Soit

ÿ 2 =2px-\-qx 2 (1)

l’équation d’une courbe quelconque du 2 e degré , l’origine des axes coordonnées étant au point donné ; désignons par «, p et p , les coordonnées du centre et le rayon d’un cercle

quelconque : l’équation de ce cercle sera

(y— P) 2 +(*— «) 2 +2(y— / 3) {x— «)cose=-p 2 , (2)

0 étant l’angle des axes coordonnés, et par conséquent l’angle des diamètres conjugués.

Pour exprimer que le cercle (2) est tangent à la courbe (1) à l’origine, il faut et il suffit qu’en y faisant x=0 on trouve j/ 2 =0; développant l’équation (2), on obtient

y 2 -f- Ixy cos6 -j- a; 2 — 2j3

— 2«cos8

— 2pcos8

-f-2«/3cos8

et, d’après la remarque précédente , on aura les relations

j3-f-«cos0=O, |B 2 +a 2 +2aj3cos0 — p 2 =û. (3)

L’équation d’un des cercles tangents à l’origine sera donc

ÿ 2 -j-2xycose-\~x 2 ~ 2(«-f-|3cos0)ar=:O. (4)

Des équations (3) on tire sans difficulté

«-f-(3cos0=dtpsin0.

L’équation (4) devient donc

y 2 — — 2xycos9 — x i dz2ps'va9x. (5)

Retranchant l’une de l’autre les équations (1) et (8) , on obtient, toute réduction faite ,

(*+7) x (pqppsinQ)

équation de la droite qui joint les deux points d’intersection des deux courbes, autres que le point donné. Le coefficient de x étant indépendant de p, on en déduit que cette direction est constante pour tous les cercles tangents à la courbe à l’origine,