Soit
a 2 y 2 b 2 z 2 z=za 2 b 2 (1)
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes ;
a, 2 yy' -f- b 2 xx ’=:a 2 b 2 (2)
celle d’une tangente au point x’, y’, de la courbe. Si l’on fait
successivement rc=0, y= 0, dans l’équation (2), on trouvera j x„=^7» pour les coordonnées des points
où la tangente rencontre les axes, et par conséquent le rectangle demandé sera exprimé par
R =l/(£-*')Vx | /($-*!++'
qui se met sous la forme
H= ^k(a 2 -*' 2 ) 2 +y'V 2 X Kc^-y'y+y'V 2 ;
et à cause des valeurs
(a 2 —x' 2 fz=
tirées de l’équation de la courbe (1), on trouvera, toute réduction faite ,
t» aV 2 -MV 2
Soit
l’équation d’un diamètre quelconque : une simple élimination entre les équations (1) et (3) donnera
ar 2 -j-y 2 =
aV+i 2 »
et si l’on veut exprimer que le diamètre (3) est le conjugué du diamètre qui passe parle point de contact, c’est-à-dire
parallèle à la tangente , il suffira de remplacer « par j-j.
On trouvera , pour l'expression de ce demi-diamètre ,
ay 2 4-AV 2
a-fc ’
et par conséquent
Le calcul serait exactement le même pour l’hyperbole, et le résultat peut d’ailleurs se conclure du précédent en changeant b 2 en — b a .
Si l’on substitue à a K y n sa valeur a*6 2 — ay 2 x n tirée de l’équation de la courbe , on obtient , après réductions faciles à découvrir ,
d’où l’on peut conclure le théorème suivant :
Dans toute courbe du 2 e degré pourvue d’un centre, le demi-diamètre conjugué à celui qui passe par un point quelconque de la courbe est moyen proportionnel entre les rayons vecteurs menés des foyers à ce point.
La propriété qui vient d’être démontrée n’est pas particulière aux axes de la courbe : elle s’applique à deux diamètres conjugués quelconques ; nous engageons le lecteur à en chercher la démonstration.
205. Soit x le plus petit des côtés inconnus; x-j-1, .x-f-2, x-j-3, représenteront les deux autres côtés et la surface du
triangle : le demi-contour sera exprimé par ^ ^ ■ •
D’après la formule connue de la surface du triangle en
fonction des côtés on devra avoir pour! équation du problème
Elevant au carré, développant et réduisant, on trouvera l’équation Anale
11 est fapile de voir que cette équation est satisfaite par a?=3.
Les trois côtés du triangle sont donc représentés par les nombres 3, 4, 5, et la surface par le nombre 6.
On reconnaît facilement que le triangle est rectangle , puisque le carré de l’un des côtés est égal à la somme des carrés des deux autres. Les deux côtés de l’angle droit étant 3 et 4, on vérifie aisément que la surface est représentée par le nombre 6.
L’équation (F) n’admet que la racine réelle x=3. En effet , en divisant le premier membre par x — 3 on obtient pour quotient
3x*+ 12ar-f17=0,
équation dans laquelle B a — 4 AC < 0 ; par conséquent les racines du trinôme sont imaginaires.
206. Soient OD, OT (fig. 14), la directrice et la tangente données -, par le point d’intersection O de ces deux droites menons OT r perpendiculaire à OT. D’après une propriété connue de la directrice , les droites OT, OT r , sont deux tangentes à la parabole, puisque OT est tangente par hypothèse. Prenons ces droites pour axes des coordonnées , et soit F( a, |3) le foyer d’une des paraboles qui répondent à l’énoncé. 1° Si de ce point F on mène FIG perpendiculaire à
Ai
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OT, on aura FI=IG, ou plus généralement FI=- GF. Cette
condition servira à déterminer le lieu géométrique des points F. D’après cette construction le lieu géométrique est évidemment une droite OF telle que TOF=TOD.
2° Si de ce même point F on abaisse FP, perpendiculaire sur la directrice OD, le point S, milieu de FP, sera le sommet de la parabole, qui a pour foyer le point F ; cette condition déterminera le lieu géométrique des sommets S. On voit encore que le lieu géométrique des sommets est une droite , telle que OS, qui partage en deux parties égales les perpendiculaires abaissées de F sur OD.
Au reste l’analyse donne précisément le même résultat : 1° En effet , désignons par a la tangente de l’angle que la directrice OD fait avec l’axe des x, OT 7 ; l’équation de OD sera de la forme
y—ax, (1)
et la droite FIG, perpendiculaire à OT ou parallèle à OT' , aura pour équation
de sorte que les coordonnées du point de rencontre G des droites (1) et (2) seront
et la distance FG sera exprimée par
or on a FI=«, la première condition sera donc exprimée par
d’où
Le lieu géométrique des foyers est une ligne droite.
N. B. On a pris le cas le plus général des deux paraboles qui répondent à la même directrice et à la même tangente , l’une à droite, l’autre à gauche de la directrice.
En ne prenant que le cas de la parabole située à la droite de la directrice , on aura
2° La perpendiculaire FP, abaissée du point F (a /S) sur la directrice OD (y=ax), a pour équation
d’où l’on tire pour les coordonnées du point P
Et par conséquent, en désignant par xety les coordonnées du point S, milieu de FP , on aura
et à cause de la relation (G)
d’où enfin
et y=~a i x, (G*)
équation d’une ligne droite.
3° Soit îj 2 -[“f?i,T!/-|-H.c 2 -}-pÿ-j-<-/x-)-r= 0 l’équation d’une courbe du 2 e degré tangente aux droites. Si l’on fait x = 0, on obtient
y 2 +pyH- r =°;
et, en désignant par (3 l’ordonnée du point de contact, on devra avoir nécessairement
Pour j/=0 on trouvera de même
nx
i +«y+ r = 0 » ou »
et, en désignant par a l’abscisse du point de contact, on devra avoir
d’où l’on tire aisément
et par conséquent l’équation de la courbe sera
y 2 -\-mxy-\- ^ x 2 — 2/3y — 2^ ar— {— /3 2 = 0.
Si l’on vent exprimer que la courbe est utie parabole , on aura la relation
m 2 — 4— = 0: d’où m=dz 2—,
et l’équation générale de la parabole sera
y 2 — 2^ xy -f- ^ 2 — 2/3 y—~~ P =° î
d’où l’on tire successivement en résolvant , par rapport à y,
et enfin
t=o-i/iy.
équation générale de toutes les paraboles qui répondent à l’énoncé; les constantes (3 et « sont les coordonnées des points de tangence. .
207. SoitO(fig. 15), le centre de l’ellipse, A et B les deux points donnés et TT' la tangente; on mènera AO et BO, sur lesquelles on prendra OA'=OA , OB'=OB, et les points K! et W appartiendront à la courbe. De plus le parallélogramme ABA'B' sera inscrit dans l’ellipse , et les droites OX, OY, parallèles aux côtés du parallélogramme , formeront un système de diamètres conjugués.
L’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ce système de diamètres conjugués sera , en désignant par x', y', les coordonnées du point de contact de la droite et de la courbe,
Ay+BV 2 =A 2 B 2 ; (1)
et, si l’on fait OT=a, 0T'=4 , OP =p , AP =q, on aura les relations
Ay-f-By=A 2 B 2 , (2)
by’= B 2 . (4)
Ces quatre équations détermineront A , B , x' et y'.
La courbe peut être une hyperbole.
200. I)u foyer abaisser une perpendiculaire sur chacune des deux droites données; puis, par le milieu de la droite qui joint les pieds des deux perpendiculaires, élever une troisième perpendiculaire , qui coupera l’asymptote au centre de l’hyperbole, etc.
210. Soit TM et SN (fig. 16) les deux tangentes données, O le centre, A le point donné; on mènera, à égale distance du centre , les droites M'T', N'S', parallèles à TM, SN, et l’on obtiendra ainsi un parallélogramme IHKL circonscrit à l’ellipse : la question reviendra à décrire une ellipse tangente aux quatre côtés d’un parallélogramme et passant par un point donné.
Soit u et b les demi -diagonales du parallélogramme, 2A , 2B, les diamètres dirigés suivant ces diagonales, et, enfin , p et q, les coordonnées du point donné : les équations du problème seront
èl
