Soit — l’excentricité donnée : on aura, en dési

fi

gnant les demi-axes par A et B ,

Ka 2 +B* m

d’où

ce qui déterminera la direction de l'axe transverse de l’hyperbole, et par conséquent le centre; etc.

124. En effet, soit AP (fig. 6) la perpendiculaire, et PM ' et PN les droites qui se coupent à son pied dans le plan ; prenez PM=PM r , PN f =PN, et joignez MN, M'N f , qui rencontrent PO en O et O'.

Il est facile de voir que OP'=OP, 0'M'=0M, 0'N'=0N. Cela posé , si l’on joint un point quelconque A de la perpendiculaire AP avec les points M, N, M', N', on verra également sans peine que AM=AM', AN=AN f ; et comme M'N'=MN, l’angle AM0=AM'0' ; et à cause de 0'M f =0M on en conclut AO'=AO ; et , de là , l’égalité des triangles APO, APO', et des angles APO, APO' : ce qui démontre le théorème.

127. Le lieu géométrique est une circonférence qui a pour centre le point donné et pour rayon la distance de ce point à la directrice.

Prenez le milieu de la partie de la tangente comprise entre les asymptotes; ce point appartient à la courbe.

Par ce point menez des parallèles aux bissectrices de l’angle des asymptotes et de son supplément, lesquelles bissectrices sont dirigées suivant les axes de l’hyperbole ; enfin, cherchez une moyenne proportionnelle entre les segments interceptés sur chaque parallèle par les asymptotes : ces moyennes proportionnelles représentent les longueurs des demi axes, qu’on portera chacune sur la bissectrice parallèle à la sécante correspondante.