FM
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résolvant par rapport à y ,
■ y=^=<*-*)+<îÿr)- , . V.
Les équations des asymptotes sont donc
y=.ax — d, x— — d , •»
c’est-à-dire la droite ACS, et une droite GÀ'T , parallèle à l’axe des y et à AB, et à la même distance que cette dernière »
droite par rapport à l’origine.
Connaissant les asymptotes et un point de l’hyperbole , on construira là courbe sans difficulté.
Si l’on transporte l’origine au point de rencontre des asymptotes, au point G, centre de la courbe , en faisant
' > x—x 1 — d , y— y' — 2 ad,
l’équation (L) devient *> y
x?y* — -ax' 2 — dl— 0 ;
car on peut remplacer ad+h par la longueur AH=r/ , déterminée par l’intersection de AB avec la droite 111 menée
par le point I parallèlement à AC . s
j)e plus, si l’on prend pour nouveaux axes coordonnés les s
asymptotes GS, GT, au moyen des formules
x'=:^'cos«, y'=y"+^"sin« 1 * ,
dans lesquelles * est déterminé par tang*=a, d’où
gina
et cosa =
on obtiendra, toute réduction faite.
* c.osa
or
J =ot= ar=/ ''
COSOL
l’équation deviendra
â x>yz=ll'+m\
Digitizf
SOLUTIONS DEVELOPPEES. W.
, en représentant par m une moyenne proportionnelle entre
|V*. ARetAH.
i 4* # * 554. L’origine des axes rectangulaires étant placée au
i« centre de l’ellipse, dont les axes sont 2A et 2B, et 6 et a étant
les coordonnées du point donné , les équations de l’ellipse et de la normale seront
sf"
Ay+BV=A 2 B 2 , y—'irh{a—x).
et les ordonnées du point d’intersection de la normale et de la courbe seront données par l’élimination entre ces deux équations.
L’équation (2) prend la forme
(A 2 — B 2 )xy — k 2 ay -\-Wbx=zO ^
et représente une hyperbole équilatère , passant par le point donné, et ayant pour asymptotes deux droites parallèles aux axes de l’ellipse proposée. On pourra donc facilement construire cette hyperbole équilatère, et les points d’intersection des deux courbes donneront la solution du problème dans chaque cas particulier.
L’équation (3) donne
B 2 bx
A 2 a — (A 2 — B 2 )# et , substituant dans l’équation (1) , on obtiendra
A 2 B W-f[ A 2 a-(A 2 -B 2 jx] V=A 2 [A 2 a— (A 2 — B 2 >] 2 , (E)
(A 2 -B 2 )V-2A 2 a(A 2 -B 2 )x 3 -l-A 2 [A 2 a-fB 2 A 2 -(A 2 -B 2 ) 2 ]jr 2 -f 2A*a (A ! -B>-A'a 2
Cette équation (F) donnera les abscisses des points ou les quatre normales rencontreront la courbe. On voit que le problème est susceptible de quatre solutions dans le cas le plus général.
Jk
vfcV..
• ^ i * .. s il * ÿ
De l’équation (E) on tire * * .
i(/AW+[A s a— (A J - B*J*] 2 =±ÎA[A\i— (A 3 — B 2 )*]. v
* jv * **
On pourra extraire la racine carrée , si l’on a la relation 4 -'- (A 2 — B 2 ) 3 ( A 2 B 2 6 2 -|-A*a 2 ) = A*a (A 2 — B 3 ) 3 , d’où 6=0, et par • conséquent si le point donné est situé sur le grand axe de l’ellipse. »
Dans cette hypothèse , on a ' *
et les points d’intersection de la normale et de la courbe se trouvent sur une droite perpendiculaire à l’axe des x, à une distance de l’origine exprimée par cette valeur, que l’on > construira facilement de la manière suivante. F étant le foyer {fig. 76) , menez BF et CI perpendiculaire sur BF. Alors
