P. MAGNE
AU
ORADE DIGÉNIEUR DES PONTS ET CHAUSSÉES.
Lorsque le nombre des inconnues surpasse celui des équations , ces dernières admettent une infinité de solutions, car on peut donner des valeurs arbitraires à plusieurs des inconnues, de manière qu'il ne i^estc plus qu'un nombre d^inconnucs égal à celui des équations. 5Iais quelquefois la nature du problème impose aux inconnues des conditions particulières qui ne sont pas susceptibles d'être exprimées par des équations , alors on ne peut plus admettre indistinctement toutes les valeurs des inconnues qui satisfont aux équations du problème, ei le nombre des solutions diminue; de sorte que le problème peut n'admettre qu'un nombre limité de solutions, et qu'il ]>eut même n^en admettre qu'une.
Lorsque des nombres entiers , positifs ou négatifs, misa la place des inconnues, satistbnt à des équations, ces nombres forment ce qu'on nomme une solution entière des équations proposées.
L^objet de l'analyse indéterminée du premier degré est de résoudre les équations indéterminées du premier degré en nombres entiers.
Toute équation du premier degré à deux inconnues peut être ramenée à la forme
aj bj c désignant des nombres entiers, positifs ou négatifs.
Pïous ferons d'aboi*d observer que si les coefficients a et b ont un facteur commun qui ne divise pas le second membre c, Véquation ne peut être satisfaite par des nombres entiers.
Car, soit ar= /ta\ b =z hb\ l'équation devient
ha' X -J- hb' X = c, d*où Ton lire
équation qui ne peut être satisfaite par aucun système de valeurs entières de X et de j, tant que c n'est pas divisible par h.
Nous supposerons, dans tout ce qui va suivre, que a et b soient des nombres premiers entre eux, puisque, s*ils avaient un facteur
(i) Cet ouvrage faisant suite au Manuel à l'usage des Candidats aux emplois de Conducteur des Pùnts et Chaussées et d'Agent voyer, que nous avons public Tan dernier (prix : 7 fr. , chez M allet-Bachelibr, libraire), nous ne donnons dans ce volume que la suite de TAIgèbre, qui se trouTcra complète en réunissant lei deux ouvrages.
2 ALGEBRK.
commun , il faudrait que c vcnïermM aussi ce facteur, auquel cas on pourrait le siq>primer dans Téquation.
Première cfuestion. — Partager i5() cn deux parties dont l'une soit divisible par 8 et Tautre par 1 3 ?
Désignons par xetjr les quotients delà division des deux parties cherchées par les nombres respectifs 8 et i3; il est clair que 8x et i3j expriment ces deux parties, et que l'on a l'équation
(i) 8x + i3x= ïSg,
qui, d'après renoncé, doit être résolue en nombres entiers et positifs pour X et j)our x*
On déduit d'abord de cette équation,
ou, ciTectuant la division autant que possible,
observons maintenant que la valeur de x sera entière, si Ton
n — 5 Y donne à y une valeur telle, que - — ^-^ soit un nombre entier; d'ailleurs , cette condition est nécessaire : ainsi , il faut et il suffît que
- — Q— - soit égal à un nombre entier quelconque. Soit t ce nombre o
entier (r est une indéterminée) , il en résulte
d'où
et, en remplaçant la valeur de Xy il vient
.r=: 19— jr -H^- Toute valeur entière de t qui , substituée dans l'équation ( 2 ) , en
donnera une semblable pour 7, satisfera à la condition que - — ^-^
soit entier; ainsi les deux valeurs de x et de / correspondantes seront entières et satisferont à l'équation qui résulte évidemment de l'élimination de t entre les deux équations
La question est donc ramenée à résoudre en nombres entiers l'équation (2), dont les coefficients sont plus simples que ceux de l'équation (i).
On tire de l'équation (2),
7— 8/ uu, effectuant la division en partie,
toute valeur entière de /, qui rendra 2 — 3/ un multiple de 5, donnera aussi pour/ un nombre entier et serd par conséquent convenable. Posons donc
t' étant une nouvelle indéterminée; il vient (3) 3r-h5/' = 2,
et la valeur de/ se réduit à
La question est donc encore ramenée à résoudre en nombres entiers l'équation (3 ) de laquelle on tire
ou bien , en effectuant la division en p^urtie ,
Posons
il en résulte
et
De réquation (4)9 on déduit
Posons enfin ,
il en résulte
et
Gomme dans l'équation (5) le coefficient de t" est égal à l'unité^ il s'ensuit que toute valeur entière attribuée à t'" en donnera une semblable pour t" , D'ailleurs, les deux inconnues principales X et/, et les indéterminées t, t'y t" et r'" sont liées entre elles par les cinq équations
Ainsi y en donnant à t'^ une valeur entière quelconque , et remontant de la dernière de ces équations aux deux premières, on obtien- <lra pour x ei y des valeurs entières correspondantes qui vérifieront nécessairement Téquation proposée; car, d'après les raisonnements
4 ALGEBRE.
qui ont éié faits plus haut, cette équation résulte de réiimination iie /, e\ t'\ t"' entre les cinq équations que Ton vient crétablir.
Mais, afin de n'attribuer à t"* que des valeui'S auxquelles correspondent des valeurs entières et positives pour x et >-, il convient d'exprimer j: et f en fonction immédiate de Findé terrai née ou inconnue auxiliaire ^ '' à Taide des cinq équations ci-dessus.
Or l'expression de t' devient, lorsqu'on remplace t** par sa valeur
en r'*',
/'= I — 2/'" — /* ou f'r=|— -3/*.
Remontant à l'expression de f ',
donc
on trouvera de même
d'où
^ = 3-8/'"; enlin
a: = 1 9 - ( 3 - 8 r ) -f- { — 1 ^ 5 / '" ) ou
Il est facile de vérifier que ces deux dernières équations reproduisent l'équation proposée par l'élimination de t". En effet , si l'on multiplie la première équation par i3 et la seconde par 8 , et qu'on ajoute les deux résultats, il vient
Faisons successivement
f'^rzo, 1, 2, 3,..., ou bien f"=: — i, —2, —3,...,
les formules précédentes donneront toutes les valeurs de x et de ^ en nombres entiers soit positifs, soit négatifs, propres à vérifier la proposée; mais si , comme l'exige l'énoncé , on ne doit tenir compte que des solutions entières et positives, t*^ ne peut recevoir que les valeurs qui rendent 3 — Sr"' et i5-hi3 /"' positifs. Or il n'y a , évidemment, que r*^ = o et r'" = — I qui satisfassent à celte condition ; car toute valeur positive de t'" rend^ négatif, et toute valeur négative, numériquement plus grande que i , rend x négatif. Si Ton fait successivement
il en résulte
7= 3 j r=:ii
Donc les deux systèmes xz=z i5^ y = 3; x = 7, et>=:ii sohI les seuls qui vérifient l'équation
Quant à la question dont cette équation est la traduction algébrique, puisque 6x et 13/ représentent les deux parties cherchées, ri s'ensuit que 8 X i5 = 120 et i3 X 3 = 39 forment une première solution, que 8X 2 ou 16, et i3 X 1 1 ou i43, forment une seconde
solution; c'est-à-dire que 159 peut être partagé soit eu 120 -f- 89, soit en 16 4- i43.
On peut résumer ainsi la méthode précédente :
Soit ax -{- by :=2 c l*équation qu'il s^agit de résoudre ; lirez de cette équation la valeur de Tinronnue qui a le plus petit coeflicient, de x fKir exemple 9 vous obtenez une expression de x en / composée^ 'une partie entière et d*une partie fractionnaire qu'il faut tâcher de rendre entière. Égalczxette seconde partie à une indéterminée / , il en résulte une nouvelle €!quation en y et ij et dont les coefficients sont plus simples que ceux de la première équation ; la valeur de x se trouve d'ailleurs exprimée en fonction entière dey et r, et l'équation proposée résulte de l'climination de e entre la seconde équation et celle qui donne la valeur de jr en j" et t.
Tirez de la seconde équation la valeur de /, et effectuez la divisiou autant que possible. Égalez la partie fractionnaire à une seconde indéterminée t% d'où il résulte une troisième équation eu tete^ plus simple que les deux premières équations. La valeur de / se trouve ainsi exprimée en fonction entière de i et t\ et la proposée résulte de l'élimination de t et /' entre l'équation (3) et les deux écpiations qui donnent x en fonction entière de j et r, puis/ en fonction entière de / et t\
Opérez sur la troisième équation comme sur les deux premières , et continaez cette série d'opérations jusqu'à ce qu'enfin vous parveniez à une dernière équation entre deux indéterminées dont l'une ait pour coefficient l'unité.
Remontez ensuite de cette dernière équation aux précédentes, et cherchez , par des substitutions successives , à exprimer .r et / en fonction de la dernière déterminée.
Vous obtenez ainsi deux formules à l'aide desquelles, en donnant à l'indéterminée restante des valeurs arbitraires , vous trouvez tous les systèmes de valeurs entières, tant positives que négatives , pro> près à vérifier ré(| nation proposée
ax -^ bj =: €.
Si l'on ne veut que des valeurs entières et positives pour x et j^, les deux formules indiquent, par leur composition , entre quelles limites doivent être comprises les valeurs de la dernière indéterminée pour que cette condition soit remplie.
La marche du calcul est maintenant assez claire , et l'on voit qu'elle doit toujours conduire à une dernière équation dans laquelle une indéterminée aura pour coefficient l'unité; or c'est ce qui ne peut manquer d'arriver. Car les coefficients des indéterminées qui entrent dans les équations auxiliaires sont les. restes successifs qu'on obtient en opérant comme si on cherchait le phis grand commun diviseur de a et de b.
Dettuènie queition. — Soit l'équation
Comme le multiplicateur de x est moindre que celui de/, je cherdic la valeur de jt ; il vient
En divisant 8 par 3 on trouve le quotient 2 avec le reste 2 , et en divisant 43 par Son trouve le quotient 1 4 avec le reste i; donc on a
i repipsente la valeur de -^^ — ? c'est-à-dire que Ton a
2 r -f- I t = — 5 — ^ ou bien 3 r = 2 j -f- i .
De cette équation on tire
3f — I e — i , , t — i y =z = r H h' + /Senpo6ant/'= •
Comme dans cette équation le coefficient de t est Tunité, on aura
et Ton pourra donner à t' toutes les valeurs entières possibles. Au moven de cette valeur on trouve
jr = ' -f- ^' = 2r' -4- I + ^- = 3 f ' -+- 1 .
Puis , en remontant à x, il vient jc= 2j^ -h i4 H- ^= 2 (Sr'-H i) + i4 -l-2r'-f- I = 8^' -f- 17. Ainsi, les formules qui expriment y et ^ en fonction de /' sont
En donnant à r' les valeurs r' = o^ i, 2, 3, etc., on trouvera
r = «7 4> 7» 'o» ^3, ..., JT = 17 , 25, 33, 4ï > 49» • • • > On pourrait aussi donner à f ' les valeurs — 1 , — 2 , — 3 , etc. Dans Texemple ci-dessus les valeurs de 7 et de a? forment deux progressions par différence , dont la première a pour raison 3, coefficient de X dans Téqùation proposée , et dont la seconde a pour raison 8, qui est le coefficient de^ pris avec un signe contraire. On peut reconnaître que cette proposition est générale. En effet, Téquation
( I ) ax '\'hy=zc
doit admettre une infinité de solutions entières, quels que soient les ^signes et les grandeurs des nombres a et é> , pourvu qu'ils soient premiers entre eux. Supposons qu'une de ces solutions soit
Ces nombres devant satisfaire à l'équation (i), on aura
/ïA -+- *B = r;
en retranchant cette égalité de l'équation (i), il vient
/i(a: — A)-f-6(j — B) = o, et de là on tire
Les valeurs de x doivent être entières , et telles, que y soit aussi un nombre entier; donc le produit // (A — .r) doit être divisible par h. Or a est premier avec h , donc A — x doit être un multiple de A.
ALGEBRE. 7
Ou posera donc A ^ x = bi, t Jôsignant un nombre entier (jucifiinque , et par suite on aura
X = A — ùi, j = B -1- fl/.
Ces formules font apercevoir la loi des valeurs qu'on obtient pour -t et j, quand on donne à /successivement toutes les valeurs entières. Si on prend / = o , 1,2, 3 , etc., il vient
X = A, A — b j A — 2A, A — 3/^,..., j = B, B-f-c, B-|-2rt, B-l-3^,...;
et si Ton prend / = — i, — 2, ~ 3, etc., il vient
x=A + ^, A4-2/;, A-f-3^, ..., ^=:B — a y B — 2rt, B — 3rt,...
En général , quand i croît d'une unité, jr augmente de a , et :r augmente de — b. Donc les solutions entières de Péquation ax 4- 6 j = c sont les termes correspondants de deux progressions par différence. Dans la progression relative à chacune des indéterminées x et y, la raison est égale au coellicienl de Tautre indéterminée. Mais il faut avoir soin de prendre Tun de ces coefïîcients avec le signe qu*il a dans l'équation, et l'autre avec un signe contraire.
Il est d'ailleurs tout à fait indifférent que ce soit le coefficient de x ou celui de y qu'on prenne avec un signe contraire ; car, dans les formules qui expriment xetjr^ on peut changer les signes des termes -h àt et — aty attendu que l'indéterminée t peut recevoir toutes les valeurs possibles, positives et négatives.
La proposition qui vient d'être démontrée donne le moyen d'obtenir sur-le-champ toutes les solutions entières d'une équation de la forme ax-\-by^=^ c, dès qu'on en connaît une seule.
Ainsi, l'équation 7.r — 5j^=9 étant proposée , on reconnaît, après quelques tâtonnements , qu'elle est satisfaite par x = 2 et j = 1 ; et dès lors, en observant que 7 et — 5 sont les coefficients de x et y «fans réquation, on pourra poser les formules générales
En faisant /=:o, i, 2, 3 et t=z — i, — 2, — 3, on aura les solutions des écjuations.
Supposons dans l'équation générale c = o , elle devient
ûx 4- ^/ = o ;
elle admet évidemment la solution a; = o, j=r o, et les formules générales seront
X =: bty / = — fit.
Si Ton veut trouver directement ces résultats, on tirera la valeur
