MF C (T

MQ A (d—x) ’

et ce rapport sera constant, quel que soit or, si l’on a ,

ce qui détermine la directrice.

Le rapport constant r=— = l’excentricité.

Soit

-f - BW = A 2 B 2

l’équation de la corde de contact des deux tangentes me-

nées à l’ellipse par le point a. , ^ faisant y r =0, on a x'= — -, . A 2 , ^

et , si a. — — , x'—ç: donc la directrice est la polaire du

foyer ; ce qui donne encore un moyen pour déterminer la directrice.

L’équation de la perpendiculaire à la corde de contact (1) menée par le point

faisant Y=0 , on a

et si on obtient X 0 = c.

Donc la perpendiculaire menée par un point quelconque de la directrice sur la corde de contact des deux tangentes qu’on peut mener à l’ellipse par ce point passe nécessairement par le foyer.

Ces deux propriétés s’appliquent également à l’hyperbole et à la parabole.

548. Soit F, M, le foyer et le point donnés; 2a, 2 b, les axes de l’ellipse : mener la droite indéfinie FM, et prendre FMG=2a; du point F, comme centre, avec un rayon =2|/ a 2 — b-, et du point M, comme centre, et d’un rayon MG, décrire deux arcs de cercle, qui détermineront par leur intersection le 2 e foyer. Connaissant les deux foyers et un point de la courbe , l’ellipse sera facilement déterminée. Le problème a généralement deux solutions.

355. Soit B et H la base et la hauteur; en prenant pour base la face donnée , désignons par .r, la distance du premier plan sécant au sommet du tétraèdre , et par b la section déterminée par ce plan : on aura les relations

d’où l’on tire, par une élimination facile.

résultat indépendant de la surface de la base.

«, |3, est

Les distances des autres plans sécants au sommet du tétraèdre seront

354. Soit aune des racines égales ; le premier membre de l’équation proposée sera divisible par æ*— a a ; effectuant cette division , on obtient pour reste

(4 — 2a 2 ) .r-j-(a 4 — 1 0a 2 -(- 1 6), et pour quotient

égalant à zéro les coefficients du polynôme , reste de la division , on obtient

De la première on tire a =±[/ 2 pour les racines demandées ; la seconde est satisfaite par la valeur de a a = 2.

Le quotient égalé à zéro , après la substitution de a* , deviendra

•t 2 — 2x — 8=0 ; d’où x= 1±3 ;

et par conséquent les racines demandées sont

•*■=-}- J/iF, x =. — ^ 2 , #=4, x— — 2.

On résoudra facilement et d’une manière générale le problème suivant :

A quel signe peut-on reconnaître qu’une équation donnée du 4 e degré a deux racines égales et de signe contraire ?

II suffira de diviser le premier membre de l’équation x* -|- px* -f- qx* -f- rx -f- s = 0 par x % — a a , ce qui donnera pour reste

( r -j-pa 2 )x -\-s-\-a 2 (q-{-a 2 ).

Egalant à zéro les coefficients

r-\-pa 2 — 0, «-f-rt 2 ( ? -fa 2 )=0,

et éliminant a 4 entre ces équations, on trouvera , toute réduction faite ,

r 2 — pqr-\-p 2 s=0.

D’ailleurs les racines égales et de signe contraire seront données par la relation

Le quotient de la division

x 2 -\-px-\-{q J r a 2 )^

égalé à zéro , achèvera de déterminer les deux autres racines de l’équation.

355. Du foyer F abaissant une perpendiculaire FP sur l’asymptote SPS' , prenant ces droites pour axes des ordonnées et des abscisses, et désignant FP par d, et par « et J3 les ordonnées d’un sommet A , l’équation de la droite AF

sera

et par conséquent l’équation de la perpendiculaire AH élevée par le point A sur AF sera

et il suffira d’exprimer que AH=FP — d. Or , le point de rencontre H de la droite AH (2) et de l’asymptote SPS', axe des abscisses , a pour coordonnées

et par conséquent la distance ÀH est exprimée par la relation

AH=l/V+§(<'-/ï) 1 -

On aura donc pour équation du lieu géométrique demandé

Passant aux coordonnées polaires au moyen des formules a=/5cos«, P=psinw, on trouvera, toute réduction faite,

rfcos2o>

^ sinw ’

et, si l’on transporte l’origine au foyer donné F, en prenant pour axe des abscisses une parallèle menée par ce point à l’asymptote donnée, changeant « en — d — p, et passant ensuite aux coordonnées polaires, on trouvera facilement, après avoir réduit ,

1 1 p=</tang-<a, ou p=< 2 cot- 2 &>.

Cette courbe , semblable au folium de Descartes , passe par le foyer donné.

On résoudra par un moyen tout à fait analogue le problème suivant :

Trouver le lieu géométrique des foyers des hyperboles qui ont un même sommet et une asymptote commune.