PH A

186, F et F' étant les foyers, et M le point donné, la droite FF' déterminera la direction du grand axe, dont la longueur sera FM-f-F'M. Le centre sera au milieu de FF r , et le demi petit axe sera facilement déterminé par la relation B 2 =A 2 — c 2 ; c = -FF'.

Démontrer directement que la somme des distances d’un point quelconque de la courbe aux deux foyers d’une ellipse est constante et égale au grand axe.

Ay-(-BV=A 2 B 2 (1)

l’équation de l’ellipse rapportée au centre et à ses axes, et x==0, î/=t/ r , les coordonnées d’un point pris sur l’axe des ordonnées : l’équation de la normale à l’ellipse menée par 4 . ce point sera

L’équation (1) donne

J , =pM. (3)

Multipliant ces deux équations terme à terme , et réduisant , on obtiendra

équation d’une circonférence dont le centre est au milieu de la distance du point donné au cèntre de l’ellipse , et le rayon , la distance de ce point milieu à l’extrémité du grand axe.

Avant toute réduction , on remarquera que les relations x=0 , y=0, satisfont au problème et répondent aux axes de l’ellipse, ce qui est évident de soi-même.

194. Soient x, x-j-1, Æ-f-2, les trois côtés : on aura pour équation de condition

d’où l’on tire successivement

et a=3, seule valeur admissible , car la seconde valeur est négative.

Les trois côtés sont donc

En effet, 5 2 =3*+4 a -

193. Soit A et B les points communs , F le foyer donné , F' le foyer inconnu, et 2a le grand axe variable de ces el-

lipses : on aura , d’après la propriété essentielle de la courbe,

FA-j-F'A=2a,

FB|-f-F’B = 2« ;

d’où

(FA— FB)=F'B— F'A.

Par conséquent le point F' est tel que la différence de ses distances à deux points donnés A et B est égale à une longueur donnée |FA — FB ; le lieu géométrique des points F' est donc une hyperbole dont les points A et B sont les foyers, et l’axe transverse FA — FB.

L’intersection de deux hyperboles confocales déterminera le 2 e foyer , quand on connaîtra un foyer et trois points.

490. Soit TT 7 , RR' (flg. 13), les tangentes données, et F le foyer donné : du point F menez les perpendiculaires FP, FP', et prenez PG=FP, P'G r =FP'. Les distances du second foyer aux points G et G' seront égales au grand axe, et par conséquent égales entre elles : les seconds foyers se trouveront donc sur la perpendiculaire HIF élevée sur le milieu de la droite GG f .

L’intersection de deux droites déterminera le 2 e foyer, quand on connaîtra un foyer et trois tangentes ; la courbe sera donc facilement déterminée.