GM AM

gm Am ’

la droite Mm sera parallèle à Gy, et par conséquent aussi perpendiculaire à XY ; les distances XM, YM, seront donc égales.

Désignant par l la longueur de la droite médiane AMj par a, p, les angles BAM , CAM , on aura

XÂPrrP-f-ir* — 2/jrcosa, YM 2 = P-f-y 2 — 2fyco?p,

et par suite

y 1 — a? 2 — 2/t/cosp-j- 2/arcosa = 0, équation qui prend la forme

(y— /cosp) 2 — (je — le osa) 2 = — P( cos 2 a — cos^) 2 . (2)

Les équations (1) et (2), qui serviront à déterminer les distances AX, AY, représentent , comme on le voit , deux hyperboles , dont la première , rapportée aux droites AB, AC,

comme asymptotes, a pour puissance ■^Ç' n bc , quantité que l’on peut exprimer facilement par un carré fc 2 ; la seconde

SOLUTIONS DEVELOPPEES. 411

est une hyperbole équilatère rapportée à un système de diamètres conjugués parallèles aux côtés AB, AC, et dont le centre a pour coordonnées x c =/cos«, j/ c =/cosp. Les points d’intersection des deux hyperboles résoudront le ' problème. '

Au surplus on peut déterminer séparément chacune des valeurs de x et de y ; en effet l’élimination de y entre les équations (1) et (2) donne

x 4 — 2/cosax 3 -f-2/cos0 4 2 x — k* — 0, (3)

équation du 4 e degré , dont le dernier terme est essentiellement négatif, et qui aura toujours par conséquent au moins deux racines réelles , l’une positive et l’autre négative. En substituant dans l’équation (1) chacune des valeurs de x tirées de l’équation (3) , on obtiendra la valeur correspondante de y. Il est évident qu’on devra rejeter leB valeurs négatives de x et de y, ainsi que les valeurs positives de x plus grandes que c, et de y plus grandes que b.

Si le triangle est isocèle, on a b=c, A, et l’équa-

tion (2) se réduit à

(y — /cos 7 A) 2 — (x — / cos 7A) 2 =0. (4)

Par conséquent les valeurs de x et de y seront données par la combinaison des équations

y -|-x =2/005-7 A , xy=Æ 2 .

On observera que l=bcos iA=ccos£A= [St? — {a 2 .

Enfin 6i le triangle est équilatéral , on a c = b = a , et cosiA=-t|/â.

871. 1° Soit OX, OY, les droites données, faisant entre elles un angle quelconque 0 , prises pour axes des coordonnées. Désignons par c— j— rf la longueur donnée de la droite mobile HH' , et prenons sur celte droite le point M tel que

MH=c, MH'=d, l’extrémité H étant sur l’axe des abscisses OX et l’autre extrémité H' sur l’axe des ordonnées OY.

Si par le point M on mène MP parallèle à l’axe des ordonnées, et qu’on fasse OP=j.', MP=;/, on trouvera facilement pour les valeurs de OH, OH',

0E= (ç±dW

D’après une formule connue de trigonométrie

• HH r2 =ÛÏÎ 2 -(-ÔIP — 20H.OH'cosHOH' }

substituant pour ces droites leurs valeurs, et réduisant ,

îx’ÿcort , 0 /n

d ï 'T‘ c a cd 1 ~* U ’

équation du lieu géométrique des points M. Cette courbe est évidemment une ellipse. On a en effet j i

B* — 4 AC=— 4 (1 — cos*0) =■ — 4 sin ! 0 ,

quantité essentiellement négative.

2° En général , lorsque les coordonnées sont obliques , le rapport des sinus des angles que la tangente en un point x', y', fait avec les axés, est exprimé par le quotient de la dérivée par rapport kx', divisée par la dérivée par rapport à y', ce quotient étant pris négativement. Désignant ce rapport des sinus par a, on aura

e / ex ’ — <fy'cos0\

. a d\dy' — ex'coso)'

Si l’on désigne par a' le rapport des sinus des angles que la normale au même point de la courbe fait avec les axes des coordonnées , on devra avoir entre a et a' la relation de perpendicularité