Soit
l’équation d’une normale à l’ellipse au point x y’ ;
celle de la perpendiculair abaissée du centre sur la normale j et enfin
l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes.
Si l’on élimine x' et y 1 entre ces trois équations , l’équation finale sera le lieu géométrique demandé. *
Des équations (1) et (2) on tire les valeur? de x' et y', qui , substituées dans l’équation (3), donnent, toute réduction faite ,
Telle est l’équation du lieu géométrique cherché, qu’il s’agit de construire.
Afin de construire plus facilement cette équation du 0 e degré , il est convenable d’avoir recours aux coordonnées polaires, en substituant à la place de x et de ij les formules connues
j-=rrjcosu, y = psinw ,
ce qui donne, en observant que a 2 — A 2 =c 2 ,
2 c 4 sin 2 « cos 2 w a 2 sin 2 w-j-A 2 cos 2 a> ’
Le facteur j>*, que l’on a supprimé, fait voir que la courbe a au moins quatre branches qui se coupent à l’origine.
On pourra donner à cette valeur de p les formes suivantes :
ou
‘ a 2 tang 2 w-|-A 2 1
, ;C 2 sin2&)
J/ c 2 sin 2 <u-f-À 2
et, en faisaut successivement «=0, 80°, 100°, 150°, 200°, etc. , jusqu’à 400°, on trouvera les valeurs correspondantes de p.
On se bornera à déterminer la plus grande valeur de p et le point de la courbe qui y correspond. Pour cela, résolvant l’équation (G) par rapport à sin«, après avoir remplacé cos 2 « par sa valeur 1 — sin 2 w , on trouve
sin 2 w = - p — ~ (c 4 — ctp 1 ) — UcWp* ;
et, toute réduction faite ,
sin w = dz | Y (b 2 -\-c~)—(p—fj) 2 ± (/ (é 2 4-c-)— .
D’où l’on voit que , pour que sin« soit réel , il faut que l’on
ait
p — lr-\-c L , et p -j- b < J/é-'-j-c 2 .
274 80LÜTI0NS DÉVELOPPÉES.
On verra facilement que la seule valeur maxirna de p est
et correspond à la valeur
sinw =
■ je-" .1
■V; «frf jl, ’A ■* '»
La courbe se compose de quatre feuilles égales, qui sc croisent au centre de l’ellipse et s’étendent entre les axes.
21>7. Supposant le problème résolu ; et , la parabole demandée étant rapportée à deux axes rectangulaires passant par le sommet donné A (fig. 30), soit Aï^as', TR=i/', les coordonnées du point de contact T, et TGX=a, l’angle inconnu que fait la tangente avec l’axe. On aura d’abord les relations
y' 2 —îpx', (I)
tangTGX
Enfin , abaissant du sommet A la perpendiculaire Ail sur la tangente, on aura les deux triangles semblables AGir , GTR , qui donneront , si l’on fait AH=</ Ja troisième relation
Les équations (1), (2) et (3), donnent, par une élimination facile ,
et enfin
sina
Pour construire celte valeur, après avoir mené du point A la perpendiculaire AU sur la tangente donnée , prenez
IIP=2p, paramètre donné, et IlM=p; joignez AM, et portez AII sur AI ; sur HM décrivez une demi-circonférence , portez MI en MK, et joignez HK ; enfin , par le point A menez AX parallèlement à HK : AX sera la direction de l’axe. En effet
AM = J/ AH 2 -j-ÏÏÏÏ 2 = l/pt+d 2 ,
MI = AM — AH = pi+d 2 — d,
et enfin
MI=MK=HM sinMIIK=psinTGX;
d’ou
sinTGX=sinœ.
Connaissant la direction de l’axe, le sommet et le paramètre , on aura aisément le foyer , etc.
On construirait de la même manière la seconde valeur de sina.
Au surplus , il suffira de porter IIG en IIG f , et l’on aura, . enjoignant G'A, la direction de l’axe de la seconde parabole qui satisfait à la question.
On peut tirer de cette solution la solution du problème suivant :
Etant donné le sommet et deux tangentes, déterminer •' la parabole.
En effet, en désignant par d et d ' les distances du sommet A aux tangentes T et T' données , on aura , d’après ce qui précède ,
sina p siwa' p
eus 2 a ’ 2rf ’ cos 2 a' 2 d' ‘
Désignant par i l’angle des deux tangentes, et observant que a — a’—i, on aura
sina' = sinacosi — simeosa , (3)
cosa' = cosacost -1- simsina. (4)
wmh
276 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
Eliminant sina r , cosa r et p, entre les équations (1), (2), (3) et (4), on obtiendra, toute réduction faite ,
</sin 2 ttan(j 3 a -)- 2d sintcosêtaii(j 2 <z 1 ^
-)-cosî(rfcosî — d') tanga -}-cf'sin* J 7
équation du 3 e degré , qui déterminera la direction de l’axe.
503. A, B, C, étant les trois points inaccessibles , le spectateur , placé en un point quelconque P, mesurera une base quelconque PQ, et déterminera successivement les triangles PAQ, PBQ, PCQ; d’où il conclura la détermination des triangles ABP/BCP, ACP, et par conséquent les trois distances AB, BC, AC. Si AB-|-BC=AC , les trois points sont en ligne droite.
504. En désignant par b et h la base et la hauteur du triangle, et par x la distance de la parallèle demandée à la base du triangle , on exprimera que le volume engendré par le petit triangle t est la moitié du volume du triangle donné T ; or, on a
VOl.
vol . / = ^ ~J t (h — x ) 2 (2-r-f-A) ;
et par conséquent l’équation de condition sera , toute réduction faite ,
4# 3 — 6 hx 1 -|- A 3 = 0 .
Faisant i/=2x et h— 1 , on obtiendra l’équation
y 3 -*VH- 2=0,
qui admet pour racine y~l. Divisant le premier membre par ÿ — 1, on trouve pour quotient
dont les facteurs sont
SOLUTIONS DEVELOPPEES
par conséquent les valeurs de x sont
’i in+kl
La seule valeur admissible est x
507. Soit F, F', les foyers donnés; T, la tangente, et M, le point de contact. Par le point 0, milieu de FF r et centre de l’ellipse , abaissant une perpendiculaire OP sur la tangente, si l’on désigne par A et B les demi-axes de l’ellipse , on aura pour les équations de la tangente et de la perpendiculaire
