Soit

y 2 =2 px, y' 2 =2p(x l —à ) ,

les équations des paraboles; si l’on cherche le rapport des ordonnées des deux courbes correspondantes à la même abscisse on aura

et, faisant x=oo , on en conclut y a =i/ fa , ou y— y'.

On arrive au même résultat en cherchant la différence entre les ordonnées correspondantes à la même abscisse. En effet on a

d'où

y — 1^2 px, ÿz=\/ ip[x — a) ;

, «l/sp

et si l’on fait x—co , on a y — y'=0; d’où y-y'-

En prenant la différence entre les carrés des ordonnées correspondantes à la même abscisse , on a

y 2 — ÿ 2 =2pa ,

quantité constante , quel que soit x.

Or , y* y' 3 — (y — H*/ r ) (y — y') = (PM-f-Pm) (PM — Pm)= (PM-)-Pn)(PM — Pm) ou Mn.Mm.=2pa.

D’où l’on conclut les théorèmes suivants :

Etant donné deux paraboles égales et dirigées suivant le même axe et dans le même sens , si de tous les points de la parabole extérieure on mène à la parabole intérieure des

sécantes perpendiculaires à l’axe , le produit de la sécante entière par la partie extérieure sera constant et égal au carré construit sur sa moitié de la tangente perpendiculaire à l’axe au sommet de la parabole intérieure.

Etant donné deux paraboles égales dirigées suivant le même axe et dans le même sens , si l'on coupe ces deux courbes par des droites parallèles à l’axe , et qu’on mène les tangentes à l’extrémité de ces nouveaux diamètres , ces tangentes seront deux à deux parallèles entre elles.

En effet p représentant la distance d’un diamètre quelconque par rapport à l’axe , la tangente à l’extrémité de ce diamètre fera avec l’axe un angle dont la tangente sera ex-

primée par £ ,

pour l’une comme pour l’autre des deux

courbes.

De plus si l’on désigne par x et x 1 les abscisses des points d’intersection de la sécante parallèle à l’axe , dont l’équation est y— P, avec.Ies paraboles proposées, on aura

x—~t x 1 — a=~ d’où x 1 — x=a:

c’est-à-dire que et QQ , =OO f . D’où il suit que

le paramètre de chacun des diamètres sera encore égal ; et par conséquent les équations des paraboles ne changent pas de forme , quel que soit le diamètre commun auquel elles sont rapportées.

La propriété précédente est donc vraie encore quelle que soit la direction des sécantes , pourvu qu’elles soient toutes parallèles entre elles.

437. Soit A, B, C (fig. 52), les trois points donnés , et MN la direction de l’axe de la parabole; par l’un des points donnés , B par exem pie , mener BH parallèle à MN , joindre AC; et par I , milieu de AC , mener IK parallèle à MN. Si l’on désigne par 2 p le paramètre inconnu du diamètre con-

jugué à la corde AG, on aura , d’après une propriété connue

2p.BD=DA.DC; d’où 2 p=^^-

Si l’on exprime en outre par x l’abscisse du point I , c’està-dire la distance du point I à l’extrémité du diamètre IK , on aura AP=2px ; d’où x sera déterminé.

Construction. Par les trois points donnés A, B, C, faire passer un cercle , qui coupera BH en un point H tel que