, FQ, perpendiculaires sur l’asymptote SS f et sur la tangente TT': le centre de la courbe devra se trouver sur la droite SS' et à égale distance des points P et Q, d’après les propriétés connues de l’hyperbole. On joindra donc PQ, et on élèvera sur le milieu M de PQ une perpendiculaire MC, qui déterminera, par sa rencontre avec SS', le centre de l’hyperbole demandée.

La môme solution s’applique au problème suivant :

Etant donné le foyer d’une ellipse , deux tangentes et la direction de l’un ou de' l’autre des deux axes , déterminer la courbe.

On trouvera facilement le centre, et les éléments delà courbe seront connus.

138. Première manière. — Prenant pour origine des axes rectangulaires l’extrémité A du diamètre perpendiculaire à la tangente , et pour axe des abscisses ce diamètre lui-mème , si on le désigne par 2r, on aura à exprimer la condition M'N=AM (fig. 8). Or, de ce que M'N =AM ,• on a évidemment AP=P'B , et par conséquent AP'=AB — AP=2r — x.

L’équation du cercle est

Y 2 =2rX — X 2 = 2r(2r — X) — (2r — X) 2 ,

et celle de la sécante AMN ,

Carrant celle-ci , et retranchant de la précédente , on a , après réduction ,

218 SOLUTIONS développées:

Deuxième manière. — 1° On obtient directemeni la même équation par la considération suivante;

Si l’on joint BM f , on a, à cause de la similitude des triangles M'NB, AMP fet N AB*

81 'N NB .