AC— A'C')(AC'— A'C

relation qui est satisfaite soit par (AC — A'C')=0 , soit par (AC' — A'C)=0 ; d’ou l’on tire

ce qui indique i° que les courbes doivent être de même espèce, ellipses ou hyperboles ; 2° que ces deux courbes doivent être égales ou semblables.

En général les quatre tangentes représentées par l’équation (F) sont parallèles deux à deux, et forment un parallélogramme circonscrit, dont les diagonales sont dirigées suivant les diamètres conjugués communs aux deux courbes.

Si l’on veut faire l’application de cette théorie à l’ellipse et à la circonférence concentriques représentées par les équations

il suffira de substituer dans l’équation (F) les valeurs

et l’on trouvera

rl/ a 2 — b*

Il est facile de se convaincre que les tangentes communes

SOLUTIONS DEVELOPPEES.

ne sont pas parallèles aux cordes de section. En effet, ces

cordes ont pour équations

et par conséquent polir qu’elles fussent parallèles , il faudrait qu’on eût la relation

Il faudrait donc que le rayon du cercle fût une moyenne proportionnelle entre les demi-axes de l’ellipse.

La droite (F') rencontre l’axe des x en un point dont l’abscisse est

Construction. — Menez BI parallèle à OX (fig. 82), lil = 1/ r 2 — b 1 ; déterminez le foyer F, OF = ai 1 — b 2 .

Donc , portez BI=OH en OG ; joignez GF, et menez DN parallèle à GF : le point N est tel que ON=ar 0 . Il n’y aura plus qu’à mener par le point N une tangente au cercle: cette droite sera en môme temps tangente à l’ellipse.

564. Soit ABC (fig. 83) le triangle proposé, et XY la droite qui opère la division du triangle de manière que l’on ait

AYX m AXY m

BXYC n 1 ° U ABC m-\-n '

Désignons par a, b , c, les côtés du triangle opposés aux an-

d’où l’on tire

r 2 =zab.

rj/ a 2 — b 2

et l’axe des y en un point dont l’ordonnée est

y ° lA'W ‘

gles A, B, C; par a: et y les distances inconnues AX, AY , qui détermineront la droite XY ; cette première condition sera exprimée par

= ^-bc.

Soit G et y les centres de gravité des^riangles ABC, AXY; le centre de gravité du quadrilatère BXYC se trouvera nécessairement sur la droite Gy, laquelle, d’après la seconde condition de l’énoncé, doit être perpendiculaire à XY; or si l’on mène les droites AGM , A gm, les points M et m seront les milieux des droites BC , XY ; et comme , d’après la propriété des points G et y, on a

GM=i AM, = ^ Xm ,

et par conséquent