bdx

-hcdxK

Ces produits peuvent se mettre sous la forme

X* -i- {a -i- b -h c -[- d) x^ -h (ab -{- ac -i- ad -{- bc -\- bd -^ cd) x^ -+• (abc -f- abd •+■ adc -4- bcd) x -f- abcd.

On remarque :

i*^. Que les exposants de x vont en diminuant d*une unité d^un terme au suivant , à commencer du premier, où l'exposant de x est égal au nombre des facteurs du produit ;

2°. Que le coefficient du premier terme est i ; celui du second , la somme des seconds termes des facteurs ; celui du troisième terme , la somme des produits de ces mêmes facteurs multipliés deux à deux; celui du quatrième terme, la somme des produits des mêmes seconds termes multipliés trois à trois ; enfin , que le coefficient du dernier terme est le produit des mêmes seconds termes multipliés tous ensemble

Pour nous assurer si cette loi de composition est générale , supposons qu'elle soit déjà reconnue vraie pour le produit d'un nombre m de binômes , et voyons si elle a lieu lorsqu'on introduit un nouveau facteur dans le produit.

Soit donc

le produit de m facteurs binômes (rï x"^" représente un terme qui en a n avant lui, et Mx"*""^' celui qui le précède immédiatement). Soit X 4- K le nouveau facteur introduit , on a pour le produit ordonné

x«4- B 4-AK

BK

.-f- N MK

x"-"+' 4- UK.

La loi des exposants est évidemment la même.

Quant aux coefficients :

1 **. Celui du premier terme est l'unité ;

2**. A 4- K, ouïe coefficient de x^, est aussi la somme des seconds termes des m + 1 binômes ;

3^. B est , par bypotbèse , égal à la somme des produits différents deux à deux des seconds termes des m premiers binômes ; AK exprime la somme des produits de chacun des seconds termes des m premiers binômes multipliée par le nouveau second terme K ; donc B 4- AK est encore la somme des produits différents deux à deux des seconds termes des m 4- 1 binômes.

En général , puisque N exprime la somme des produits n^n des seconds termes des m premiers binômes , et que MK représente la somme des produits n — i à // — i de ces seconds termes multipliés

par le nouveau second terme K, il s'ensuit que N + MK ou le coefficient qui , dans le polynôme de degré m +i> en a n avant lui , est égal à la somme des produits différents n k n des seconds termes des m -f- 1 binômes. Le dernier terme UK est d'ailleurs égal au produit des iR + 1 seconds termes.

Ainsi la loi de composition , supposée vraie pour le produit d^un nombre m de binômes, Test aussi pour un nombre /it 4- 1; donc elle est générale.

Si dans les facteurs jp-Ha, x -^rby x-\-c^ x -i-dy on fait

les produits de ces facteurs deviendront des puissances du binôme X -4- a ; alors l'exposant de la puissance étant toujours représenté par 171 , les exposants de x seront m dans le premier terme ^ m — i dans le second , m — 2 dans le troisième , . . . , i dans Tavant-demier. Le coefGcient de x^ sera toujours i ; celui de 0:^^*, ou du second terme , sera a pris une fois ; celui de 0:"^% ou du troisième terme , sera <?' pris autant de fois qu'on peut faire de produits différents avec m facteurs multipliés deux à deux; celui de x^~', ou du quatrième terme, sera a^ pris autant de fois qu'on peut former de produits différents avec m facteurs multipliés trois à trois; et ainsi de suite jusqu'au dernier terme , qui sera a"*.

D'après la théorie des combinaisons, m facteurs multipliés /i à /i donnent

m {m — i)(/ii— 2)...(/w — /i-hi)

I X 2X3X.. X n Mettant pour n successivement i , 2, 3| 4' • • • 9 ''9 on Aura

— pour coefficient numérique du second terme, — pour celui du troisième,

— ^ pour celui du quatneme,

I X ^ X ^ et généralement,

m {m — i) (/n — 2). . .(/w — /i -f- i) iX2X3x. .. X/i

pour celui du terme dont le rang est /i + i . La formule cherchée est donc définitivement

^ ' I iX^

m (m — i)(ot — 2).. .(m — /i -r- 1) ^ iXaX3x...X«

La loi des termes est si évidente, qu'on peut écrire immédiatement un terme de tel rang qu'on voudra.

3o ALGÈBRE.

11 est clair que chaque cuefHcient a pour dénoniinaieur la suite I X 2 X 3, etc., jusqu'au nombre qui marque combien il y a de termes qui précèdent, et pour numérateur les facteurs décroissants /ii(TO — i) (m — 2)..., jusqu'à celui où m est diminué d'autant d'unités moins une, qu'il y en a dans le dernier facteur du dénominateur. Il est clair aussi que l'exposant de a est toujours égal au nombre des termes qui précèdent, et celui de x égal à m diminué de ce même nombre, de telle sorte que la somme des exposants de « et de a reste constamment égale à m.

En conséquence, si l'on désigne par Tj, un terme quelconque dont le rang est /z , on aura pour le terme Tj,^ 1 qui occupe le rang /z -f- 1 ou qui en a 71 avant lui »

T — "" (/jt.^l)(/li— 2).. .(W — « H- 1)

lji4.i = ^i «"j:" ".

Cette expression est le terme général de la formule. On Tappelie ainsi, parce que, en y supposant successivement a == 1, 2, 3, etc., on peut en déduire tous les termes de cette formule à partir du second. Par exemple , pour avoir le sixième terme , on y ferait w = 5 , et il viendrait

T — ni{m — i)[m-^i)(m^Z) (^— 4 )

Si Ton voulait avoir le dernier terme, il faudrait observer que la formule a en tout m + i termes, et que, par suite, il faut supposer nr=zm. Alors, il vient

I X 2 X 3X...XW

Or le numérateur renferme, dans un ordre inverse, les mêmes facteurs que le dénominateur, et 3^ est la même chose que l'unité ; donc cette expression se réduit à a", ainsi que cela doit être.

Si l'on prenait pour n un nombre entier > m, il y aurait un facteur //{ — m ou zéro parmi ceux du terme général, ce qui avertirait que tous les termes sont nuls au delà du rang //t -h i , c'est-a-dire que la formule du binôme n'a pas plus de m -f- 1 termes.

Pour peu que l'on jette les yeux sur les différents termes de ce développement , on reconnsût une loi simple , d'après laquelle on passe d'un terme au suivant de cette manière. Multiplier le coefficient du premier par l'exposant de x dans ce terme, et diviser par le rang de ce même terme, ce sera le coefficient du suivant. L'exposant de a y sera ce même diviseur, et celui de x y sera m diminué de ce diviseur.

En effet , le premier terme étant x^, le second sera

— ^'. /:"•"' ou simplement w^.»/"- ';

ce second terme étant connu , le troisième sera

— X w\r"'--' ou — i^ '(t^af"-'^:

re troisième terme étant connu, on en déduira le quatrième qui

Tm+i = — ^— ~^r— --'-^ a^ X».

ALGÈBRE. 3i

sera

on bien

En gcDcral y le terme du rang n + i étant exprimé par

celui du /i'*** rang sera

mim — i) im — 2)...(/w — /1-I-2)

expressions qui font voir que le coefficient du terme du rang n + i est égal à celui du terme du rang n multiplié par m — /t + i et divisé par n ; mais le multiplicateur m — /i + i est l'exposant de x dans le terme du r^*^ rang, et le diviseur /i marque ce rang; ainsi, la règle est générale .

Applioatiom.

Soit proposé de développer la dixième puissance de x -{- a» Ici, m = 10; il y aura onze termes dont

le premier sera j:'%

le deuxième 1 o ax\

le troisième — x - /l'a?" = 45rt'x*,

le quatncme — X-Xôrt*jr'=r i20fl'x',

le cinquième — X-XôX/û*a:*= iioa^x^.

lesixieme — X-X « X / X F«'.r*== 252rt*.r%

le septième — x^X^XyXpX ^fl^r' = 210 a'x',

— X ^ X 2 X 7 X p X 7: X - ^' x' = 1 20 rt' jc",

le neuvième — X^XxXvX^XtîX-Xo /z" j:'=45/7^ x\

îeduueme — X^x^X^X^X^X-X^ X -«^x=io a^x,

enfin, leonzieme — X-X^X/X;ëX^X-XôX-X — û'* = a'%

et, par suite. Ton aura

[x "{- a )•• = .t'* -f- I o flx' -^ 45 rt' x' -h 1 20 rt^ X' -f- 2 1 rt* x^' -h ?,52rt' r' f- 7,10/7" jc^-f-i 20I7' jr^ -i- 45a^jr'-t-ior7\r-f~ fi'«.

le huitième

Soit encore proposé de développer (x 4- a )*. On trouvera , d'après cette loi,

(x -h û)*= x*-f-6^x*-h i5û*x*-h 20fl*j:*4- i5fl*x'+ 6a*x-f- a*.

GcMBséqueDoei de la f ommle du binôme et de la théorie des oombinaîaoïit.

Corollaire I. — Dans le développement de toute puissance d*un binôme , les coefficients à égale distance des deux extrêmes sont égaux entre eux.

L'expression (x -f- a]"* étant composée de la même manière en a et en X , la même chose doit avoir lieu pour son développement ; donc si ce développement renferme un terme de la forme K a"x"~"y il doit en avoir un autre égal à Kx" a*""" ou Kc""* x". Les deux termes y sont évidemment à égale distance des deux extrêmes; car le nombre des termes qui précèdent un terme quelconque étant marqué par l'exposant de a dans ce terme, il s^ensuit que le terme Ka"x"~~" en a n avant lui , que le terme Ka"'""x" eu a m — n avant lui , et, par conséquent, n après lui (puisque le nombre total des termes est in + 1 ). Donc , etc.

Remarque. — Si, comme dans l*exem pie précédent, l'exposant de la puissance est pair, et, par conséquent, si le nombre des termes du développement est impair, il y a un coefficient qui n'est pas répété, c'est celui du terme également éloigné des extrêmes, et dans lequel a et X ont le même exposant , et cet exposant est la moitié de celui de la puissance. Cette remarque sera évidente, si l'on fait attention que le développement de (a 4- ^j"» qui doit être identique avec celui de (x -f- <z)", se déduira de ce dernier, en y mettant a à la place de x et X à celle de a.

Corollaire II. — La somme des coefficients des différents termes de la formule du binôme est égale à une puissance de 2 d'un degré marqué par m. En effet, si dans la formule générale

(x-f- rt)*=:x^-H w«x*~' -f- -r-i ia'x"^»-h. . .,

on suppose x = i , a = i , elle devient

(/w — i) (m — i){m — 2) (i-hi)" ou 2'"=i-f-/ii-hwi '-hm^ i-~- '-4-....

Ainsi, dans la formule particulière

(x H- fl)^= x*4- 5ûx<-4- io/z*x*-+- ioa^x*4- 5a*x-+-û*, la somme i-f-5H-io-hio + 5 + i des coefficients est égale à 2*

ou 32.

Corollaire III. — Si l'on a une suite de nombres décroissants d'une unité d'un terme à l'autre, dont le premier soit m et le dernier m — p {met p sont des nombres entiers), que Ton fasse un seul produit de tous ces nombres , ce produit est divisible par le produit de tous les nombres entiers, depuis i jusqu'à /? + i » c'est-à^ire que Ton a

iX2X3x4X...X (z^-hi) '

ALGEBRE. 33

égal à un Bombre entier; en effet, cette expression représente ]e nombre des combinaisons différentes >:? 4-1 à/? -4- 1 qu'on peut former avec m lettres. Or ce nombre de combinaisons doit être par sa nature un nombre entier ; donc l'expression ci-dessus est nécessairement un nombre entier.

Coboixauie IV. —La formule générale pourra encore servir à développer (x + a H- *)-; en effet, on pourra faire o -+- è = c et Ton développera x-f.<r; ensuite on mettra « H- * à sa place. Soit, par exemple , »i = 4> on aura , en ordonnant les termes par rapport à x,

(jr -f- fl -h ô)* = (:r H- cy = X* -f. 4rx* -f- 6 c'a:» 4- /^c^x -f- c*. Puis, en mettant a h- ^ à la place de c,

4- (« -h 6)* = x*4- 4 (« -f- 6} Je4-6(£i»-h 2/i6 4- ^') *» 4-4(a»4-3fl»*4-3éï*»4-**)a?4-a«4-4û'é4-6tf'^»4-4fl^3^^i

GoKouLAi&E V. — Si Ton avait à développer {x — «)"• au lieu de (x 4- fl ) "■, il suffirait de changer le signe du second terme, celui du quatrième, celui du sixième, et en général celui de chaque terme de Ping pair; parce que l'exposant de a est impair dans chacun de ces termes, et que toiUe puissance impaire d'une quantité négative est elle-même négative, on a, en général^

S ^ 4- I , où ^ est entier, désigne généralement un nombre impair^ ainsi (3fl — 5 6 / = 81^* — 540 a> A -h i35o «> *» — i5oo a*^ 4- 625 *«.

Cttloul des radiiMiaz.

Lorsque la quantité monôme ou polynôme, dont on demande une racine d'un certain degré, n'est pas une puissance parfaite, on ne peut qu'indiquer l'opération , en faisant précéder la quantité proposée dfi signe y~ et plaçant en dedans de ce signe le nombre qui marque le degré de la racine à extraire. Ce nombre s'appelle V indice du radical.

Souvent on peut faire subir à l'expression radicale quelques simplifications fondées sur ce principe, que la racine /i''*** d'un produit est égale au produit des racines n^"^ des différents factêars.

En termes algébriques,

En effet, élevons chacune de ces deux expressions à la «'•"•puissance, on trouve, pour la première,

( yaùcd) = abcd^ et, pour la seconde ,

{^x"v/ïxyï+"v/rf}"={y^)"x(V*)"x(y?/x(V5)"=«w.

Donc, puisque les n**^ pnissances de ces expressions sont égales, les expressions doivent l'être elles-mêmes.

Cela posé, soit l'expression \J 54 û* b* c* qui ne peut être remplacée par un monôme rationnel , puisque 54 n'est pas un cube parfait , et L 3

que d'ailleurs les exposants de a et c ne sont pas divisibles par 3 ; OB a

^54 fl* b^ c" = v^27 X 2 X «' X a X ^' X c' = 3 aA IjTâ?,

de même

de même encore

y/^^â^V?= Vi6x3x«*X«X3'Xc» = 2 fl^» ^3^.

Dans les expressions 3 ab ^2 ac* , 2 ^ô* , 2 ^6* v^3 ac' , les quantités qui sont en avant du radical en signe de multiplication, sont appelées les coefficients du radical.

Principe. — Lorsque l'indice d'un radical est multiple d'un certain nombre n et que la quantité sous le signe radical est une puissance Ti''"' exacte, on peut, sans changer la valeur du radical , diviser son indice par n et extraire la racine /l'^^de la quantité sous le signe ;

ainsi on aura y'4 ^' ^== V V^4 ^' * '"^^ ^^ quantité soumise au radical v^ est un carré parfait ; si Ton effectue cette extraction de racine carrée^ on aura

de même

En général.

V36«« b^ = i/v'Se «» b' = >/6 ab.

Réciproquement , on peut multiplier l'indice d'un radical par ud certain nombre , pourvu que Ton élève la quantité sons le signe à une puissance d'un degré marqué par ce nombre.

Ainsi »

yfa=: y/a""»

En effet, a est la même chose que ^a", donc

Ce dernier principe sert .à ramener deux ou plusieurs radicaux à avoir le même indice , ce qui est souvent utile.

Soient, par exemple, les deux radicaux \Jia et Ja-\-b que Ton veut réduire au même indice; on mukipliera rindioe du premier . par 4» indice du second, en ayan.t soin d'élever en même temps la quantité 2 a à la quatrième puissance ; ensuite on multipliera l'indice du second par 3, indice du premier, en ayant soin d'élever en même temps la quantité a + 6 au cube : de cette manière, on ne changera pas les valeurs des deux radicaux , et il viendra par ces opérations y

*y/7it=: '\f^z=z 'J/TeT?; It^Tl— ''yJ[a-k'bY.

On peut, de ce qui précède , conclure la règle générale suivante : Pour réduire deux ou plusieurs radicaux au même indice, multi* pliez l'indice de chaque radical par le produit de tous les autres indices, et élevez la quantité sous le signe à une puissance d'un degré marqué par ce produit.

ALGëBRE. 3S

Cette règle » qui a beaucoup d'analogie avec la réduction des fracdons au même dénominateur, est susceptible des mêmes modifications.

Ékâatium et foustraoUon des radîoaiiz. — Deux radicaux sont dits semblables 9 lorsqu'ils ont le môme indice, et que la quantité sous le signe est aussi la même.

Gela posé , pour ajouter ou ponr soustraire deux radicaux semblables , il faut ajouter ou soustraire leurs coefficients et placer la somme ou la différence, oomme coefficient, en avant du radical commun.

Ainsi,

3 ^ï 4- 2 ^ï = 5 yî; 3 ^?— a l'A = *y/b;

Malt^lioation et dîmîoii dec radioamc* — » Considérons d'abord le cas où les radicaux ont le même indice* Soit ^a à multiplier ou k diviser par ^h \ je dis que Ton a

î^ X yï = "^b et ^fl : yï = tj/j.

En eflet, si l'on élève ^« X ^^ et ^ô? à la n^^ puissance, on trouve également pour résultat ao ; donc ces deux expressions sont égales.

De même , ^ et i/ 7 , élevées à la n^*^ puissance, donnent 7 \

ainsi ces deux expressions sont égales, d'où l'on conclut la régie générale suivante :

Pour multiplier ou diviser Tun par l'autre deux radicaux de même indice, il faut multiplier ou diviser l'une par l'autre les deux quantités sous le signe , et affecter le résultat du signe radical commun. S'il y a des cofficients, on commence par les multiplier ou les diviser séparément.

Ainsi,

cd ou, simplifiant,

m même,

y^^FT^ V S h {a^ b^ 4- b' ___ , V ç' -f b\

Si les radicaux n'ont pas le même indice, il faut les y réduire, el opérer comme il vient d'être dit.

FonoMtîon de» puMience» et extraotîon def nunnes. •— Par la r^le

4le la multiplication , il est clair qu'en prenant n facteurs égaux h'yfà^

36 aIXjÈBRE.

on a

/ Ml/ \h tn »:t ^ ^ ^ m— m "'/'^

\yjii) = y'â X V^ X V ^ • * = \iff*t(t . . . = y'/i" ;

donc , pour élever une quantité radicale à une puissance donnée , il faut élever la quantité sous le signe à cette puissance , et affecter le résultat du signe radical avec «on indice primitif; s*il y a un coefficient , on élève séparément ce coefficient à la puissance donnée.

Bxemple. — Soit (3 yVafy on aura

(3 v^y = 3» X v^(2^ = 243 v^327* = 486 fl v^4P.

On élève encore un radical à une puissance en divisant, quand cela est possible, Tindice du radical par l'exposant de la puissance; ainsi

(inni Vu m

En effet, '^a est une quantité mn fois facteur dans a ; on peut donc partager a en m groupes , chacun composé de n facteurs égaux à ""i^.

Or chaque groupe équivaut à \\/a)"; donc cette dernière quantité est m fois facteur dans n ; donc enfin

(mni'~\n m,

Pour extraire une racine d'un radical , il n*j a qu^^ renverser les règles ci'dessus, et Ton trouvera

car, en élevant "^a à la puissance /i, on retrouve '"y/a*' Donc on extrait la racine d'un radical en extrayant celle de la quantité qui est sous le radical.

Lors même que la quantité sous le radical n'est pas une puissance de même ordre que la racine à extraire , on peut encore appliquer cette règle, mais alors la racine à extraire ne sera qu'indiquée. Par exemple , on écrira

En second lieu , puisqu^on a on doit avoir aussi

Donc on peut extraire une racine d^un radical en multipliant l'indice du radical par le degré de la racine à extraire.

Vrinoipe. — La valeur d'un radical ne change pas si Ton multiplie son indice par un nombre , et qu'en même temps on élève à la puissance marquée par ce nombre la quantité placée sous le radical. En effet , on élève un radical à une puissance , en élevant à cette puis sance la quantité placée sous le radical ; et , d'un autre côté , on extrait une racine d'un radical en multipliant l'iriiice du radical par celui de la racine qu'on veut extraire.

Cette remarque fait voir qu'on peut ramener plusieurs radicaux à un indice commun , par les mêmes règles qui servent à réduire les fractions au même dénominateur.

OaIouI de* ejcpofl«nU fraotîomuûrefl et de» exposants négatifs.

L*exposant fracdonnaire a été introdait dans les calculs pour indiquer Vex traction des racines. Ainsi , que l'on ait à extraire la racine n'**' d'une quantité telle que a*" , si m est multiple de /z , il faut diviser l'exposant m par l'indice n de la racine. Mais si m n'est pas divisible par /i, auquel cas l'extraction de la racine n'est pas possible algébriquement, on peut convenir d'indiquer cette opération en indiquant la division des deux exposants. Donc

Ces deux expressions indiquent également la racine /t'*'"' de a"*. Il en résulte que la n**^ puissance de chacune des quantités ^a"* et

a" est a^.

Par exemple, 7 n'étant pas divisible par 4 9 la racine quatrième de

à^ n'est pas exacte ; mais , en indiquant la division de 7 par 4 7 l'expo-

sant de a dans la racine cherchée devient un nombre fractionnaire -7 ;

de sorte que y^a' et a* indiquent également la radne quatrième de a\ De même , que l'on ait à diviser a"* par a", on sait qu'il faut retrancher Texposant du diviseur de celui du dividende , toutes les fois que l'on a m^n^ ce qui donne

rt'

mais si m<^ny auquel cas la division n*est pas possible , on peut convenir d'indiquer cette division en soustrayant toujours l'exposant du diviseur de celui du dividende , et en lui donnant le signe — . Soit p la différence absolue entre /i et m , on a alors

n=zm -^ Pf d'où