Soit

Ay 2 -}- B xy -{- C-r^ \ , , (1 )

A'y 2 - j- B 'xy -f- C'x 2 = 1 , (2)

les équations des deux courbes rapportées à leur centre commun et à deux axes quelconques.

Si l’on cherche les points d’intersection de ces courbes , on trouve, par la soustraction,

(A— AV+ (B — B')xy -j- (C — C')ar 2 = 0 , (3)

équations de deux droites passant par l’origine : d’où il résulte que les quatre points d’intersection forment un parallélogramme ABCD (fig. 81).

Par conséquent les droites OX, OY, menées par le centre parallèlement aux cétés du parallélogramme, forment un système de diamètres conjugués commun aux deux courbes.

Si l’on rapporte les courbes proposées à ce système de diamètres conjugués, les équations des courbes seront de

la forme

Aÿ J -fCp a =1, {c)

Ay 2 -f-cy 2 =i. (*)

et les tangentes à ces courbes aux points (p, q) de la première , (p r q ') de la seconde , seront

Ayy-f-Cpx=1, (T)

Ayy+C'/»'x= 1 . (T')

Si l’on veut que ces deux équations représentent une seule et même droite, il faut et.il suffit que les constantes de ces équations soient égales, ce qui donne les équations de condition

kq — k!q\ (d)

Cp=C'p'. (d 1 )

Il ne reste donc plus qu’à éliminer entre les équations

(c) ,(c f ), (d),(cF), afin de déterminer p, q, et p', q', qui, substitués dans l’une ou l’autre des équations (T) et (T'), devront donner exactement le même résultat. Des équations

(d) et ( d ') on tire les valeurs de q ’ et p r , qui , substituées dans l’équation (c'), donnent

âtî 2 +c tP 2 =*-

Eliminant enfin entre cette équation et l’équation (c), on obtient les valeurs de p et q , et par conséquent pour l’équation de la tangente commune

. | /CCXÂ^ÂÔ -4 j / AC'-A'C

* ~*~v AÀ'fC' — C) y AA'(C’ — C) ’