BF BF BF __
ÊF = FÏ’ el X = fT CP ’
P étant le point donné ; menez CGH parallèle à BF, F6 et FH parallèles à CI et à CB; enfin joignez GP, et menez HK parallèle à GP : la droite NKN' sera la droite des points d’intersection, et les deux normales seront PN etPN f .
Dans le cas le plus général , les points d’intersection des normales et de l’ellipse seront donnés par la combinaison des équations (1) et (3).
Lorsque les deux courbes qu’elles représentent auront un même foyer , le problème pourra être résolu par la règle et le compas. Si l’on soumet cette condition au calcul , on trouve que le point donné par lequel on veut mener la normale à l’ellipe doit avoir une des positions indiquées par les valeurs suivantes de ses coordonnées
17 r&iTT* • -r; . V
. r^l. • ' SOLUTIONS DÉVELOPPÉES. 389
Nous laissons au lecteur le soin d’effectuer le calcul, qui présente peu de difficulté.
t>36. Soit
a'f+hxy+cxi+dy+ex+f == 0 (E)
l’équation générale des courbes du second degré, l’origine des axes rectangulaires étant en un point quelconque de son plan.
Si l’on veut exprimer que l’origine est au foyer que l’on considère , il faut et il suffit qu’en changeant convenablement la direction des axes au moyen des formules de transformation des coordonnées , qui servent à passer d’un système d’axes rectangulaires à un autre système de même nature ,
x—x'cosa — j/’âina, y=z jr'sina -|-ÿ'cosa ,
f"l° La distance d’un point quelconque de la courbe à l’origine soit exprimée en fonction rationnelle et linéaire de l’une ou de l’autre des coordonnées ;
2° Que l’équation transformée soit ramenée à la forme
Substituant les valeurs (F) dans l’équation (E) , on obtient une transformée de la forme
a'y ,2 -\-b'x'y'-\ r c'x' 2 -\-d'y'-\-e'x , -\-f =s 0 , (TJ
dans laquelle
a'z=acos 2 a — Asinacosa-J-csin 2 a ,
\ A(cos 2 a — sin 2 a)-j-2(a — ejsinacosa,
c' z= asin 2 «-j- £sinacosa-J-ccos 2 a ,
' ë d'~ tfcosa — esina,
• e' =</sina-j-ccosa ,
Pour que l’équation (T) puisse être ramenée à la forme (R), il faut que l’on ait b’= 0, d'=0; ce que l’on voit encore en exprimant que la distance d’un point de la courbe à l’ori-
Difjitizsd by
rf t
gine est une fonction rationnelle et linéaire de l’abscisse de ce point; désignant par a cette distance, on aura
Et, pour exprimer la condition précédente, on aura la relation t
e' 2 -\-Uf{a' — c')=0. (M) '
Les équations b’=0, dJ— 0, — c')=0, démon-*"
trent que la connaissance d’un foyer équivaut à deux conditions ; en effet ces trois équations renferment la quantité
a, qui détermine la direction de l’axe, et les coefficients a,
b, c, d, e,f , de l’équation (E) : l’élimination de a. entre ces trois équations donne lieu à deux équations distinctes entre ces coefficients.
Cela posé , si l’on a pris pour axe des abscisses une droite parallèle à la droite donnée , l’èquatiôn de la tangente à la courbe (E) en un point x", y", de la forme connue
doit pouvoir se ramener à la forme y= constante : on aura donc à la fois
hÿ' -f- 2c.r'' -j- e = 0 , y"— y 7 - '
d’où l’on tire
et, substituant ces valeurs dans l’équation de la courbe, on obtient, toute réduction faite,
(i 2 — 4 oo)y 2 — 2(2 cd — be)y-\-(e 2 — hcf) = 0. (N)
Appliquons maintenant ces résultats successivement à chacune des équations du 2 e degré. •
Ellipse. — Si la courbe est une ellipse, l’équation de cette courbe , l’origine des axes rectangulaires étant au foyer négatif et l’axe des abscisses se confondant avec le grand axe,
4P* 4 SOLUTIONS DEVELOPPEES.
est de la forme
Ay-|B 2 (x+C) 2 =:À 2 B 2 .
Comparant cette équation avec l’équation (B) , on a
c'B 2 «'—or
— ’ "7 -cLi-
Combinant ces équations avec l’équation de condition (M) trouvée précédemment , on en tire facilement
On a donc les équations
L’équation de l’axe sera y .sina
AV
COSg
d’où
sina ■
cosct
x et y étant les coordonnées d’un des points d’intersection dont on cherche le lieu géométrique. A cause de cette dernière relation les équations précédentes prennent la forme (dx—e y)=0.
, dy-t-ex+~£l/ x ' + yi = 0. •
ay4-Axy-f-cx 2 -f-j^(x 2 -fy 2 ) = 0, ,
ax 2 —bxy-\-cy 2 +~f(x 2 +y 2 ) = 0 , b{x 2 — y 2 ) -|-2(a — c)xy— 0.
Il ne reste plus qu’à tirer de ces équations les valeurs de a, b, c, d, e, et de les substituer dans la dernière équation de condition (N), et l’on obtiendra l’équation tinale demandée *
(y 2 — B 2 )|/P+p -f 2.Cy 2 = 0. (L)
* Le calcul d’élimination doit être fait arec beaucoup de soin.
DigitizëS
SOLUTIONS DEVELOPPEES.
Passant aux coordonnées polaires en faisant x=rp cos w , t/=psin&>, on obtiendra
On discutera facilement celle courbe à quatre branches , qui a un point singulier à l’origine et pour asymptotes une double parallèle à la droite donnée à une distance du foyer égale au demi-petit axe.
Hyperbole. — Sans refaire les calculs , il suffît de changer B a en — B a , et l’on obtient pour équation du lieu géométrique , en coordonnées rectangulaires ,
(y 2 +B 2 )|/iHÿ+2Cy a =0i , '
en coordonnées polaires ,
Deux courbes fermées.
sin 2 «
Parabole. — Pour le cas de la parabole , il faut que l’équation soit de la forme
ce qui donne c'=0, t—- et 6 a — 4ac=0.
On a donc les équations de condition
d'zx 0, e’=ÿ-, e’ 2 +ba'f=. 0; d’où
qui représentent les équations développées . dx — ey=z 0,
dy-\-exz
ax 2 — -f- car 2 -f- ^ (ar a -|-y 2 )=0 ,
caP-^-arf-^-hxy =0 , b(x* — y 2 )-j-2(a — c)xy= 0;
* JL
•, * Ç r "f « SOLUTIONS DÉVELOPPÉES. ** 393 "' y
d’où l’on tirera les valeurs de a, b, c, d , e, pour les substi- ' >;
tuer dans l’équation (M), devenue >»■ * ’
2(2 cJ—be)y—(e 2 —! t cf) = 0.
On obtiendra, pour équation finale,
