Par le milieu B et K (ftg. 73) des deux .bases du

trapèze menez la droite HK, qui passera nécessairement par tous les centres des ellipses circonscrites. Soit O le centre d’une de ces ellipses; et O A', parallèle à AD et BG, la direction du diamètre conjugué à OKH.

Désignons par À', B', les longueurs des demi-diamètres dirigés suivant OA' , OH; par 9 l’angle B'OA' ; et soit fait BC=2B, AD=26, HK=2df; OI=a, distance du centre de l’ellipse au milieu I de la droite IIK : les coordonnées des points A et B seront

0?=b, AP=a-ftf; OQ=B, BQ=a—d;

et l’on aura à Tendre maximum ou minimum l’expression n A'B' sin 9, A' et B' étant déterminés par les relations

A' 2 («-f-rf) 2 +B' 2 A 2 = A' 2 B' 2 , A' 2 (a— rf) 2 -fB’ 2 B 2 =A' 2 B' 2 .

Ces expressions donnent

4 ,2 B 2 («-(-rf) 2 b 2 (a d) 2 p ,2 B 2 (q-}-</) 2 6 2 (a d) 2

et , par suite , ;

* W'W-Krfn’?* ° =

4(B 2 — b l )da ’

d’où l’on voit que la plus grande valeur de n a A' 3 B ,a sin 2 0 Æera donnée par«=d ; ce qui donne

:B, et dès lors B'=r -?=====. ; 1 S/ W 1 -!}- ’

c’est-à-dire que le centre de l’ellipse maximum doit se trouver au milieu de la plus grande base du trapèze. Pour la surface maximum , on a

i , ■ . 27rB 2 </sin9

n A'B' sing=r , .

kB 2 -F

o50. R désignant le rayon du cercle (fig. 74) on a

B€=:AC=n|/î, AF=AE=2I\ f-

r — \v — on (LJ*—! ^ .

et dans le triangle ACF

cF 2 =ÂC 2 +ÂF 2 +2AF.AG. (1)

Or AG=FG — AF; et, à cause de la similitude des triangles CGF (CG étant perpendiculaire à FA prolongé) et ACB, on a

FG BC ou AC »

d’où FG=