Courbe à peu près de la forme d’un 8, comprise en
les droites æ=0, xzza, yz=±.l, 86 a. .
Le point d’inflexion est sur l’axe des abscisses, et correspond au point d’intersection de la circonférence et de la parabole, quijpeuvent être considérées chacune comme le diamètre de la courbe. Il y a en outre un point conjugué, qui a pour abscisse x — — a — (/ 2a 2 .
527. Soit x', y x", y", les coordonnées des points M', W ( fig. 72 ) , et satisfaisant à l’équation de la parabole donnée
y 2 —2px, ■ (1)
de sorte qu’on a les relations
y' 2 =2/>*', y" 2 -=:2px". (2) (3)
Les perpendiculaires M'P, M'T, auront pour équations
y—yn= — Ç(x—x"), * ( 5 )
équations qui prennent la forme
yÿ — ÿ 2 -\-xx' — x’ 2 =0, yÿ' — y" 2 - \-xx" — x" 2 =z0 , et d’où l’on tire , par soustraction ,
0 — (y-hy")Ky' — y") + — (^'+^0] C^' — ^0= °-
I jf iylt 2 n
Substituant dans cette équation la valeur de >
qu’on obtient en combinant les équations (2) et (3), on trouve
O— ^ (y+y'OJp^r+C^— (*'+*")] = °*
Faisant y"~y r , pour exprimer que les deux perpendiculaires partent de deux points infiniment voisins de la courbe ,
on a
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
L’équation (4) prend la forme
et, soustrayant (a) de ( b ) , on obtient y’x’——py.
La combinaison des équations (a) et (c) donne
Substituant ces valeurs dans l’équatiou (2), on obtient , toute réduction faite , pour l’équation du lieu géométrique cherché, '
équation d’une parabole cubique, dont le sommet est à une distance de l’origine égale au paramètre de la parabole proposée.
On construira facilement cette équation en donnant à x des valeurs particulières.
Combinant entre elles les équations
y ’=2 px, 27py 2 =2(x—2 P y,
on trouve, après réduction, pour déterminer les abscisses des points de rencontre des deux courbes , l’équation
ar 3 — 6 px 2 — 1 5p 2 x — 8p 3 = 0 .
On reconnaît facilement que cette équation n’admet pour racine que la valeur x—8p, et par conséquent l’ordonnée correspondante y — i p-, d’ou l’on voit que la corde de section est égale à l’abscisse des points d’intersection.
