IX

y =. Y \ puis on remarquera que aei b étant premiers entre eux,

les valeurs entières de x qui rendent j entier doivent être multiples de h. Donc / désignant un nombre entier quelconque, on doit avoir

X z=r bt el , par suite, y z=: — at.

Exemple

on aura

Supposons enfin que c soit multiple de a ou de b. Sottr = bd^ réquation à résoudi^ sera

ax •+- by =z biL

Elle a évidemment pour solution

x=o, y=ii\

donc les valeurs générales seront

x^=zbt^ X^=^d — ai.

De réquation on peut tirer

et de là on conclut que d — y doit être un multiple de a. On po* sera donc d — y -=: at^ et, par suite, on trouve les formules

ytszd — aty X ss bt.

Ici la solution évidente de Tcquation est j;=: o»/= — 3; et en conséquence les valeurs générales sont

Résolution de l'équAtion ax-k-hy=zc en nonabret entîen positifs. — Application à des problèmes. — Remarques sur les inégalités.

Soit à résoudre Téquation

ax -{- by z=^c

en nombres entiers positifs; on fait les calculs comme si les nombres devaient être entiers seulement, et, diaprés ce qui précède, on trouve pour xet y des expressions de la forme

xz=zK — bt, j = B-+-a^

Mais alors , au lieu d'attribuer à / toutes les valeurs entières possibles , on ne doit plus choisir que colles qui rendent x ut. y positifs. De là résulte pour t certaines limites qui sont toujours faciles à déterminer.

Supposons d^abord que a et 6 soient de méiue signe dans réquation ax '{^ by=.c et qu'ils sont positifs, parce que s'ils étaient né> gatifs on pourrait les rendre positifs en changeant tous les signes de l'équation; il est évident que c doit être aussi positif, sans quoi l 'équation serait impossible en nombres entiers positifs.

Ecrivons les valeurs générales de a: et de j sous cette forme

Pour rendre x positif, il faut et il suffit qu'on prenne / < -7) et pareillement, pour rendre j>' positif, il faut et il suffit qu^on prenne

/^ • Donc, pour o'avoir que des solutions entières et positives,

on ne devra attribuer à tque les valeurs entières comprises entre les

deuxlimites /> ' ' <C x'

Il faut remarquer toutefois que les signes ^ et <[ n^excluent pas le signe d'égalité.

De ce que t doit être entier et choisi entre deux limites , il s*en$uit que le nombre de solutions de l'équation doit être limité, et c'est ce qui est évident sur l'équation même. En effet, aelb étant positifs, si l'on substitue pour x et y des nombres positifs, les deux termes ax et bjr seront toujours positifs, et comme leur somme doit rester constamment égale à r, il est impossible qu'aucun des deux termes augmente indéfiniment.

II pourra arriver quHl n'y ait aucun nombre entier entre les limites assignées pour /, alors on conclura que Téquation est impossible.

Supposons, en second lieu, le casoù aeib ont des signes contraires. Soit l'équation

ax — A/ = c ,

dans laquelle a et b représentent deux nombres positifs. Alors les valeurs générales de j: et de j sont de la forme

Or, on peut les écrire ainsi ,

et Ton reconnaît sur-le-champ que pour rendre x et 7 positifs, il faut avoir à la fois

c'est-à-dire qu'on peut attribuer à / toutes les valeurs entières audessus delà plus grande de ces limites (sans exclure l'égalité si cette limite est un nombre entier ).

On voit par là que l'équation

ax — bjr =^ c

admet toujours un nombre infini de solutions entières et positives , tandis que l'équation

ax 'h by z::z c

n'en a jamais qu'un nombre limité , et même peut n'en avoir pas du tout.

Applications.

PaoBLÈME I. — Une société d' hommes et de femmes a dépensé dans une féie 1000 francs ; Us hommes ont payé iq francs et les femmes 1 1 francs. Combien y avait il d* hommes et de femmes ?

Soient x le nombi^ des hommes et y celui des femmes , on aura réquatioi^

19 j: + II J=3 1000.

10 ALGEBRE.

Kffectuant ics calculs^ on a successivement

lOOO — IQX 32 — I

Y = — = Qi — 2«2C H = Ql — 2 .1; 4- / »

^ Il •' 11^ 3.r— 1= II r, x=z = 4^H 5— =4"^+^ > i — '=3r',

aoù

Revenant à x et à 7 , il viendra

or = 4 r + f ' = 4 ( I — 3 r) -h /' = 4 — 1 1 r' ^=91 ^2x + r=gi — -2(4— Il ^') + { I — 3r') =84+ »«)'• Ainsi les formules générales qui expriment x et r en l ' sont

jr=4— *'''> 7 = 84 H- 19''.

Pour que JT soit positif, il faut et il suflGt qu^on ait

ii£'<4 ou t'<^,

1 1 pour que y soit aussi positif, il faut et il suffit qu'on ait

.9/'>-84 ou ï'>4-h1;

tlonc on devra prendre pour t' Tune des valeurs

r'=:o, —I, —2, —3, —4. A ces valeurs correspondent

Le nombre des solutions est limité, et cela devait cire, puisque, dans réquation , les termes en a; et j^ sont de même si{*ne , et comme Ton voit, il. y en a cinq en tout.

Première solution , 4 hommes et 84 femmes.

Deuxième solution , 1 5 » 65 »

Troisième solution ,26 » 46 *

Quatrième solution , 37 » 27 «i

Cinquième solution ,4^ " 8 »

Peoblàmk il — Quelqu'un aciwte des chèvres et des moutons. Chaque chèvre lui coûte 8 francs et chaque mouton 27 francs ; il se trouve qu'il paye pour les chèvres 97 francs de plus que pour les moutons. Combien y a-t-il de chèvres et combien de moutons ?

Soient x le nombre des chèvres et y celui des moutons , on aura réquation

8jr — 27/ = 97.

Résolvant Téquation , on en tire

(Ul

en faisant

En faisant /' = o, il vient

Par suite, les valeurs générales de xeidef sont

a- = ayr' -+- 2, ^ = 8^'— 3.

Les valeurs de x et de j devant être positives , ces formules montrent que t^ doit être lui-même positif, et assez grand pour qu'on ait

8/'>3 ou ^'>|-

On peut donc donner à t' toutes les valeurs /' =r i , 2, 3, etc., jusqu'à rinfini, et , par conséquent , on formera ce tableau :

Le problème admet, comme on voit, une infinité de solutions; et l'on doit répondre qu'il y avait 29 chèvres et 5 moutons , ou 56 chèvres et i3 moulons, ou 83 chèvres et 21 moutons, etc.

Késolution en nombres entiers de plnsîenn équations du premier degré, dont le nombre est moindre que oelnî des inoonnnes.

Premier exemple. — Considérons d'abord le cas de deux équations à trois inconnues ; soit le système des deux équations

(1) Sx-h^X-h z.^zi^'jn,

dans Tune desquelles l'inconnue z est affectée d'un coefficient égal à l'unité. Éliminons cette inconnue ; pour cela , multiplions tous les termes de la première équation par 3 , et retranchons la seconde du résultat ; il vient

écjuation qui peut remplacer l'équation ( 2 ).

Appliquant à l'équation (3) la méthode de résolution démontrée plus haut, on trouve les deux formules

r = 5i -h 7^- Reportant ces deux expressions de x et de j dans la première équation, on obtient ^

ou, réduisant,

Les trois inconnues se trouvent actuellement exprimées en fonction entière de l'indétermincc t. Ainsi , en donnant à t des valeurs entières quelconques, on en obtiendra de semblables pour x,/, z, et ces valeurs satisferont aux deux ocpintions proposées j car, d'après ce qui vient d'être dit, le syslcnic des trois formules équivaut aux deux équations.

la ALGÈBRE.

Si Ton demande des valeurs entières et positives pour x , y, s , il est évident que i ne peut être positif, car x serait négatif; mais on |ieut supposer

jusqu'à

f ^^ ou — n —

Faisant donc

on trouve

J7= I, 4, 7, lo, i3, i6, 19, 22,

z=63, 76, 89, 102, ii5, 128, i4«> i54»

d'où Ton voit que le problème est susceptible de huit solutions différentes.

Deuxième esemple. — Soient les deux équations

Pour éliminer z entre ces deux équations» multiplions tous les termes de la première par 3, et tous les termes de la seconde par 2, puis ajoutons les résultats membre à membre ; il vient

(3) 4oJf 4- 37/=:656,

équation pour laquelle on trouve

Reportons ces expressions de x et de / dans Téquation (1) , elle devient

ou, effectuant les calculs et réduisant, on obtient

Ici, rinconnue z n*est pas comme les deux autres Jt et / exprimée en fonction entière de l'indéterminée /.

Ainsi, il faut encore appliquer à l'équation (4) la méthode connue. On a donc, pour les formules relatives à cette équation,

Comme d'ailleurs toute valeur entière de /, substituée dans les expressions de X et de jr^ en donnera de semblables pour ces inconnues, il s*ensuitque, si l'on met 2^' à la place de t dans ces expressions, ce qui donne

r=8-8or,

ces formules réunies à celle-ci, z = 29/' -h 3 comprendront tous les systèmes de valeurs entières de x, y^ z propres à vérifier les équations proposées.

Si Ton ne veut que des solutions directes, il est visible que i' ne

peut être positif, puisque/ serait négatif; et /' ne peut être négatif, puisque set jr seraient négatifs. Mais Thypothése r' =: o donne

*=9» r = 8, «=3; donc ce système est le seul qui satisfasse aux deux équations.

En résumant la marche des opérations, on en conclut cette règle générale : Éliminez Pune des inconnues entre les équations proposées , et cherchez pour Téquation qui résulte de cette élimination les deux formules qui donnent les deux inconnues qui y entrent, en fonction entière d'une indéterminée t. Substituez c« s expressions dans Tune des éqimtions proposées, ce qui donne une nouvelle équation ne renfermant plus que t et Tinconnue que Ton avait d'abord éliminée. Déterminez pour cette nouvelle équation , les deux formules qui donnent les expressions des deux inconnues qui y entrent, en fonction entière d'une seconde indéterminée t\ Substituez enfin l'expression de / dans celles des deux premières inconnues. Les valeurs des trois inconnues se trouvent ainsi exprimées en fonction entière der', et il ne s'agit plus après cela que de déterminer pour i' les limites entre lesquelles ces valeurs doivent se trouver pour que celles des inconnues principales soient entières et positives.

Si Ton avait trois équations et quatre inconnues , il faut, après avoir éliminé une des inconnues, exprimer à Taide des deux équations résultantes, et (Kaprès ce qui vient d'être dit, les trois autres inconnues en fonction entière d'une même indéterminée, et Ton substitue ces valeurs dans l'une des équations proposées. Si dans la nouvelle équation lescoefBcients des deuxinconnues qui y entrent sont différents del'unitéyon établitdeux formules qui donnentces inconnues en fonction entière d'une .seconde indéterminée, puis on remplace, dans les expressions des trois premières inconnues, la première indéterminée en fonction de la seconde, et l'on obtient ainsi les quatre inconnues primitives en fonction entière de la seconde indéterminée.

Même raisonnement pour quatre équations à cinq inconnues, etc.

On nomme fraction continue une expression composée d'un nombre entier et d'une fraction qui a pour numérateur un nombre entier, et pour dénominateur un nombre entier plus une fraction, et ainsi de suite. Les fractions continues sont de la forme

dans lesquelles 7, 7', q", etc., désignent des nombres entiers positifs. Les quantités

7 > • •• > peuvent se mettre sous la forme de fractions ordinaires. En effet,

]4 ALGÈBRK.

Changeant dans la dernière égalité 7' en q' -\ — ;; et multipliant les deux termes de la fraction qui en résulte par q\ on trouve

et ainsi de suite.

Les fractions ordinaires

ontreçulenomdeyr^crio/î5 convergentes ou de réduites , parce qu'elles approchent de pins en plus de la valeur delà fraction continue totale, et qu*elles sont réduites à leurs plus simples expressions.

Les nombres entiers 7, 7', 7" sont appelés quotients incomplets, parce qu'ils sont les quotients entiers successifs que l'on obtiendrait en cherchant le plus grand commun diviseur entre a et b,

La comparaison des trois premières réduites conduit, par analogie, à cette règle générale :

Pour obtenir les réduites successives qui correspondent à la fraction continue (i), écrivez les quotients incomplets 7', 7", 7*^,7*% etc., par ordre, sur une ligne horizontale ; calculez les deux premières i*éduites

Z , ^ — ^ posez-les sous 7' et 7" ; multipliez les deux termes de la

deuxième réduite par 7'' : les produits augmentés respectivement des deux termes de la première réduite donneront le numérateur et le dénominateur de la troisième réduite. Pour obtenir la quatrième réduite, multipliez les deux termes de la troisième par 7*^ ; les produits augmentés respectivement des deux termes de la deuxième réduite donneront le numérateur et le dénominateur de la quatrième réduite. Posez la quatrième réduite sous 7'* ; la cinquième réduite se déduira de même des deux précédentes , et ainsi de suite.

iSq Prenons pour exemple la fraction -7-^ dont les deux termes sont

premiers entre eux.

£n laissant la fraction sous cette forme , on s'en fait difficilement une idée bien nette ; mais si , en vertu d'un principe connu , on divise ces deux termes par 169, ce qui n'en change par la valeur, elle devient

ou, effectuant la division indiquée au dénominateur,

Gîla posé, négligeons pour un moment la fraction -^r-y la frac

ALGfeBRE. i5

lion ~ qui en résulte est plus grande que la proposée, puisque Ton n

diminué le dénominateur.

D'un autre côté, si, loin de négliger — =-, on remplace cette fraction

par I , ce qui donne alors

ou Tf

celte nouvelle fraction est à son tour plus petite que la proposée, puisqu*on a augmente le dénominateur.

D'où Ton peut conclure que la fraction 7—^ est comprise entre ^

et 7* Ceci donne une idée assez exacte de la fraction.

Si Ton veut une plus grande approximation, il n'y a qu'à opérer

sur-rr- comme on a opère sur -7—?» et il vient 169 '^ 493

et la proposée devient

Si l'on néglige -^» - est plus grand que -^j d'où il suit que

est plus i>elit que 7-^: mais revient à -0 ou -4i ;

ainsi la proposée est encore comprise entre ^ et —•

La différence de ces deux dernières fractions réduites au mémo

dénominaleur est — ^ — - ou ^« Donc Terreur que Ton commet

en prenant - pour la valeur de la proposée, est moindre que ^y

,5 Opérant sur -^ comme on a opéré précédemment , on a

i6 ALGtDBRE.

«t la fraction pro])osôe peut se metire sous la roniie

Négligeons -=, le nombre - ou i m (tins yranU ijuf -— : on — est plus (letit que -=— Donc

est plus grand qwe ^ ; d'oi^ l'on voit ipic ^ oit oonipiis entre -=^ et 5-' La prennere ei la diflërence de ces deux reur que l'on commet, ei

de la fraction proposée, e

On voit comment, pa trouver, en termes plus t leurs approchées d une ronsîdcrables.

On entend donc, en g qui a pour numérateur t'i tier plus une fraction qu pour dénominateur un en Souvent te nombre pro| généraliser daranlage la dire : unt- fraEtion coutin plus une fraction qui a p levir, etc.

Telle est l'expression

En observant la mari

ALGEBRE. \^

, on voit que l'on n divisé d'abord 4q3 par i5(), ce qui a dooné 3 potir quotient et pour reste i6. On a divisé ensuite iSopar ib, « qui a donné pour quotient 9 et pour reste i5; puis on a divisé 16 par i5 , ce qui a donné i pour quotient et t pour reste. De U, il al facile de conclure le procédé suivant pour réduire une fraction ou DU nombre fraclioonaire en fruf tioa continue : Opérez sur les deux termes de la fraction proposée comme pour trouver le plus grand commun diviseur. Poussez l'opération jusqu'à ce que vous obteniez DD reste eçal à zéro, et les quotients successifs auxquels vous serez parvenu seront les dénominateurs des fractions qui constituent la

é est plus {jrand que l'unité, entière qui entre dans l'ex-

fraclion continue

duites consécutives quelconrs une réduite de celle qui la ' I , suivant que la seconde de rang pair on impair. Le leurs toujours égal aux pro-

16 7 16x7 ' "■' fractioa rontinue Ejénérale, P^ R Q

mettant pour R et R' ces nce précédente, on obtient QlQ'r + P')

i8 ALGÈBRE.

D'où Ton voit que le numérateur de la différence — -, — ^ est égal

et de signe contraire au numérateur de la différence ^, — --^ ou

QP' — PQ'

nf P^ ' C'est-à-dire que les numérateurs de deux différences consécutives sont égaux et de signes contraires.

Mais si Ton considère les deux premières réduites - et — 7 — > on a

fl^ -h I a -4-1

donc , diaprés ce qui vient d*Atre dit , le numérateur de la différence suivante doit être — 1 ; le numérateur de la troisième différence doit ctrc -h I ; et ainsi de suite.

En général , le numérateur d'une difTérence quelconque est -4- i si ïa seconde des deux réduites que l'on considère est de rang pair^et — 1 si elle est de rang impair; quant au dénominateur, il est évidemment égal au produit des dénominateurs des deux réduites.

~ propriété. — Reprenons la fraction continue générale

jp = +

En considérant les premières fractions intégrantes ^9 -9 -9 -9 etc.,.

il est facile de reconnaître que la valeur de .r est comprise entre la première et la seconde réduite 9 entre la seconde et la troisième réduite ; et ainsi de suite.

En effet , on a d'abord évidemment

je dis ensuite que Ton &

Car pour avoir la valeur de x il faut augmenter le dénominateur è du reste de la fraction continue ; ainsi la fraction y est plus grande

que celle qu'on devrait ajouter à a ; donc a -h ~ est trop grand.

Maintenant, si l'on considère la réduite

ALGÈBRE, comme le dénominateur c est trop petit, irs'ensuit que

est une fraction plus petite que la vraie valeur de x.

On pourrait pousser ce raisonnement aussi loin que Ton voudrait, mais nous allons en donner une démonstration indépendante du rang de la fraction intégrante à laquelle on s'arrête.

PO Soient, pour cet effet , deux réduites consécutives — , -i. de ran^»

quelconque; et proposons-nous d'évaluer les différences

Remarquons que si dans l'expression de la réduite suivante — ou

QV -h p^ ' ^"^ ™^* * '* P'^*^^ ^" quotient incomplet r, le quotient complet

y ou r -f-

dont r n'est que la partie entière, on reproduira la valeur du nombre réduit en fraction continue ; puisque alors on a la réduite de la fraction continue totale, on aura donc, d'après cette reraarc|ue,

d'où

^ ^ P ^ Qr-f-P P (QP^--^PQ^)v ^ F" QO-HP' P'~- (Q'r-hP^P' et X ^ ^ Qj-4-P Q FQ^-QP-

Q' Q'r-^P' Q'^lQV-hP'jQ''

Or, si Ton examine attentivement ces deux différences, on voit que les dénominateurs sont essentiellement positifs ; quant aux numérateurs, r est positif et QP' — PQ', PQ' — QP' sont égaux et de signes contraires : ainsi ces numérateurs sont de signes différents.

D'où il suit que si l'on a ^ > ou < - on doit avoir nécessairement a: < ou >q7- c'est-à-dire que si le nombre réduit en frac-

tion continue est plus grand ou plus petit que la réduite —, ce mémo

nombre est plus petit ou plus grand que ^5 donc, enfin, lu vali iir du

20 ALGEBRE.

nombre réduit en fraction- continue est toujours comprise entre deux rrduites consécutives de rang quelconque.

Remarque. — Si la réduite ^ est de rang pair, QP' — PQ', qui est

Q P le numérateur de la différence entre th ®' p} ' «si positif et égal à -f- i ;

ainsi Ton a

X *> -— et x <' ~.

Donc, tontes les réduites de rang pair sont des fractions plus grandes , et toutes les réduites de rang impair sont des fractions plus petites que le nombre réduit en fraction continue.

Troinéme propriété. — Les différentes réduites donnent des valeurs approchées de x , et il est aisé de déterminer le degré d'approximation fourni par chacune d'elles.

En effet , la valeur de x est comprise entre deux réduites consécup Q tives jr; et ~9 d'où la différence entre x et Tune des réduites est

moindre que ^; —^ qui est la différence entre les deux réduites;

par conséquent , Terreur commise lorsqu'on prend Tune de ces deux

réduites pour la valeur de x, est moindre que Tunité divisée par le

produit de leurs dénominateurs.

Q PO' — QP' Si Ton considère la différence x — ^, = jr^ Wûv ^^^®'™"®

précédemment, comme on a PQ' — QP' = i, abstraction faite du signe , il en résulte

Or le quotient complet y est, par sa nature , plus grand que i, donc (Q> -h P') Q' est plus grand que ( Q' -h P') Q', et, à plus forte raison , plus grand que Q'^ D'où

et, à forliori,

Ainsi, la différence entre x et -7? ou Terreur commise lorsqu'on

prend -7 pour la valeur de x , est moindre que l'unité divisée par

le produit du dénominateur de la réduite multiplié par la somme faite de ce même dénominateur et de celui qui précède, ou moins exactement, mais en termes plus simples, moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la réduite considérée. fiuitriéiiie propriété. — Une réduite de rang quelconque donne

une valeur plus approchée de u: qu'aucune de celles qui la précèdent. En effet y considérons encore les deux différences

comme od a Q^ > P', il s'ensuit que le dénominateur (Q'j^ -H P') Q' est plus grand que le dénominateur ( Q' j H- P') P' ; d'ailleurs j >i t donc, abstraction faite du signe , le numérateur PQ' — QP' est moindre que le numérateur (QP' — PQ') J. Ainsi , par cette double

raiscHi, la différence entre ^ et ^ <?st numériquement moindre que

P la différence entre j; et — -,•

CingMième propriété. — Une réduite de rang quelconque approche plus de la valeur de x, non-seulement qu'aucune des réduites précédentes, mais encore qu'aucune autre fraction dont le dénominateur est moindre que celui de la réduite considérée , en sorte que Ton peut assurer qu'il n'existe pas d'autre fraction qui, en termes plus simples, donne une valeur plus approchée de x.

Soient^ la réduite, et —; une fraction quelconque telle, que l'on

ait m' <; Q'; je dis que x ^ est plus grand (abstraction faite du

signe) que jr — ^,-

En effet, remarquons que la fraction — - ne saurait être comprise

Q P entre ^ ^^ p/' <^3>*, pour que cela fât, ii faudrait que la différence

entre p> et — » savoir -^ — ^ — 9 fut numériquement moindre que

la différence entre ^7 et p) ce qui est impossible, puisque

P /7i' — m P', nombre entier^ est au moins égal à i , et que m' P^ est plus petit que P' Q', à cause de Thypothèse /n' <![ Q' ; car si Ton sup-

posait P/n' — /nP' = o, il en résulterait -7 = — -, et cette dernière r V m

fraction étant égale à la réduite qui précède r-,^ la proposition serait déjà démontrée.

Il suit de là que -zr, et ^, sont à la fois > ou < — : ; donc les dif- I p/ Q/ ^ ^ m!^

férences -:; ; et ^ ;? ou leurs numérateurs Vm! — mYy

Qm' — ^'Q'9 sont nécessairement de même signe.

Ci'la posé, on sait que

(T (Q'r4-F)Q' {Q'jr+P')Q'

Prenons actuellement la différence entre x et -— 79 nous aurons

w^ __ Q^-hP «^ {Qm' — « Q')r -»- P''*' — /»P'

Or, par hypothèse , //t' •<] Q' ; ainsi le diènominateur de cette seconde différence est moindre que celui de la première. D'un autre côté, le numérateur (Q w' — m Q')^ -h Put' — /» P* se composant de deux termes additifs ou soustractifs à la fois, est numériquement plus

ne grand que 2. Donc, par cette double raison , x ^ est plus grand

Q que « — ^•

Pour terminer la théorie élémentaire des fractions continues , nous indiquerons l'usage qu'on peut en faire dans Tévaluation approximative d'une fraction irréductible dont les termes sont très-grands.

On réduit d'abord le nombre proposé en fraction continue, d'après le procédé indiqué; puis on forme les réduites consécutives. On obtient ainsi une série de fractions alternativement plus grandes et plus petites que le nombre proposé , et parmi ces fractions , on choisit celle qui donne le degré d'approximation que Ton désire avoir pour

les fractions; ce degré est marqué par . ^ *^ rv"a ®* n> ^'

ta réduite considérée. La réduite doit être d'un rang d'autant plus éloigné, qu'on veut avoir un plus grand degré d'approximation.

Soit proposé, pour exemple, d'évaluer approximativement le rapport de la circonférence au diamètre. On sait que ce rapport exprimé en décimales a pour valeur, à moins d'un cent-millième près,

3 1 u.\5q 3,i4i5qou — ^^ ' On trouve pour la valeur de ce nombre réduit ^ looooo

en fraction continue.

ou a: = 3 -f-

re qui donne pour les réduites consécutives, d'après la loi connue , 3 22 333 355 9208 9563 76149 3i4i59

\ 7 106 Jf3 2931 3o44 24239 100000

Eo prenant d'abord — |x>ur la valeur du nombre propose , on

commettrait une erreur moindre que —7 r ou -=71; mais celte

réduite donne encore un degré d^approximation plus considérable :

22 333 car, puisque le nombre proposé est compris entre — et — 779 il s'en-

sait que — diffère de ce nombre d'une quantité moindre que

-g ou -7-; ainsi l'erreur commise est beaucoup moindre que

— — Aussi ce nombre — ou 3 - est-il Fréquemment employé pour

exprimer le rapport de la circonférence au diamètre. G*est le rapport donné par Archimède.

La quatrième réduite — ^9 quin*est pas beaucoup plus compliquée

333 j <iuc —779 donne une valeur bien plus approchée; car le nombre

355 Q2o8 proposé étanl compris entre — jr et ^ ^ 9 la différence entre ce

nombre et — r est moindre que — = =- » fraction évidemment

ii3 ^ ii3X293i

plus petite que 0,00001. fl est à remarquer que les deux fractions

— - et — - — ^ 9 dont la première estexpnmee en termes plus simples,

donne la même approximation évaluée en décimales pour le rapport de la circonférence au diamètre. C'est le rapport donné par Adrien Metius.

et radnei de* monômes. — Fremier prûioîpe. — On élève un produit à une puissance en élevant chaque facteur à cette puissance. £n effet, soit le produit abc à élever à la puissance n^*'^^ n étant un nombre positif quelconque; on a

(alfcY = abc , X^abc.,. y:, abc. X...

= aaa ... X bbb ... X ccc, ... X . • .

= fl»X *" x<?*... .

Ileazième prineipe. — On élève à une puissance une quantité qui est déjà affectée d'un exposant, en multipliant cet exposant par le dei^ré de la puissance.

Ainsi, soit a", qui a déjà un exposant, à élèvera la puissance /i'^"", on aura

Tfeoinéme principe. — Pour élever à une puissance un monôme quelconque, il faut le regarder comme un produit, et en con$é> quencc élever tous ses facteurs à retle puissance , re qui revient à

élever le coeflficiect à celte puissance., et à multiplier tous les expo» sants par le degré de cette puissance.

Ainsi , soit à élever le monôme -{^ 3 a^ b^ c^ k \aL quatrième puissance , on aura

on aurait aussi

( — 3û»fc3c*)*=8i a*b''c^.

On doit, en effet, se rappeler que lorsqu'une quantité est positive , toutes ses puissances sont positives ; mais si elle est négative y d*après la règle des signes, toutes les puissances paires seront positives, et les puissances impaires seront négatives.

Çuatrièoie prinûpe. — En renversant ces règles pour l'extraction des racines, on obtiendra les suivantes :

I®. On extrait la racine d*un produit en extrayant la racine de chaque facteur;

7?, On extrait la racine d'une quantité qui a un exposant en divisant cet exposant par le degré ou Tindice de la racine ;

S*'. On extrait la racine d'un monôme quelconque en extrayant celle du coefBcient , et en divisant les exposants de chaque lettre par Tindice de la racine;

4^. Quand la racine à extraire est d'indice pair, elle a le signe ±, et quand elle est d'indice impair, elle a le même signe que la puissance.

Au moyen de ces principes on trouve

î/64 a" ^'» = 4 fl» ^*, ^— -52 0*6'*=: — 2 ab\

Cinquième principe. — Pour simplifier un radical quelconque , on décompose la quantité sous le radical en deux facteurs , dont Tun ne renferme que des puissances exactes de même ordre que la racine à extraire , et dont l'autre n'en renferme aucune ; puis on extrait la racine du premier facteur et Ton indique celle du second.

Ainsi on aura

J/2a4 a* b^ c' = ^2*«* 6* c* X 7 «*c* =2 abc y/'ja^c'.

Sixième principe. — Toute expression composée d'un radical de degré pair placé sur une quantité négative, représente une quantité imaginaire. En effet, on sait qu'une quantité réelle, soit positive , soit négative, étant élevée à une puissance paire, ne peut donner de résultat négatif.

Si a et b sont des grandeurs positives , les expressions ^ — a ,

V — ^' > V — 8n^ b^ sont des quantités imaginaires.

Mais ces quantités de même que les radicaux carrés imaginaires peuvent se transformer en produits dans lesquels il n'entre d'autre imaginaire qu'une racine de — 1 ; ainsi on a

Septième principe. — Pour extraire la racine /i'*"' d'une quantité qui a un exposant , on doit diviser l'exposant par /z , et si l'exposant n'est pas divisible , on se borne à indiquer la division par l'indice de

lâ racine. Ainsi, soil à extraire la racine cinquième de a'% on aura

Soit encore à extraire la racine /z'^"" de a" , on aura

Arrangements. — Permutations. — Combinaisons.

Il existe une différence essentielle dans la signification des mots arrangements, permutations, combinaisons.

On appelle arrangements , les résultats qu'on obtient en disposant les unes à la suite des autres , et dans tous les ordres possibles, 2 à 2 , 3à3,4à49***'^^ ^' "^ nombre m de lettres, pourvu que le nombre des lettres qui entrent dans chaque résultat soit moindre que le nombre total des lettres considérées ; car si le nombre des lettres de chaque résultat était égal au nombre des lettres considérées, les arrangements n k n deviendraient des permutations.

On donne le nom de permutations aux résultats qu'on obtient en disposant les unes à la suite des autres, et dans tous les ordres possibles , un nombre déterminé de lettres, de manière que toutes les lettres entrent dans chaque résultat , et que chacune n'y entre quVne fois.

Enfin on appelle combinaisons, les arfangements dont deux quelconques diffèrent entre eux, au moins par l'une des lettres qui y entrent.

U est important de se bien pénétrer de ces définitions, pour comprendre la résolution des problèmes suivants.

PBOBLiMK I. — Un nombre m de lettres a, b^ c^ dy e étant donné, déterminer le nombre des arrangements 2à2,3À3,...,/zà/i, que l'on peut former avec ces m lettres, m étant supposé plus grand que n.

Pour avoir les arrangements 2 a 2 , il suffit de placer, à côté de chaque lettre , successivement chacune des lettres restantes ; de cette manière , on obtient des arrangements tels que

aby

ac,

ad.

ae,

ba^

bc,

bd,

be.

ca,

cb,

cd.

ce,

da,

db,

de y

de.

ea.

eb,

ecy

ed.

On voit qu'en désignant par m le nombre des lettres a , 6 , c, ^, ^ , et par A, le nombre des arrangements 2 à 2 , on aura

Aj = /w (/w — 1),

ou bien , en remplaçant m par sa valeur 5,

Aj = 5 X 4 = ^o.

On passe aux arrangements 3 à 3, en plaçant , après chaque arrangement de deux lettres , successivement chacune des lettres qui n'entre pas dans cet arrangement; il vient ainsi

abcy abd, abe^ bac, bady bae,

cab y cady cae, daby dac^ doc y

eaby eaCy cady acby acd, ace y

bca y bcdy bce , . . . ;

et en nommant A3 le nombre de tous ces arrangements 3 à 3 , on a

A3 = Aj(/w — 2)z= m (m — Ofw — 2),

ou bien , en mettant 5 à la place de m ,

On s*élèverait semblablement aux arrangements 4 ^ 4 > ^^ pour en connaître le nombre , on aurait la formule

A4 = A3(/« — 3) = iii(j» — i)('w — ^)('" — 3). Chaque fois qu*on s'élèvera à des arrangements qui auront une lettre de plus, il est clair qu'il s'introduira dans la formule un facteur de plus, lequel sera inférieur, d'une unité au facteur placé avant lui. Dès lors , on peut conclure avec certitude que Fexpression générale du nombre des arrangements n k n devra renfermer n facteurs pris consécutivement dans la suite m, m — i, m — 2, etc. , le dernier facteur sera donc

m — (n — i) ou m — « -+- i,

et, par conséquent, en appelant A« le nombre des arrangements de m lettres /z à /z , on doit avoir

(i) An = fn{m — i) ('w — 2)...(/w — « •+- lU

En disant /z =: 2, 3, 4? ^^ dernier facteur m — n -h 1 se réduit successivement km — 1, /Il — 2, wî — .3, et l'on retrouve les valeurs de

Ajj A3 y Al*

PaoBLKMB II. — Déterminer le nombre total des permutations dont n lettres sont susceptibles.

D'abord deux lettres aelb donnent évidemment les deux permuta lions a^ et ba. Ainsi, le nombre des permutations de deux lettres est 2, ou bien 1X2.

Soient actuellement trois lettres a, by c. Mettons à part une quelconque de ces lettres, c par exemple, et écrivons à la droite des deux arrangements aé et ba que donnent les deux autres, la lettrée; il en résulte les deux permutations de trois lettres abc y bac. Or, comme on peut ainsi mettre à part chacune des trois lettres, il s^ensuit que le nombre total des permutations de trois lettres est égal à i X 2 X 3.

En général, soit un nombre n de lettres a, byCyd\ si Ton représente par P« le nombre des permutations de n lettres, on aura, d'après ce que l'on vient de voir plus haut,

{2) P« = i X 2X3... Xw.

Problàme III. — Déterminer le nombre total des combinaisons différentes que Von peut former avec m lettres prises n à n.

Lorsque parmi les arrangements /z à /i on ne conserve que ceux qui diffèrent entre eux par une ou plusieurs lettres, ceux qu'on obtient ainsi sont désignés sous le nom de combinaisons ou de produits. Par exemple , les deux arrangements abc et bca ne forment qu'une seule combinaison.

Parmi les arrangements de m lettres /z à /z , il est clair que chaque combinaison de n lettres doit se trouver répétée autant de fois qu'il y a de permutations possibles entre les n lettres de cette combinaison. Donc en divisant le nouibrc total des arrangements de m lettres de /z à

n par celui des permutations de n lettres , on obtiendra le nombre des combinaisons de m lettres /z à /z. Ainsi, ce dernier nombre étant désigné par Cn 9 il sera donné par la formule

Si Ton veut avoir en particulier le nombre des combinaisons 232, 3 à 3, etc. y il faudra faire /i = 2, 3 , etc., et il viendra

/ii(/ii — i) wf (m — i)(;;i~2)

Le nombre des combinaisons qu*on peut faire avec des lettres étant essentiellement entier, il s'ensuit que la division indiquée dans la formule (3) doit s'effectuer exactement. Donc, un produit de n nombres entiers consécutifs est toujours divisible par le produit des n premiers nombres entiers.

Binôme de SVewton*

Tout binôme peut être représenté par x + a, et la question est de trouver une formule générale au moyen de laquelle on puisse obtenir immédiatement une puissance quelconque de a: + a sans passer par toutes les précédentes; la formule qui atteint ce but est une des plus importantes de l'analyse, on l'appelle vulgairement binôme de Newton,

Pour en concevoir la formation, mettons pour/it dans (x h- a)'" successivement les nombres 1, 2, 3 et 4; nous aurons par la multiplicatioD

(jp -f- ay = 07 -h û,

( j: 4- a )* = JT» -f 3 isrx' -f- 3 a' 07 -h «3,

(a: -h a )* = x^ + 4^*^ "+" Sa'ar' -\- ^a^x-h a*.

Ces résultats pourraient faire découvrir la loi des ex])osants de x, celle des exposants de a, et combien le développement de la puissance doit avoir de termes; mais il serait impossible d'y soupçonner même la loi beaucoup plus compliquée des coefficients de tous les termes. Cette difficulté vient de la réduction des termes semblables : or, c'est pour éviter l'inconvénient attaché à cette réduction, que Ton cherche d*abord le développement du produit de plusieurs facteurs binômes, teb que

x-Hâ, xH-ô, X-+-C, X -h à.

Avec l'attention d'ordonner les termes par rapport à x, on aura successivement, pour le produit de deux facteurs (x -f- a) ( x -»- ^),

x-f- « x-hà

x^-^ax ■+■ nb -h bx\ pour le produit de trois facteurs ( x -h a J , [r -{- b)^ ( «a- -f- c ) ,

•r^ -»- flx' -^ abx -\- abc 4- bx' -h (icx -f- rx- ~h bcx ;

pour le produit des quatre facteurs (x-4-<i), (x -h h), (a:-f-c),

X* -h ax^ -\- abx* -f- abcx -f- abcd •+■ bx^ -+- acx^ 4- abdx H- ex* -h adx* -f- ^jcr/j:

-h </jr^ -h bcx"* H- ftcJx