DA.DC
BO
porter DH en IK ; sur IK décrire une demi-circonférence , et prendre IA f = IA : la perpendiculaire A'P abaissée sur IK déterminera l’abscisse IO=IP, et la parabole sera facilement construite.
448. Soit A 2 !/ 2 — B a x 2 =: — A 2 B 2 l’équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses axes ; A ü yy’ — YPxx'— — A 2 B 2 l’équation de la tangente en un point quelconque
«=x>et(i=- -g* (0(2)
les équations de la perpendiculaire menée du centre à la tangente , et de l’ordonnée du point de contact ;
A 2 y’ 2 — BV 2 = — A 2 B 2 (3)
ia relation entre les coordonnées du point x', y', de la courbe et les axes de l’hyperbole.
Eliminant x', y', entre les équations (1), (2), (3), on obtiendra l’équation du lieu géométrique demandé.
A cause de l’équation (2) l’équation (1) donne la valeur de y’, et substituant dans l’équation (3) on obtiendra
équation d’une hyperbole concentrique à la proposée et dont les demi-axes sont
c’est-à-dire ayant même axe transverse que la proposée , et pour second axe une troisième proportionnelle aux deux axes de cette même hyperbole.
440. Soit SS f (fig. 53), et A, B, C, l’asymptote et les trois points donnés; mener ABM et prendre AM'=BM; mener pareillement RCN, et prendre BN'=:CN : les deux points M r et N' sont à la seconde asymptote RR r , qui est par conséquent déterminée. Par le point O, intersection des asymptotes SS f , RR' , mener OD , qui partage l’angle SOR en deux parties égales , OD est la direction de l’axe transverse ; pour déterminer sa grandeur , mener AGH parallèle à OD , et chercher une moyenne proportionnelle à AG et AH ; cette moyenne proportionnelle AK est te demi-axe transverse.
On trouvera facilement le demi-axe non transverse, et la courbe sera complètement déterminée.
Démontrer les propriétés sur lesquelles ces constructions sont fondées.
447. Soit F et M le foyer et le point commun. Du point M comme centre, et d’un rayon égal à MF, si l’on décrit une circonférence , toute droite tangente à cette circonférence pourra être considérée comme la directrice d’une des paraboles qui répondent à l’énoncé. Soit donc DP une de ces tangentes ; des points F et M abaissons sur la directrice les perpendiculaires FD et MP : le point A, milieu de FD, Sera le sommet d’une parabole du problème. Si l’on joint MD, MA, le triangle MDF et le triangle rectangle MDP donneront 2MÂ 2 +2FÂ 2 =MF+mF 2 , MD 2 =MP 2 -fPD 2 =MF 2 +PD 2 -
Observant que PD 2 =MF 2 — (MP — DF) 2 , on trouvera MA 2 + 3FÂ 2 — 2MF. FA — 5iF=0.
Si donc on prend le point M pour l’origine des coordonnées rectangulaires, MF étant l’axe des abscisses , et si l’on fait MF=d, l’équation du lieu géométrique, dans lequel x et y représentent les coordonnées du point A, sera
a’M-ÿ’+S [(*— rf) 2 +y 2 ] ~ ^ 2 =0 , (F)
équation du 4 e degré.
4S5. Soit I (fig. 54) le point donné, IA A' et IGH une sécante quelconque et une droite parallèle à l’axe de la parabole j soit 2 p le paramètre du diamètre OMK conjugué à la corde AA' : on aura les relations
ÂM 2 =2p.OM, GF=2p.OF;
d’où
