L’équation proposée peut se mettre sous la forme
Egalant à zéro successivement chacun des termes de la fraction , on trouve que l'équation
a ses trois racines réelles, et de plus inégales , puisque aucune d’elles n’est commensurable. Deux de ces racines sont positives, comprises l’une entre 0 et 1, l’autre entre 4 et 5, et la troisième racine, négative, est comprise entre — 6 et — 6.
L’équation x* — 2x* — 4x-{-8=0 (3)
a pour racines x =2, x=2 , x~ — 2; de sorte qu’en désignant par a, b, c, les racines incommensurables de l’équation (2), l’équation proposée prendra la forme
l’équation proposée (1) montre que pour .r=0, on a y=± 1.
Depuis x=0 jusqu’à x=a les deux facteurs x — a, x — b, sont négatifs; par conséquent le radical est réel. x=za donne y=0. On a donc deux branches de courbe qui se réunissent en ce point de l’axe des abscisses.
D e x=a &x=b , l’ordonnée est imaginaire. Entre ces deux points il n’y a donc pas de branches de la courbe.
Pour x—b , y=0 ; de x—b à x—cc , y est réel. Ou a par conséquent deux branches de courbe qui, partant du point x=b, i/=0 , s’étendent à l’infini dans le sens des abscisses positives.
En donnant à x des valeurs négatives , on voit que de x=0 jusqu’à x— — 2, y est réel ; pour x— — 2, ÿ=oo ; les deux branches de courbe, qui se réunissent au point x=a, ?/=0, s’étendent indéfiniment au dessus des abscisses négatives , ayant pour asymptote la droite x=. — 2.
De x = — 2 à x= — c, l’ordonnée est imaginaire. Point de courbe dans cet intervalle.
x — — c donne i/=0 , et de — c à x — — ac , y est toujours réel : on a donc encore deux branches de courbe partant du point x=z — c, ij=0, et s’étendant indéfiniment dans le sens des abscisses négatives.
Afin de déterminer l’équation générale des tangentes à la courbe, on mettra l’équation (1) sous la forme
(x 3 — 2ar — 4x-}-8 )y 2 — (x 3 — 24x-|-8)=0.
Et si l’on désigne par j'{x), f(y), les dérivées de cette équation par rapport à x et à y, on aura
* f , (x)= y^Sx 2 — hx — 4) — (3a* 2 — 24) , f( y )=2y(x 3 —2x 2 —Ux-\-S) i
x 3 — 'lSar 2 — 12a? — ZjO
fW) H kV— 2Ar+8)(> 3 -2;r 2 -Ar+8) * ‘ ,
Les abscisses des points de la courbe où la tangente est
d’où
t r<jx)
parallèle à l’axe des abscisses seront données par l’équation
qui n’a qu’une racine réelle comprise entre 18 et 19.
Four déterminer les points de la courbe où la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées , on posera x z — 24a?-)-8=0, . et x* — 2x* — 4æ-|~8=0 , dont les racines sont , ainsi qu’on l’a vu , x=2, a=2, oc = — 2 ; a=2 donne pour y une valeur imaginaire et ne répond à aucun point ; x — — 2 donne l’asymptote anx deux branches de la courbe qui se réunissent au point x=a , y=0. ' ■
Les racines de l’équation æ 3 — 24x-{-8=0, c’est-à-dire a , b, — c, sont les abscisses des points où la tangente est parallèle à l’axe des ordonnées ; ce sont les points où se réunissent les deux branches qui ont pour asymptote x—2 et celles qui s’étendent indéfiniment dans le sens des abscisses positives et négatives en s’écartant de l’axe des ordonnées.
Afin d’obtenir les asymptotes , on extraira la racine de la fraction , après avoir rendu le dénominateur carré parlait ; puis , effectuant la division , on trouvera
ordonné suivant [les puissances décroissantes de l’abscisse , ou • •
selon les puissances ascendantes de la même variable.
Le premier développement donne y= ±1 pou* asymptotes communes aux branches indéfinies de la courbe dirigées dans le sens des abscisses positives et négatives.
Une particularité assez remarquable , c’est que les branches dirigées dans le sens des abscisses positives coupent d’abord leurs asymptotes pour s’en rapprocher ensuite in-, définiment. • / V • ••* '• ‘ ; I -.
On peut le voir facilement par l’équation (1) mise sous la forme
yz=± [/ \-\-
(ir-J-2) { x — 2 ) 2
Pour x< 10, la valeur de la fraction est négative; mais pour a: >10 la valeur de la fraction sera positive, et par conséquent l’ordonnée de la courbe sea plus grande que l’ordonnée de l'asymptote. ■ : 4
On aurait deux asymptotes hyperboliques en prenant
L’axe des abscisses est évidemment un diamètre de la courbe.
815. Les droites étant prises pour axes, soit a, 0; 0, /3 ; x, y , les coordonnées variables des sommets C, B, A(fig. 59), du triangle proposé , dont les côtés donnés sont c, b, a-, et X,$Y, les coordonnées du centre de gravité dans une position quelconque du triangle : on aura les relations
tf--\-(x— x y=b 2 ,
éntre lesquelles il ne restera plus qu’à éliminer les variables x, y, x, P, pour obtenir l’équation finale
y 2 S ( a 2 +& 2 )-c 2 X 2 j Ça*—bi*-ey
oy 5a 2 — b 1 — c 2 1 / 2(a 2 -f-c 2 j— A 2
Cette équation du lieu géométrique cherché prend une forme très simple si l’on observe qu’en désignant par l , l r , l" , les droites des milieux correspondantes aux sommets C, B, A, on a . ‘
et de plus 5a 2 — b 2 — c*=4(/ 2 -|— f ,a — Z" 2 ).
Et l’équation finale devient par conséquent
m 2 — PX 2 -f^ P+f g~ ' / " 2 ) 2 =Y(f 2 +/ l2 -f«) (F)
équation généralement du 4 e degré.
Mais si /H-/' 2 — /' ,2 = 0, l’équation (F) devient
et représente deux lignes droites.
De là ce théorème :
Si un triangle dans lequel les droites médianes peuvent former un triangle rectangle se meut sur deux droites fixes perpendiculaires , de manière que deux de ses sommets soient assujettis à rester constamment sur ces axes, le centre de gravité du triangle parcourra une ligne droite passant par le point de concours ! des axes. Et si de plus le triangle est isocèle, la ligne droite parcourue par le centre de gravité partage iangle des axes en deux parties égales.
La relation Z 2 -)-/’ 2 — / ,,2 =0 , ou 6a 2 — 6 S — c 2 =0, peut encore s’exprimer par
ha 2 — (à 2 ~j-e’ — a 2 ) — t\a 2 — 2àccosA ,
et comme 6csinA=2S , S étant la surface du triangle, exprimée aussi par ah, h étant la hauteur du triangle correspondante au sommet A , on pourra exprimer la relation
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
précédente par
a 2 tangA=S, ou atangA=— ■
S16. Soit ABCD (fîg. 60) le trapèze, supposé construit ; CD=r , AD=y, AB— 2 , CB=u: si l’on mène CE parallèle à AD et DF perpendiculaire à AB, en désignant par 2 p le périmètre donné , et par m 2 le double de la surface , on aura les relations
y sin A= wt 2 ,
M sirtA
y sin B’
z — x sin(A-f-B)
u sinA ’
éliminant s et « entre ces équations , on trouve
. 2sinB 2/>sinB
siaA-f-sinB-f-sin^A-j-B) 2sinB
sin(A-j-B) a? ^ sinAsin(A-J-B) '
Le sommet G du trapèze sera déterminé par l’intersection d’une hyperbole (H) et d’une droite (D) déterminées.
L’élimination directe entre ces deux équations fournirait la valeur des côtés x et y, et par suite celle des côtés z et n.
Si A=B, les équations Anales (H) et (D) prennent la forme
" 'cos A sin2A *
y j séc 2 1 Ax— p séc 2 ~ A = 0.
Enfin si A=100° , les équations finales deviennent y 2 -}- 2 tangILry — m . 2 tangB=0 ,
siu A-j-sinB-j-siu (A-j-B)
l-f-cot-jB l-{-cot±B
817. En supposant le problème résolu , soit DSF (flg. 61) l’axe de la parabole , F le foyer et DIG la directrice. D’après la propriété de la parabole , on aura AF=AI, BF=BG ; et, désignant par I l’angle ASF, inconnu; par a l’angle ASB , donné; et faisant SD==SF=.r, la distance inconnue du sommet au foyer ou à la directrice; AS =d, BS distances connues : on trouvera pour équations de condition
l^d 2 -f-x 2 — 2etecosï=ar-|-SP=«-f-«?cosI , (1)
d ,2 -\-x 2 — 2ûl'arcos(I — a)^r-(-SQ=af-f-<fcos(I — a). (2)
Développant et réduisant , on obtient
<£sin 2 I — Arcosl=:0, (3)
'rf'sin 2 (I — a) — 4*cos(I — a)— 0, (4)
entre lesquelles il faut éliminer pour déterminer x et l’angle I. De l’équation (3) on tire Ar=dsinï tangl; substituant
dans l’équation (4), et développant , on obtient , en faisant d d
rsina tang ! I -f-cosa (r — eosa) tang 2 I -f- 2sinn coeatangl — sin 2 ac=>0 ,
équation du 3 e degré, qui déterminera l’angle I.
La relation
«fcinl taiiRÏ
achèvera de déterminer le foyer.
