Soit

A 2 y 2 +BV=A 2 B 2

l’équation de l’ellipse rapportée à son centre et à ses axes; A 2 yy' -j- Wxx ' = A 2 B 2

l’équation de la tangente en un point x\ y' ;

l’équation de la perpendiculaire menée à la tangente du point D ( d , 0) donné sur l’axe.

Les coordonnées du point de rencontre de la tangente et de la perpendiculaire seront

A\'BV + Ay 2 d) \ 2 ü 2 y'( A 2 — dx')

A 4 y' 2 -f-BV 2

Si «, (3, représentent les coordonnées du point D f qui correspond au point D apres le rabattement , on aura

^ =2/3, *+</= 2ar,

et par conséquent

o 2A 2 B 2 y'(A — daf)

P AVH-BV 2 ’

, j SA^BV+AW)

a I a — Ay 2 -|-BV 2 ’

et en même temps

Ay 2 -f BV 2 =A 2 B 2 ,

entre lesquelles équations il ne reste plus qu’à éliminer x', y r , pour avoir la relation entre a. et p, c’est-à-dire l’équation du lieu géométrique demandé.

Comme le calcul d’élimination présente quelques difficultés, nous indiquerons une marche assez simple.

Divisant (i) par (2), on obtient

(3 B 2 i/(A 2 — dx') ,

d’où l’on tire

. AV[B 2 («+rf)— <%']

R 2 [B 2 p+rf(«+fl«)y'] *

Substituant' cette valeur dans l’équation (1), on trouve , en ayant égard aux réductions qui se présentent dans le courant du calcul ,

La substitution de cette valeur de y' dans l’expression précédente de a? donne

Enfin substituant ces valeurs de x< et de y' dans l’équation (3) , on obtient

Il ne reste plus qu’à faire dans cette équation les différentes hypothèses sur la valeur de d.

1° Si d= 0 , on a 4B 3 p'+4 A V= (p 2 ~b* s ) a P° ur l’équation du lieu géométrique des diverses positions du centre de l’ellipse après le rabattement. Développant et résolvant, on trouve , en faisant A a — -B^c 3 ,

|3 2 =2B 2 — a 2 ±2 kcV-fF.

L’équation en coordonnées polaires

p = üfc 2 V'k 1 — o 2 sin 2 <u

permet de juger plus facilement de la forme de la courbe. 2° Si d=A, l’équation (F) devient