Soit

y 2 =2px-\-qx 1 (1)

l’équation générale des courbes du 2 e degré , et

y—b=zct{x—a) ' . (2)

l’équation d’une sécante quelconque menée par le point donné a, b.

Eliminant y entre les équations (1) et (2), on trouvera successivement

(« (x — a)-\-b) 2 — 2 \px--\-qx 2 , xV+ï> — 2 (au 2 — ba.-\-p)x-\-o?a 2 — i labtx-\-b' L =Q .

Or, si l’on désigne par x\ x", les abscisses des points d’intersection de la sécante et de la courbe, et par X et Y les coordonnées du point milieu de la corde , on aura

et , d’après la théorie des équations ,

au *

-bu-\-p

En outre X, Y, devant satisfaire à l’équation (2), on aura la relation

Si l’on élimine « entre les équations (3) et (4), l’équation finale en X, Y, sera le lieu géométrique demandé. Tirant la valeur de « de l’équation (4) pour la substituer dans l’équation (3), et réduisant , on trouvera

équation d’une courbe du 2 e degré , qui peut se mettre sous la forme