LES ÉTUDES PRÉPARATOIRES

D’après le programme, les connaissances exigées pour l’admission à l’École polytechnique sont de trois sortes : connaissances mathématiques ; connaissances littéraires ; connaissances en dessin linéaire , dessin au crayon noir et lavis d’architecture. Chacune d’elles ne peut s’obtenir que par une instruction spéciale, que par des études préparatoires , sur lesquelles il ne sera pas sans utilité ^de donner quelques conseils aux aspirants.

Les études préparatoires concernant les mathématiques comprennent les matières enseignées (dans les collèges royaux et communaux sous la dénomination de mathématiques élémentaires et mathématiques spéciales; ou, plus particulièrement , l’arithmétique complète , la géométrie élémentaire, l’algèbre, la trigonométrie rectiligne , l’application de l’algèbre à la géométrie, les notions élémentaires de la géométrie descriptive, et enfin la statique. Chacun des cours de mathématiques élémentaires et spéciales dure ordinairement une année scolaire. Ainsi, après deux années d’études, un élève laborieux et intelligent peut être en état de se présenter au concours et d’ètre admis à l’École. Mais 11 ne faut pas se dissimuler que ces cas sont très rares , et il ne serait peut-être pas difficile d’en trouver la cause. Les jeunes gens qui se destinent à l’École polytechnique abandonnent trop tôt les éludes littéraires. Par suite d’un préjugé déplorable , qui fait regarder les études littéraires comme incompatibles avec les études scientifiques proprement dites, on quitte les classes d’humanité des la troisième, et vers l’âge de 1S ou 16 ans, pour se livrer exclusivement à l’étude des mathématiques. Comment ne sait-on pas que l’étude des langues grecque et latine n’est qu’un moyen de développer l’intelligence , et que ce qu’il faut apporter surtout à l’étude des mathématiques, c’est une intelligence exercée , une habitude de raisonnement et de travail qui ne peut s’acquérir que par ce moyen ou par d’autres moyens analogues? Car, enfin, la grammaire comparée, l’histoire , la géographie, sont la base de l’éducation classique ; et, quelques modifications que l’on veuille apporter aux études uni-

versitaires, il serait impossible d’imaginer un système d’instruction appropriée à la jeunesse qui ne renfermât les mêmes éléments. Sans doute la substitution d’une ou deux langues modernes aux langues de l’antiquité pourrait offrir quelques avantages pratiques ; mais ne pourrait-on pas , en se servant des mêmes arguments qu’on a si souvent avancés, dire aussi que l’imitation des mœurs, des usages, des habitudes littéraires des peuples dont on étudierait la langue et la littérature, ne manquerait pas d’exercer une influence puissante sur l’esprit et le cœur de la jeunesse ? Au lieu d’ètre Grec ou Romain, ne serait-on pas exposé à devenir Anglais, Allemand , Italien , etc. ? Mais ce n’est pas le lieu de développer cet important sujet. Ici tout se réduit à cette question d’application immédiate : l’élude des mathématiques exige-t-elle de ceux qui veulent s’y livrer avec fruit une intelligence suffisamment développée? Les études universitaires contribuent puissamment au développement de l’intelligence. Suivez donc , et surtout achevez ces études : car c’est de leur achèvement complet que dépend principalement le résultat nécessaire à acquérir. Et , pour ne parler que d’une spécialité scolaire , comment l’élève pourra-t-il , sans le secours d’une logique exacte et sévère , tirer profit de l’enseignement mathématique , qui repose sur les principales formes du raisonnement. Or la logique , une des parties importantes du cours de philosophie, n’est enseignée qu’à la fin de toutes les études scolaires.

Comment ne prévoit-on pas les dangers d’un revers, en suivant une voie aussi peu raisonnable ? Le candidat qui , après avoir abandonné les études classiques , a le malheur d’échouer aux examens de l’École polytechnique , a donc doublement manqué son éducation? On ne saurait trop prévenir les parents , et les jeunes gens eux-mèmes , des dangers de cette funeste direction donnée à leurs études. Nous ne doutons pas que les aspirants qui ont eu le bonheur , malgré ce désavantage d’une éducation classique incom-

plètc ou négligée, d’être admis à l’École polytechnique, ne regrettent long-temps leur erreur, en se retrouvant plus tard dans un état d’infériorité par rapport à leurs collègues qui ont achevé d’une manière également satisfaisante leurs études littéraires et scientifiques. Cette différence doit se faire remarquer dans les travaux de comptes-rendus, de rapports, de projets, etc., qu’ils sont souvent appelés à adresser au gouvernement. Qu’on se pénètre bien surtoul de cette vérité : une éducation négligée ne se répare jamais.

Un calcul bien simple peut mettre en état de se convaincre qu’il est très possible de suivre avec un succès égal les éludes littéraires et scientifiques. L’enfant qui commence à apprendre ses lettres à six ans au bout de deux ans peut commencer les études universitaires. En supposant qu’il n’entre au collège qu’en septième préparatoire, il lui faudra neuf ans pour achever toutes ses classes. Il pourra donc commencer à 17 ans son cours de mathématiques élémentaires : à 19 ans, il subira l’examen d’admission ; s’il échoue , ce qui n’est pas probable , il a encore un an de travail avant d’avoir atteint l’âge auquel il ne peut plus être admis au concours. En supposant qu’il ne soit pas jugé admissible à l’École, il lui reste au moins une éducation assez complète sous beaucoup de rapports, et la possibilité de suivre utilement d’autres carrières. Nous avons adopté le calcul le plus large; mais nous sommes persuadé qu’il est facile d’avoir complété l’éducation littéraire et mathématique des collèges et de subir un premier examen dès l'âge de 18 ans. Quelles que soient les modifications que la méthode universitaire doive éprouver un jour, il n’est pas permis d’espérer que l’éducation puisse être terminée avant cet âge. Le temps est un élément nécessaire au développement complet de l’intelligence ; on ne pourra jamais faire que l’aptitude la plus remarquable pour quelque branche que ce soit des connaissances hn-

naines tienne lieu de l’expérience et de la méditation.

Nous avons insisté long-temps sur cette question, qui nous a paru très grave , tant sous le rapport des intérêts véritables de la jeunesse que sous le rapport du bien public et de l’honneur de l’École. Il est nécessaire que le renom de l’École polytechnique ne perde pas dans l’opinion de la France et de l’Europe ; et nous sommes convaincu que rien ne saurait y porter atteinte autant que l’abandon des études littéraires, qui développent à la fois l’intelligence, les sentiments moraux, le goût et l’imagination. Aussi, loin de diminuer l’importance des épreuves littéraires du concours , nous ne craignons pas d’exprimer le vœu que les aspirants à l’École polytechnique soient soumis, dans quelques années, à des conditions particulières de capacité, telles qu’un certificat d’études classiques complètes ou le diplûme de bachelier ès lettres.

Quoi qu’il en soit, un élève intelligent et habitué au travail peut réussir à entrer à l’Ecole après deux ans d’études mathématiques. Mais , pour obtenir ce résultat , il est nécessaire non seulement que l’enseignement soit parfaitement conforme aux programmes de l’Université, mais encore que l’élève adopte un mode de travail qui rende cet enseignement fructueux pour lui-même.

D’après ces programmes pour l’enseignement des mathématiques, les matières se présentent dans l’ordre suivant : Mathématiques élémentaires (l re année), arithmétique; algèbre, jusqu’au binôme de Newton; géométrie élémentaire , trigonométrie. — Mathématiques spéciales ( 2° année), algèbre supérieure, application de l’algèbre à la géométrie , notions élémentaires de géométrie descriptive, sialique.

Cet ordre est parfaitement entendu , eu égard à l’enchaînement des diverses parties qui se prêtent un mutuel secours. Nous croyons qu’il y aurait danger à le troubler : car on s’apercevrait bientôt des lacunes, et, l’in-

struction se faisant san: suite et sans direction constante , il en résulterait nécessairement dans les idées de l'élève une confusion qui ne manquerait pas de lui être fatale au jour de l’examen.

Quant à l’élève , son occupation journalière devra être de rédiger avec soin les leçons du professeur. C’est par cet exercice éminemment utile que l’élève s’appropriera en quelque sorte les idées du maître ; il les analysera , les développera dans ses rédactions, qui lui offriront plus tard une immense facilité pour revoir tout le cours de mathématiques et se préparer avantageusement aux épreuves du concours.

Afin que ces rédactions soient exactes et complètes autant que possible , il n’oubliera pas de prendre des notes pendant la leçon du professeur , laquelle leçon devra être préparée et étudiée d’avance sur le livre classique adopté pour l’enseignement (1). Quoique les professeurs ne suivent pas à la lettre et pas à pas le livre qu’ils désignent à leurs élèves, ils en adoptent généralement l’ordre; et cette

(l)Lcs livres indiqués par les professeurs et choisis parmi les ouvrages autorisés par le conseil royal 6ont principalement :

Pour Y Arithmétique i les traités de MM. Lacroix, Reynaud, Bourdon.

— Y Algèbre : MM. Lacroix, Reynaud, Bourdon, Lefébure do

Fourcy,

— la Géométrie ; MM. Legendre, Lacroix, Vincent

— la Trigonométrie : MM. Lacroix, Legendre, Reynaud , Bourdon

Lefébure de Fourcy.

— Y Application de l’algèbre à la géométrie : MM. Lacroix , Rcy-

naud , Bourdon , Lefébure de Fourcy, Georges Ritt.

— la Géométrie descriptive ; MM. Monge , Leroy, Lefébure de

Fourcy.

— la Statique : M. Poinsot. 5

indication suffit pour rendre possible la préparation que nous recommandons spécialement.

Il n'est pas hors de propos d’insister sur la nécessité pour l’élève de faire avec soin tous les devoirs donnés par le professeur. Ces devoirs sont généralement des applications de la théorie générale , ou des problèmes. Les premières servent à graver profondément dans l’esprit les méthodes et les propositions sur lesquelles la science repose; les seconds, à exercer utilement l’intelligence , et à faire apprécier l’aptitude et la sagacité.

Dans la résolution des problèmes , l’élève , après avoir trouvé la solution demandée, ne manquera pas de la discuter, et de généraliser la question autant que possible. Il s’attachera à résoudre le plus de problèmes qu’il pourra, ne perdant pas de vue que cet exercice peut seul lui donner le coup d’œil prompt et sûr dont il aura besoin, à l’examen d’abord, et ensuite dans la carrière qu’il doit parcourir (1). Toutefois, ce travail, quelque utile qu’il soit, ne doit pas lui faire négliger son travail de classe, et, avant tout , la rédaction de la leçon du jour.

Ces conseils généraux , que nous ne faisons que répéter ici après le professeur, s’appliquent particulièrement au mode de travail de l’élève pendant toute la durée des études préparatoires.

Il ne sera peut-être pas sans utilité d’entrer dans quelques détails sur chacune des matières de l’enseignement mathématique.

(t) Les élèves de mathématiques élémentaires et spéciales pourront se servir des ouvrages ci-après: Problèmes d’arithmétique , par M. Saigey; Problèmes et développements , par MM. Duhamel et Rcynaud. Problèmes d’algèbre,- Problèmes de géométrie et de trigonométrie ; Problèmes d’application de l’algèbre à la géométrie ( l rc partie, ligne droite et cercle;. 2° partie, ligne droite, cercle, ellipse, hyperbole), par l’auteur du Manuel.

Arithmétique. — En général les élèves de mathématiques spéciales affectent un superbe mépris pour le calcul en général , et eu particulier pour le calcul numérique : nous regrettons de dire que nous avons vu plus d’une fois des aspirants balbutier à l’examen en énonçant un nombre écrit, hésiter en écrivant un nombre énoncé, faire avec difficulté un calcul assez simple; puis, un instant après, en poser avec un aplomb remarquable les théories les plus difficiles, ou rendre compte avec une parfaite intelligence de la forme et de la position d’une courbe dont l’équation était très compliquée.

On ne saurait trop répéter aux jeunes gens qui se livrent à l’étude des mathématiques que le calcul numérique est le terme où viennent aboutir les plus sublimes théories. Toutes les sciences mathématiques ont pour but la mesure des grandeurs : longueur , surface , volume , force , mouvement , etc. Le programme d’examen pour l’admission à l’École polytechnique est renfermé et développé presque en entier dans un seul livre auquel Newton a donné le titre &’ Arithmétique universelle , titre plus général encore que le livre lui-même.

Que les élèves s’exercent donc au calcul numérique. Les théories les plus difficiles de l’arithmétique n’ont été inventées que pour rendre le calcul plus facile. Les élèves de mathématiques spéciales qui ont déjà quelques notions des propriétés des nombres ne doivent pas manquer l’occasion de faire preuve de ccs connaissances , non pas seulement dans le calcul écrit , mais aussi dans le calcul oral. La facilité de combiner rapidement les nombres offre de très grandes ressources dans la vie ordinaire, à plus forte raison dans les diverses carrières qu’ils auront à parcourir un jour.

Quant au calcul écrit , ils n’ignorent pas les avantages des logarithmes : qu’ils s’habituent à se servir des tables dans tous les calculs auxquels les logarithmes sont applicables.

Algèbre. — Sans avoir besoin de répéter le conseil que nous venons de donner aux élèves sur la nécessité de s’exercer au calcul , aün d’acquérir la facilité el l’exactitude , nous nous bornerons à leur rappeler que les formules algébriques ne sont utiles qu’autant qu’elles sont applicables et appliquées. Ainsi , pour ne prendre qu’un ou deux exemples , pourquoi les élèves ne s’habitueraient-ils pas à écrire immédiatement les valeurs des inconnues renfermées dans deux équations du premier degré? Pourquoi, lorsque, après avoir trouvé une racine commensurable d’une équation donnée, ils veulent abaisser le degré de l’équation en divisant son premier membre par l’inconnue moins la racine , n’écrivent-ils pas sur-lc-cbamp le quotient, dont ils connaissent la forme générale? Pourquoi, enfin, n’exprimeut-ils pas sur-le-champ par la formule générale les valeurs des deux inconnues d’une équation indéterminée du premier degré? Nous pourrions multiplier les exemples à l’infini ; mais les élèves comprendront facilement l’importance de la remarque précédente , et nous croyons superfiu d’entrer dans de plus grands détails à ce sujet.

MM. les professeurs de mathématiques ne manqueront pas d’enseigner a leurs élèves les théories nouvelles adoptées et recommandées par l’Université ; entre autres , le beau théorème de M. Sturm , sur le nombre des racines réelles d’une équation algébrique comprises entre deux limites données ; ce qui permet de déterminer à priori le nombre des racines réelles sans avoir recours à l’équation aux carrés des différences des racines.

Les élèves doivent s’habituer à appliquera chaque équation proposée toutes les théories qui peuvent en amener la résolution. Ces exercices de calcul sont utiles au plus haut degré et font mieux comprendre la corrélation des méthodes.

Géométrie élémentaire. — La géométrie élémentaire est ,

sans contredit, une des parties les plus essentielles du programme.

On ne saurait trop vivement recommander aux élèves l’étude des propriétés des figures, des mesures de surface et de volume, en un mot de toutes les propositions, théorèmes et problèmes , qui sont renfermées dans la géométrie.

Les vérités pratiques qui résultent de celte étude sont en petit nombre sans doute ; mais chacune d’elles est le résultat d’un certain nombre de propositions qui s’enchaînent et se soutiennent mutuellement , au point que, si la mémoire est en défaut pour la démonstration d’une quelconque d’entre elles , à l’instant toute clarté disparaît, et l’esprit s’embarrasse et se perd dans un véritable chaos.

La géométrie , comme toute autre branche de l’enseignement mathématique, se partage en deux parties, dont chacune a son importance spéciale : la théorie ou la suite des théorèmes , l’application ou les problèmes.

Les démonstrations des théorèmes doivent être apprises avec soin, dans un véritable esprit d’analyse, de manière que l’intelligence puisse venir au secours de la mémoire : car on ne peut se dissimuler qu’il y a dans les divers procédés de démonstration quelque chose qui paraît arbitraire au premier aspect , mais qui n’est réellement que la conséquence des principes posés antérieurement. Aussi nous n’approuvons pas que l’élève entremêle dans son esprit des démonstrations appartenant à des traités différents, à moins que la théorie de l’auteur qu’il étudie ne soit réellement vicieuse ou inférieure à d’autres théories , sous les points de vue de la logique ou de l’application. Ainsi la théorie des incommensurables dans l’ouvrage de M. Legendre , quoique complète et d’une vérité inattaquable , doit être nécessairement remplacée par la théorie des limites et des infiniment petits , qui est d’une utilité et d’une commodité généralement reconnues aujourd’hui.

L’application de la théorie renferme elle -même deux parties , dont l’une est purement spéculative, et l’autre pratique. La première indique le moyen de trouver la solution du problème proposé ; la seconde n’est autre chose que le calcul si le problème est numérique , ou la construction des lignes, surfaces, etc., si le problème est graphique. Nous avons déjà insisté assez longuement sur la nécessité des exercices de calcul , pour nous dispenser de revenir sur les conseils précédents à ce sujet. Quant à la construction graphique des problèmes , nous croyons nécessaire d’entrer dans quelques détails.

Tous les problèmes graphiques de géométrie élémentaire se réduisent définitivement à tracer des lignes droites dans certaines directions déterminées, des circonférences données de grandeur et de position, à diviser des longueurs en parties égales ou proportionnelles à d’autres longueurs données , à tracer des figures rectilignes ou circulaires d’après certaines conditions , etc. Or, toutes ces constructions sont aux problèmes de géométrie ce qu’est le calcul aux problèmes d’arithmétique. La théorie enseigne les moyens de les effectuer aussi exactement que possible , à l’aide des instruments connus , tels que règles , compas , rapporteurs , équerres, etc.

Nous engageons les élèves à s’exercer à ce tracé exact , en se servant de règles métriques graduées , afin que l’œil s’habitue de bonne heure aux mesures de longueur. Ils auront soin de prendre pour données de leurs problèmes des longueurs, des angles déterminés numériquement, et de trouver successivement la solution par la construction graphique et par le calcul , afin de corriger les deux solutions l’une par l’autre, ou plutôt afin de s’assurer que la solution du problème est exacte.

Ils devront s’exercer aussi au tracé des figures sans le secours des instruments. Ce dessin linéaire à vue, d’une utilité incontestable dans leurs études mathématiques « leur

sera plus lard d’une plus grande utilité encore pour les croquis de projets, dessins de machines, etc., qu’ils seront chargés de faire exécuter.

Enfin les formules géométriques seront apprises par cœur, afin d’en pouvoir faire immédiatement l’application dans chaque cas particulier.

Nous avons cru remarquer que l’étude de la géométrie sphérique laissait généralement à désirer dans les examens d’admission.. On ne doit pas oublier que ces notions sont comprises dans le programme , et quoique les solutions des problèmes de géométrie sphérique se ramènent facilement au calcul numérique ou littéral, à l’aide des formules trigonométriques , on ne devra pas négliger d’effectuer les constructions graphiques à l’aide des compas courbes sur une sphère de bois verni. Nous recommandons particulièrement ces exercices à messieurs les professeurs.

Trigonométrie rectiligne. — Les élèves s’attacheront à apprendre par cœur les formules fondamentales de la trigonométrie , à combiner rapidement ces formules, ce qui n’est qu’un travail de calcul littéral. Ils discuteront avec soin toutes les valeurs des arcs correspondants à une mémo ligne trigonométrique, et s’exerceront à trouver la valeur d’une ligne trigonométrique quelconque, connaissant la valeur d’une autre ligne trigonométrique correspondante au même arc ou à un arc multiple ou sous-multiple. Enfin ils devront posséder les formules pour la résolution des triangles , transformer ces formules pour les rendre applicables au calcul logarithmique, et effectuer les calculs à l’aide des tables des sinus, dont l’usage doit leur être aussi familier que celui des tables des logarithmes des nombres. II sera utile de s’exercer à résoudre les problèmes de géométrie plane au moyen des formules trigonomélriques, toutes les fois que la question le permet , et de vérifier par ce moyen la solution numérique ou graphique trouvée par un moyen purement géométrique.

Application de l’algèbre à la géométrie. — Il n’est pas nécessaire d’insister sur l’utilité de retenir les formules principales de la géométrie analytique : équations de droites d’après certaines conditions données ; distances & deux points, d’un point à une droite donnée par son é<pRtion; formules de transformations de coordonnées ; équations des trois courbes du deuxième degré dans certaines positions déterminées, des tangentes, des normales; valeur des soustangentes , des sous-normales, etc.

ta recherche du centre des diamètres, des foyers, des tangentes, des asymptotes, et , en général, la discussion et la construction des courbes , non seulement du deuxième degré , mais encore des degrés supérieurs , seront l’objet d’une attention toute particulière. Cette discussion, trèsimportante par elle -même, offre le moyen d’appliquer les méthodes algébriques , et met promptement en évidence l’intelligence et la capacité des aspirants.

La discussion des courbes rapportées à des coordonnées polaires ne sera pas non plus négligée. Un exercice utile consistera à discuter successivement la même courbe , en la Tapportant soit à des coordonnées parallèles , soit aux coordonnées polaires , à l’aide des formules connues de transformation.

Nous ne reviendrons pas sur ce que nous avons dit de l’importance des problèmes en général. Ici cette importance est plus grande en quelque sorte , à , cause de la réunion des connaissances qu’exige leur résolution. Calcul numérique et littéral , discussion , construction graphique , les problèmes de géométrie analytique embrassent à peu près toutes les notions acquises. C’est ici surtout que s’applique la remarque que nous avons faite précédemment. La solution des problèmes exige un coup d’œil exercé , une mémoire sifre , qui permettent de reconnaître promptement , à l’aspect du résultat , la construction graphique la plus simple et la plus élégante.

Quoique le programme des connaissances exigées ne 4 fasse mention que des propriétés principales des courbes du deuxième degré , il existe certaines courbes de degrés supéricu^ct même des courbes transcendantes, dont l’usage est tro*réqucnt pour qu’il soit permis d’en ignorer la forme et l’équation. Farmi ces courbes nous citerons les cissoïdes, les conchoïdcs , les cycloïdes et les épicycloïdes. L’élève les trouvera , au besoin , dans les exercices du Manuel.

Géométrie descriptive. — Les aspirants ne sont interrogés que sur les notions élémentaires de géométrie descriptive."

Ils se pénétreront bien des principes de ce procédé , et s’attacheront à faire avec soin toutes les épures des problèmes sur la ligne droite et les plans , dans toutes les positions possibles des plans de projection. Ces dessins , qui seront apportés à l’examen , doivent être exécutés avec une très grande exactitude et avec cette pureté de trait qu’on ne peut acquérir que par un exercice souvent répété. Nous engageons les élèves à se livrer avec attention à ce travail , qui les préparera au dessin des épures compliquées dont les cours de l’École polytechnique et des Écoles spéciales leur offriront do nombreux exemples.

Statique. — D’après le programme adopté pour l’enseignement des mathématiques , la statique fait partie du cours de première année , afin que les élèves qui se destinent à l’École militaire ou à l’École navale puissent achever [les études nécessaires pour l’admission à ces Écoles. Toutefois, ce n’est qu’après avoir étudié l’algèbre et l’application de l’algèbre à la géométrie qu’on peut réellement suivre avec fruit l’enseignement de cette partie importante des mathématiques.

Les aspirants feront donc bien de revoir la statique vers la fin du cours de la deuxième année. Quant à des conseils particuliers pour celle étude , nous avons peu de chose

f&WgÈr,

à ajouter aux conseils généraux qui précèdent ; seulement nous engageons les élèves à s’exercer à des questions ayant pour but la combinaison des forces , en représentant ces forces par des nombres ; à se bien pénétrer de la théorie des couples , si élégante et si commode pour les démonstrations; enfin à étudier très attentivement les conditions d’équilibre d’un système quelconque de forces , soit que ces forces concourent en un même point , soit qu’elles soient situées d’une manière quelconque dans un plan ou dans l’espace , et à retenir et exprimer sur-le-champ les conditions d’équilibre dans chaque cas particulier.

La recherche des centres de gravité étant une des questions les plus fécondes do la statique et de la géométrie , nous la recommanderons particulièrement aux élèves, et, quoique le programme ne mentionne que le centre de gravité du triangle et de la pyramide , nous croyons qu’il y aurait utilité à savoir démontrer, dès les éléments , le centre de gravité de l’arc de cercle, du secteur, de la zone, du segment sphérique , et à pouvoir démontrer les beaux théorèmes de Guldin sur la mesure des surfaces et des volumes des corps de révolution par la connaissance des centres de gravité des lignes et des surfaces génératrices. Ces problèmes et ces théorèmes n’exigent d’aucune façon l’emploi du calcul différentiel et intégral. Sans doute les méthodes tirées de cette haute analyse sont d’une application plus générale et plus vaste ; mais il ne peut y avoir qu’avantage à tirer des méthodes élémentaires tout ce qu’elles peuvent donner, et nous croyons qu’on ne saurait faire un meilleur usage des connaissances acquises jusque là , ni trouver un exercice de calcul plus intéressant et plus utile tout à la fois.

Enfin l’application de la théorie des forces et des couples aux conditions d’équilibre et des machines simples , telles que le levier, le plan incliné , la vis, lè treuil , etc., doit être parfaitement connue des élèves. Ils s’exerceront à des ques-

lions numériques , afin de mieux comprendre l’utilité de

ces machines dans les procédés de l’industrie.

Nous ne terminerons pas ces considérations particulières à l’étude de chaque branche des connaissances mathématiques renfermées dans le programme, sans adresser aux aspirants un dernier conseil qui s’applique à tout le cours de cet enseignement et à la manière de se préparer à l’examen oral du concours.

Beaucoup de jeunes gens d’un esprit vif et prompt s’imaginent savoir quand ils n’ont fait que comprendre : aussi sont-ils tout étonnés do se trouver embarrassés quand il s’agit d’expliquer cux-mèincs ce qu’ils ont parfaitement entendu aux leçons du professeur ou à la lecture du livre. Nous ne saurions mettre les aspirants trop en garde contre celle funeste erreur. Il faut , à chaque leçon du maître, s’assurer qu’on l’a bien saisie , qu’on est eu état de la répéter seul , sans le secours des rédactions ni des livres , au tableau noir ou sur le papier. Le professeur n’a pas le temps d’interroger chaque jour chacun de ses élèves ; c’est aux élèves à s’interroger consciencieusement , à être aussi exigeants que le serait le professeur lui-même.

Ils s’attacheront à tracer avec netteté et élégance, sur le tableau noir, les figures nécessaires aux démonstrations. Combien de fois n’a-t-on pas vu des aspirants, d’ailleurs intelligents et «assez capables , s’embarrasser au tableau dans la construction de certaines figures géométriques , et gâter leur examen , pour ne s’être pas suffisamment exercés à ce dessin ? Parmi ces figures, nous pourrons citer celles qui servent à la démonstration du carré de l’hypolliénuse , dans toutes les positions possibles du triangle rectangle ; des propriétés des perpendiculaires aux plans, et en général de toutes les propositions qui se rapportent à la droite et au plan dans l’espace; de l’équivalence des tétraèdres lorsqu’ils ont une base équivalente et même hauteur; de la similitude des pyrtimides triangulaires, etc.

études mathématiques. 33

Ils s’habitueront principalement à parler le langage mathématique avec cette précision , avec celte exactitude sévère dont la plupart des auteurs classiques leur offrent de si heureux modèles. Un langage embarrassé , diffus , obscur, est presque toujours l’indice d’un esprit faux ou léger. La rectitude du jugement , le vrai savoir, se révèlent promptement par l’ordre et l’arrangement des idées , par la justesse et la propriété des expressions. Les élèves ne perdront jamais de vue que la timidité , le trouble naturel à l’approche d’un moment aussi important , peuvent avoir une fâcheuse influence sur leur esprit et diminuer les chances de succès , et qu’il faut , par conséquent , savoir beaucoup et savoir bien ; qu’il faut, en un mot, s’identifier avec la science par une étude approfondie des idées et du langage.

Enfin nous recommanderons aux aspirants de ne pas se contenter de considérer les questions sous un seul point de vue ou d’une manière particulière. Les théories mathématiques sont enseignées sous une forme simple et précise ; il semble au premier aspect qu’elles ne peuvent être présentées d’une autre manière ; mais en les étudiant attentivement, on en voit sortir une foule de conséquences qui leur donnent un aspect nouveau. C’est par cet examen approfondi que les élèves se mettront en état de répondre à toutes les objections, d’effectuer toutes les applications sans hésitation et sans embarras. Que si une question particulière se présente, ils s’efforceront, après l’avoir résolue, de lui donner toute l’extension qu’elle peut recevoir. Cet esprit de généralisation est éminemment utile dans les études ainsi que dans la vie ordinaire : les élèves ne sauraient s’y exercer de trop bonne heure. C’est ainsi que les études perdent ce caractère spécial qui semble en restreindre l’utilité, pour concourir au but principal de l’éducation , c’est-à-dire au développement complet de l’intelligence.