AA 2 («— A) 2 3 = (£ 2 4- « 2 — A

Développant et résolvant , on trouve

[a 2 ^A 2 4-2B 2 )]±|/(a 2 — A 2 -(-2ii 2 ) 2 — (a 2 — A^-f-AA^a-A) 2 ,

équation d’une courbe qui représente le lieu géométrique des diverses positions du sommet après le rabattement.

3° Enfin si d=c~ V A 2 — B 2 , abscisse du foyer, l’équation (F) devient

4B 2 0 2 -f4A 2 (« — c) 2 = Q3 2 -j-a 2 — c 2 ) 2 , et se décompose en deux facteurs de la manière suivante : [p 2 -\-a 2 — c 2 — 2B 2 — 2(<?« — A 2 ] jj3 2 4-« 2 — C 2 — 2B 2 -f-2(ca— A 2 )]=0 -, et plus simplement encore

Le premier facteur, égalé à zéro ,

représente le foyer lui-mème et ne présente qu’une solution insignifiante.

Le deuxième, -(a-f-c) 3 — 4A*=0 , représente une cir-

conférence qui a pour centre l’autre foyer et dont le rayon est égal au grand axe , résultat qu’il était facile de prévoirais. Soit MN, PQ et A (fig. 79) , les droites et les points donnés ; prenons pour axe des x la droite MN et pour axe des y la perpendiculaire OY élevée sur MN par le point d’intersection O des droites données ; soit C le centre du cercle' demandé ; faisons OI=«, CI=0, CD=p, OB=p, AB=q, DE=2Z , FG=/'. On aura pour équations de condition

404 SOLUTIONS DEVELOPPEES.

Retranchant successivement (2) de (1) et (3) de (2), on trouvera, toute réduction faite , .

Il ne resterait plus qu’à éliminer entre ces équations pour déterminer les coordonnées du centre du cercle cherché ; mais cette élimination devant produire une équation Anale du 4 e degré , généralement non dècomposable en facteurs du second , du moins immédiatement , il sera préférable de construire chacune des deüx courbes représentées par les équations (F) et (F r ).

L’équation (F) représente une parabole dont le sommet a pour coordonnées «=p, p=^—, pour paramètre 2 q, et dirigée suivant l’axe des y. En effet, cette équation peut se mettre sous la forme

c«— jO* —

Quant à l’équation (F'), elle représente évidemment une hyperbole équilatère rapportée à son centre, mais non à ses diamètres principaux. Pour la rapporter à ses axes on fera

a =a'cosA— j3'sinA, (3=a’sinA-f-/3'cosA; et l’on obtiendra

tang2A = ~î et pour l’équation transformée

La relation tang 2A=— - fait voir que l’axe transverse de

l’hyperbole partage en deux parties égales l’angle que font

entre elles la droite MN et une perpendiculaire à la droite

PQ. De plus, à cause de . ■> a cos2A , l’équation de l’hyv l+o 2

perbole prend la forme

cos2A

et l’on construira facilement la moyenne proportionnelle indiquée dans le second membre.

Toutes ces constructions se résument dans la solution suivante, qui correspond au cas le plus général.

1° Sur AB (fig. 80) décrire une demi- circonférence j prendre AU=/ et mener US perpendiculaire à AB. S sera le sommet de la parabole : en effet